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 #1 - 04-07-2009 13:32:48

salehseghiri
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 40

fonction constante : somme de racinz cubique

Soit une fonction f(x) telle que :
[TeX]f(x)=\sqrt[3]{4-3x+\sqrt{16-24x+9x^2-x^3}}+\sqrt[3]{4-3x-\sqrt{16-24x+9x^2-x^3}}[/TeX]
Démontrer que quelque soit x strictement inférieur à 1, f(x) = a, où a est une constante réelle.

http://i40.tinypic.com/5nra53.png



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 #2 - 04-07-2009 13:35:51

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Fonction constante : soomme de racine cubique

en prenant x=0, on trouve a=2, pour le reste je laisse cela aux pros.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 04-07-2009 13:58:41

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3072
Lieu: Au sud du Nord

Fonction constante : somme de racine cuique

C'est une énigme ou un problème de math big_smile

trop difficile pour moi et comme le savent les autres je suis au jardin par ce temps ou sur mon vélo lol


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #4 - 06-07-2009 02:53:03

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

Fonctio nconstante : somme de racine cubique

Pour x= 0:
[TeX]f(x) = \sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4} =2[/TeX]
Pour x= 1:
[TeX]f(x) = \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}= 2[/TeX]
Donc:
[TeX]f(0)=f(1)=2[/TeX]
Par ailleurs:
[TeX]A(x)= 4-3*x[/TeX]
[TeX]B(x) = 16-24*x+9*x^2-x^3[/TeX]
On cherche:
[TeX]f(x)=\sqrt[3]{A(x)+\sqrt{B(x)}}+\sqrt[3]{A(x)-\sqrt{B(x)}[/TeX]
On observe que x= 1 est une solution de B(x).
On peut donc réduire B(x) en:
[TeX]B(x)= -(x-1)*(x-4)^2[/TeX]
Donc pour x>1 pas de solution.

Par ailleurs
[TeX]f(x)^3 = 2*A(x) + 3*x*f(x)

f(x)*(f(x)^2-3x) = 2*(4-3x)

Donc :
f(x) = 2[/TeX]


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #5 - 06-07-2009 09:59:03

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 792

fonction conqtante : somme de racine cubique

Je n'ai aps de solution mais quelques essais :
[TeX]f(x)=\sqrt[3]{4-3x+\sqrt{16-24x+9x^2-x^3}}+\sqrt[3]{4-3x-\sqrt{16-24x+9x^2-x^3}}[/TeX][TeX]f(x=0) = \sqrt[3]{4+4}+\sqrt[3]{4-4} =2[/TeX]
[TeX]f(x=1) = \sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{1}= 2[/TeX]
On cherche donc pour quelles valeurs de x [latex]f(x)=2[/latex]

On a [latex]16-24x+9x^2-x^3 = -(x-4)^2 (x-1)[/latex] (la racine 1 est évidente, l'autre racine se trouve par identité remarquable)

Donc [latex]\sqrt[3]{4-3x-\sqrt{-(x-4)^2 (x-1)}}+\sqrt[3]{4-3 x+\sqrt{-(x-4)^2 (x-1)}}=2[/latex]

Je n'arrive pas bien plus loin, je me souviens d'avoir prouvé la constance d'une fonction sur un intervalle mais je ne me souviens quelle est la méthode : l'idée c'est de trouver x tel qu'il soit défini uniquement sur [0;1].

J'y reviendrais si je trouve.

 #6 - 06-07-2009 10:00:04

doum37
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 17
Lieu: sur la Loire

Fonctionn constante : somme de racine cubique

On voit d'abord que:
P=16-24x+9x^2-x^3=(1-x)(x-4)^2
Supposons 0<=x<=1 et posons x=1-z^2 avec 0<=z<=1
Alors:
4-3x+sqrt(P)=1+3z^2+z(z^2+3)=(1+z)^3
De même:
4-3x-sqrt(P)=1+3z^2-z(z^2+3)=(1-z)^3
Finalement:
f(x)=(1+z)+(1-z)=2

je pense, sans en être sûr car je connais mal le sujet (je ne suis que physicien), qu'on peut interpréter ce résultat dans le cadre de la théorie des courbes elliptiques.

 #7 - 06-07-2009 15:23:03

adn237
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 17

Fnction constante : somme de racine cubique

Faut dériver la fonction et on trouve bien sûr f'(x) = 0, donc f(x) est une fonction constante (car dérivée nulle).

Ensuite on calcule f(0) et f(1) et on trouve 2. La fonction f peut donc s'écrire f(x) = 2

L'énoncé n'est pas faux mais il aurait pu mettre pour tout x inférieur ou égal à 1, car la fonction f est également définie en 1.

Je l'ai fait sur le papier, c'était très laborieux, mais je n'ai pas le courage de le refaire sur l'ordinateur ! et je n'ai pas de scanner :-(

 #8 - 07-07-2009 23:32:43

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

fonction constante : somme de racine cibique

Enigme vraiment duraille.

L'énoncé excluait à tort x = 1, donc à reprendre avec:
[TeX] x <= 1[/TeX]
J'édite la réponse de doum37 qui est lumineuse, sauf pour les bornes, car ça marche aussi pour tous les nombres négatifs:
[TeX]P(x) = 16-24x+9x^2-x^3 = (1-x)(x-4)^2[/TeX]
On prend ensuite, et c'est un coup de maître:
[TeX]x=1-z^2[/TeX]
Donc:
[TeX]P(x) = z^2*(z^2+3)^2[/TeX]
[TeX]sqrt(P(x)) = z*(z^2+3)[/TeX]
Il vient:
[TeX]4-3x+sqrt(P(x)) = 1+3z^2+z(z^2+3) = (1+z)^3[/TeX]
De même:
[TeX]4-3x-sqrt(P(x)) = 1+3z^2-z(z^2+3) = (1-z)^3[/TeX]
Finalement:
[TeX] f(x) = (1+z)+(1-z) = 2[/TeX]
Comme dirait HAMEL:

Spoiler : [Afficher le message]

Chapeau lol

http://www.prise2tete.fr/upload/papiauche-chapeau.jpg


Spoiler : [Afficher le message] Sans être totalement vaseuse, ma solution était moins sûre smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #9 - 08-07-2009 02:44:58

adn237
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 11
Messages : 17

Fonction constante : soomme de racine cubique

mais comment est-ce qu'on peut penser à poser x = 1 - z² ?????

 

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