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 #1 - 02-09-2011 06:34:08

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

A la recherche du Trésor -- Aidez Mathias !

En train de passer ses vacances à hawaï , Mathias trouve une bouteille à la mer dans laquelle se trouve une carte de trésor.
http://1.bp.blogspot.com/_lUckuwojYpU/TFbEXxBR94I/AAAAAAAAD8k/ryWY5Me7khc/s1600/bouteille_a_la_mer.jpg

Les illustrations sont complètement effacés de cette carte et seul un texte est lisible en bas de cette carte.

Très surpris; Mathias commence a lire le texte ... " Je suis le Pirate Noir ! Si tu trouves cette carte, cela veut dire que je suis dans le monde des morts. Mais j'ai laissé un Gros trésor dans l'île de la potence ! Si tu arrives à cette petite île, tu vas trouver une grande potence dont je me servais pour les traîtres et deux arbres colorés : un arbre Bleu et un autre rouge. En considérant la potence comme un point de départ, marche vers l'arbre bleu en comptant le nombre de pas. Ensuite tourne à droite et fait le même nombre de pas et pose un cale. Fais la même chose pour l'arbre rouge sauf qu'il faut tourner à gauche cette fois. Le trésor se trouve exactement au milieu des deux cales. et Hop; le bonheur est à vous big_smile"

Mais lorsque notre héro est arrivé à cette île; il a bien trouvé les 2 arbres mais la potence était totalement détruite par les orages.

Alors là Mathias pense tout rater et commence creuser un peu partout mais en vain.

Objectif : Aidez Mathias à devenir Riche big_smile



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 02-09-2011 13:40:40

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

A la recherche du Trésor - Adiez Mathias !

Le résultat est indépendant de la position de la potence, elle peut être placée sur l'arbre bleu ou rouge ou au milieu, peu importe.

Je voudrais aussi applaudir la qualité de cette enigme smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #3 - 02-09-2011 14:13:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

A la recherchee du Trésor - Aidez Mathias !

Quelques sommes de vecteurs plus tard, et en appelant [latex]\left( \begin{matrix} x_B \\ y_B \end{matrix} \right)[/latex] les coordonnées de l'arbre bleu et [latex]\left( \begin{matrix} x_R \\ y_R \end{matrix} \right)[/latex] celles de l'arbre rouge, le trésor est aux coordonnées :
[TeX]\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} x_B + y_B + x_R - y_R \\ -x_B + y_B + x_R + y_R \end{matrix} \right)[/TeX]
Oui, pendant le calcul, les coordonnées de la potence finissent par disparaître, ce qui semble cohérent avec l'énoncé du problème big_smile

Il me reste deux questions :

- comment exprimer ces coordonnées d'une façon géométrique plus facilement compréhensible ?

- pouvait-on parvenir au résultat en ne passant pas par des coordonnées, donc avec de la géométrie dans le plan toute simple ?

Autant dire que je vais continuer de réfléchir au problème...



Ebauche de réponse a la première question :
[TeX]\frac{1}{2} \left( \begin{matrix} x_B + y_B + x_R - y_R \\ -x_B + y_B + x_R + y_R \end{matrix} \right) = \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} x_B + x_R \\ y_B + y_R \end{matrix} \right) + \frac{1}{2} \left( \begin{matrix} y_B - y_R \\ -x_B + x_R \end{matrix} \right)[/TeX]
La première des deux composantes de la somme correspond aux coordonnées du centre de [BR] : on va donc commencer par aller pile au milieu des deux arbres.

Après, euh... Je ne sais pas encore ^^


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 02-09-2011 16:09:17

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 2670
Lieu: 94110

a la recherche du trésor - aisez mathias !

Si je ne m'abuse, en considérant que les 2 arbres sont la diagonale d'un carré, il n'y a qu'un seul endroit à creuser : le sommet du carré qui se trouve sur la gauche quand on va de l'arbre bleu à l'arbre rouge.

Jolie particularité géométrique. Merci pour cette énigme.

 #5 - 03-09-2011 00:18:46

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

A la rechrche du Trésor - Aidez Mathias !

