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 #1 - 29-11-2011 20:05:33

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Fonction de fonction et babrarie.

Je ne connais la la réponse, j'ai trouvé ça sur un site et je me suis dis que ça pouvais en intéresser certains.


Déterminez toutes les fonctions réelles et/ou complexes vérifiant la relation suivante :
[TeX]f(f(x)^2*y)=x^3*f(xy)[/TeX]
Amusez-vous bien!
Shadock smile

PS: Je proposerai une énigme mathématiques (de ma composition), je pense arithmétique ou algèbre, pendant les vacances de noël.



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 #2 - 29-11-2011 20:30:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Fonction de fonction et barbarie

si f(x) = x^n
x^2nn *yn= x^(3+n) y^n

3+n = 2n^2

n=rac ((3+n)/2) Ca en fait toujours une (sauf erreur)

 #3 - 30-11-2011 12:27:47

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Fonction de fonction te barbarie.

Tout d'abord pour x=0 et y=0 on obtient f(0)=0

Pour x=1 on obtient f(f(1)y)=f(y) :

1er cas : f(1) = 0 alors f(y) = f(0) =0 la fonction est nulle

2ème cas : f(1)=a n'est pas nulle, alors la fonction est bornée et "exponentiellement périodique" :
              En effet pour tout n : f(x)=f(a^n*x), donc f(exp(x)) = f(exp(x+n*log(a)))
               (log est un logarithme complexe quelconque)
               et on peut toujours trouver n tel que |a^n*x| <1

               Or pour y=1,  f(x) = f(f(x)²)/x^3 donc quand x tend vers l'infinie,
               f(x) tend vers 0, comme elle est (f o exp) est périodique,
               sa période est donc nulle.
               f(x)=0 pour tout x, donc le deuxième cas est contradictoire.

Bien moins terrible que ça en a l'aire ce problème smile

 #4 - 30-11-2011 16:27:00

kelm0
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 8

oFnction de fonction et barbarie.

Sur R :
f est du type : pour tout x sur R :
          f(x)=a^(1/3)*x^(3/2)
                      ou pour tout x sur R privé de 0 :
          f(x)=a^(-1/2)*x^(-1)

pas cherché pour les complexes.

 #5 - 30-11-2011 17:09:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Fonction de fonciton et barbarie.

Bonjour,
Si je cherche n pour que la fonction f(x)=x^n marche, alors je trouve que:
x^(2n²).y^n = x^(n+3)..y^n pour tout x et tout y,
d'où 2n²-n-3=0 et donc n=-1 ou n=3/2.
Les fonctions f1(x) = x^(-1) = 1/x et f2(x) = x^(3/2) = xVx sont solutions,
mais sont ce les seules ?
Bonne journée.
Frank

Edit: Dans mon cas particulier de f(x)=x^n, on a: f(xy) = f(x).f(y)

 #6 - 30-11-2011 19:30:51

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3308

Fonction de fontcion et barbarie.

Des réponses qui se ressemblent...mais seulement qui se ressemblent.

Shadock smile


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