Mathias : La deuxieme composante représente une rotation vectorielle à DROITE d'un vecteur que tu dois trouver ... il ne reste plus qu'à conclure wink.
Jackv : Bonne réponse , il ne reste plus qu'a démontrer !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #6 - 03-09-2011 09:12:06

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

A la recherche du Trésor - Aidez athias !

EDIT

Prenons la potence comme origine dans le plan complexe.

L'arbre bleu A a pour affixe a, la première cale a(1-i).
L'arbre rouge B a pour affixe b, la seconde cale b(1+i).

Le trésor a pour affixe la moyenne, soit T=(a+b)/2+i(b-a)/2,
c'est obtenu à partir du milieu de AB en portant la longueur AB/2
perpendiculaire à AB.
C'est indépendant de la position de la potence.

 #7 - 03-09-2011 14:55:02

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

A la recherche du Trésor - Aidez Matihas !

halloduda : tu es sur la bonne voie ... continue wink


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #8 - 03-09-2011 18:30:51

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

a la rrcherche du trésor - aidez mathias !

franck9525 :  il n'y a qu'un seul endroit où se trouve le trésor !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #9 - 03-09-2011 18:34:06

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,857E+3

A la recherche du Trésor - Aidezz Mathias !

Je ne comprends pas l'énoncé je pense ... Parce que j'arrive à des lieux différents suivant où j'imagine la potence .  sad

 #10 - 03-09-2011 18:42:52

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

A la echerche du Trésor - Aidez Mathias !

Oui ... tu vas arriver à des lieux différents ; ça c'est sur ! mais les coordonnées de ce lieu sont indépendantes des coordonées de la potence , enfin c'est ce qu'il faut démontrer. Bonne chance smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #11 - 03-09-2011 19:30:15

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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A la recherche d uTrésor - Aidez Mathias !

On le trouve à la pointe d'un triangle isocele de base  les deux arbres et de hauteur moitié.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-tresorm.JPG

pas sûr de ma droite et de ma gauche mais bon .

 #12 - 03-09-2011 20:00:15

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

a la rechercje du trésor - aidez mathias !

tu les as inversés wink mais je ne comprends pas tes flèches. A partir de la potence il faut marcher sur une ligne DROITE vers les arbres.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #13 - 03-09-2011 20:26:18

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,857E+3

A la rechherche du Trésor - Aidez Mathias !

Elles figurent les égalités de distance, j'avais la flemme de tout annoter roll

En gros , ça dit que si a+b = x  alors (b-a) / 2 + a = x/2 
A et b étant les vecteurs vert et noir, x étant la distance entre les deux arbres.

On tourne à 90° et on a le même genre de système.

Conclusion, en absice  et en ordonnée on a x/2 quelle que soit  la potence. mais comme je suis un gros paresseux, j'ai résumé.

 #14 - 03-09-2011 21:04:03

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

a la recherche du trésor - aidez mzthias !

C'est bon mais le trésor est de l'autre coté ! Félicitation


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #15 - 04-09-2011 12:55:55

caramba
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 4

A la recherche du Trésor - Aidez Mathias !!

Sur la médiatrice du segment compris entre les deux arbres, à une distance du segment égale à la moitié de la distance entre les deux arbres, en tournant à droite (je sais, c'est pas très trigo comme expression, mais je m'inspire de l’énoncé !!!) en venant de l'arbre rouge depuis ce segment...

Pour la démonstration, je passerai plus tard !!! (un peu loin tout cela, je manque cruellement d'entrainement !)

 #16 - 04-09-2011 17:33:57

Haalf
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 2

A la echerche du Trésor - Aidez Mathias !

Je crois avoir la solution! Quel que soit l'emplacement de la potence, l'emplacement du trésor (appelons le T) est un point fixe. Il forme en fait avec les arbres bleu (point B) et rouge (point R) un triangle rectangle isocèle dont les deux arbres sont la base. Ainsi, si il veut trouver le trésor, Mathias doit se placer entre B et R (en regardant R), puis effectuer une rotation de 90° vers sa gauche avant d'avancer de BR/2.
Et y a plus qu'à creuser big_smile

 #17 - 04-09-2011 19:39:16

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 691
Lieu: Belgique

A la recherche du Trésor - Aidez athias !

Le point cherché est indépendant du point de départ et se trouve au centre du carré de côté [BR] situé sur la gauche lorsqu'on va de B à R.

Sympa ce petit problème smile

 #18 - 04-09-2011 21:42:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2981
Lieu: Luxembourg

A la recherce du Trésor - Aidez Mathias !

Bonjour,
Le trésor se trouve en un point indépendant de la potence: c'est le sommet rectangle d'un triangle isocèle issue des deux arbres. Il s'agit de celui dans le sens trigonométrique des points arbre bleu / arbre rouge / trésor (car on aurait sinon deux triangles isocèles de ce type). J'ai obtenu ce résultat en partant de deux points particuliers qui sont les deux arbres. Quant à démontrer ce que j'affirme, c'est une autre paire de manches et je donne ma langue au chat (en ayant pourtant beaucoup cherché).
Bonne soirée.
Frank

 #19 - 05-09-2011 04:46:07

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

a la rrcherche du trésor - aidez mathias !

Presque tous les logiciens ont trouvé le bon point ... Maintenant la démonstration ! je vais compléter la démonstration de Mathias !
Sur un plan orienté; on considere :
- Le point P qui représente la potence
- Le point B qui représente l'arbre bleu
- Le point R qui représente l'arbre rouge
- le point I qui représente le 1er cale
- le point J qui représente le 2me cale.
- le point T qui représente le trésor.
On pose :
[TeX]\vec{PB} \binom{Xb-Xp}{Yb-Yp}[/TeX]
On sais que [latex]\vec{BI}[/latex] est une rotation vectorielle de [latex]\vec{PB}[/latex] d'un angle de -90°.
Du coup les coordonnées de [latex]\vec{BI}[/latex] sont :
[TeX]\vec{BI} : \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\binom{Xb-Xp}{Yb-Yp}[/latex] = [latex]\vec{BI}\binom{Yb-Yp}{-Xb+Xp}[/TeX]
Alors :
[TeX]\vec{PI} \binom{Xb-Xp+Yb-Yp}{Yb-Yp-Xb+Xp }[/TeX]
on peut tirer tout simplement les coordonnées de I (1er cale).
[TeX]I \binom{Xb+Yb-Yp}{Yb-Xb+Xp }[/TeX]
De la même manière , on trouve les coordonnées de J (2eme cale).
[TeX]J \binom{Xr-Yr+Yp}{Yr+Xr-Xp}[/TeX]
Avec ces données , on peut maintenant determiner les coordonnées de T :
[TeX]T : \frac{1}{2} \binom{Xb+Yb+Xr-Yr}{-Xb+Yb+Xr+Yr}[/TeX]
On a :
http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-mathias.png

La première des deux composantes de la somme correspond aux coordonnées du centre de [BR]

par contre :
[TeX]\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\binom{Xb-Xr}{Yb-Yr} = \binom{Yb-Yr}{-Xb+Xr}[/TeX]
Alors : la deuxieme composante représente la rotation vectorielle à droite d'un angle droit (-90°) du vecteur : [latex]\frac{1}{2}\vec{RB}[/latex].

CONCLUSION :
Le triangle TBR est isocèle (puique T appartient à la médiatrice de [BR]) et rectangle en T.

Merci à tous les participants smile

enfin une petite figure big_smile
http://www.prise2tete.fr/upload/Azdod-TR11.png


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #20 - 05-09-2011 07:10:43

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

A la recherche du Trésor - Aidez Mahtias !

Bravo à halloduda qui est le seul a avoir démontrer : démonstration simple et précise smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #21 - 05-09-2011 11:50:39

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

A la recherche du Trésor - Aiez Mathias !

Le passage par les complexes permettait de rendre la résolution encore plus simple, vu que la rotation se faisait sans faire intervenir de matrice de rotation. Bravo Hallo smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #22 - 09-09-2011 05:46:52

philippe83
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 31
Messages : 17

A la recherche du Trésor - idez Mathias !

pour ceux que ça interesse, j'ai fait un fichier pour le logiciel libre "géogébra" qui visualise le tout, en permettant de bouger la position des arbres, et de la potence.
p.orand.free.fr/pdt/prise_de_tete.ggb.

 

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