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 #1 - 02-09-2011 23:04:17

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Les caéléons

Ah ! j'ai oublié de vous dire que dans l'ile de la potence se trouvent 34 caméléons. Au début, il y avait 10 de couleur rouge, 7 jaunes et le reste de couleur verte.
Quand 2 caméléons de couleurs différentes se rencontrent , ils se transforment tout les 2 en troisième couleur. Par exemple si un caméléon rouge rencontre un autre jaune; ils se transforment en caméléons Verts.
Rien ne se passe s'il s'agit de 2 caméléons de même couleur.
Mais quand mathias est arrivé a cette île pour chercher son trésor, il trouve les 34 caméléons tous de la même couleur. Laquelle ? et prouvez son unicité !



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 03-09-2011 00:32:54

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Les camélééons

Les deux groupes qui disparaissent doivent avoir la même parité car cette propriété (avoir la même parité) se conserve et elle est nécessaire pour pouvoir disparaitre : ils ne sont plus qu'un de chaque couleur à la fin (donc en nombre impair)

La démonstration est très simple : à chaque rencontre chacun des groupes de couleurs change de parité car un de leur membre disparait ou apparait.

Par conséquent mathias rencontre des caméléons rouges sur l'île (en nombre pair au début, alors que les deux autres groupes était en nombres impairs 7 et 17)

On a montré l'unicité, il faut quand même montrer que c'est possible :
5 rouges rencontre 5 verts -> il y a maintenant 5 rouges, 12 jaunes et 12 verts
les jaunes et les verts se rencontrent -> il ne reste plus que 34 rouges cool


Merci pour cette énigme sympathique  smile

 #3 - 03-09-2011 02:24:37

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Lse caméléons

Ton exemple est faux ... 12 Jaunes ?! hmm


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #4 - 03-09-2011 11:50:22

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3766
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

eLs caméléons

Bonjour,

Pour prouver la possibilité que ça se produise, il suffit de trouver un exemple :
Au départ, il y a 10R+7J+17V
1R+1V -> 2 J. Total : 9R+9J+16V
9R+9J -> 18V, Total = 34 Verts.

Pour prouver l'unicité, c'est plus compliqué...
Pour que deux couleurs disparaissent au profit de la troisième, il faut que la différence de caméléons entre ces deux couleurs soient un multiple de 3.
C'est le cas entre les rouges et les jaunes, donc seuls les verts peuvent rester tout seuls.

Merci pour ce petit problème amusant,
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #5 - 03-09-2011 12:16:46

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

les camékéons

Oui, c'était tout faux.

En fait c'est pas modulo 2 mais modulo 3 qu'il faut prendre le problème big_smile
Je reprend mon raisonnement :

Les deux groupes qui disparaissent doivent être éguaux modulo 3 car cette propriété se conserve et elle est nécessaire pour pouvoir disparaitre : ils ne sont plus qu'un de chaque couleur à la fin (1 modulo 3)

La démonstration est très simple : à chaque rencontre chacun des groupes est modifié du même nombre modulo 3 car : -1 = 2 modulo 3, donc deux groupes différent modulo 3 le reste !

Par conséquent mathias rencontre des caméléons verts sur l'île (au début : 17 = 2 modulo 3 , alors que 7 = 10 = 1 modulo 3)

On a montré l'unicité, il faut maintenant montrer que c'est possible :
1 rouges rencontre 1 verts -> il y a maintenant 9 rouges, 9 jaunes et 16 verts
les jaunes et les rouges se rencontrent -> il ne reste plus que 34 verts cool

Voilà Voilà big_smile

 #6 - 03-09-2011 15:06:15

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Les caméléos

déjà 2 bonnes réponses , bravo à klim et w9Lyl6n smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #7 - 03-09-2011 16:32:39

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Les camléons

Ils seront tous verts.

La preuve de l'existence :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-34cameleons.JPG

Mais la preuve de l'unicité ... bof

 #8 - 03-09-2011 16:35:46

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Les caméléos

Bonne réponse de Gwen : mais pas de démo hmm


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #9 - 03-09-2011 17:49:52

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

led caméléons

A première vue, je dirais qu'ils seront tous noirs à terme !

 #10 - 05-09-2011 03:38:41

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

les camélépns

lol


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #11 - 05-09-2011 09:46:29

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

les caléléons

Ils sont tous devenus verts.


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 05-09-2011 12:56:24

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

Le scaméléons

Invariant: le reste modulo 3 de la différence entre les nombres de caméléons de deux couleurs.
Démonstration: j'ai X caméléons de couleur 1, et Y de couleur 2.
Cas 1. J'arrive sur x' = X-1, y' = Y-1; x'-y' = X-Y: même différence, même modulo
Cas 2. J'arrive sur x' = X+2, y' = Y-1; x'-y' = X-Y +3 : même valeur modulo 3
Cas 3. J'arrive sur x' = X-1, y' = Y+2; x'-y' = X-Y -3 : même valeur modulo 3

Du coup, à la fin; les deux couleurs qui disparaissent sont au nombre de 0 chacune, leur différence vaut 0 modulo 3. Autrement dit, les deux couleurs qui disparaissent ont le même modulo.
10 mod 3 = 7 mod 3 = 1; 17 mod 3 = 2

Conclusion: seuls les rouges et jaunes peuvent disparaître pour laisser les verts


Exemple:
R / J / V
10 / 7 / 17 => R rencontre V
9 / 9 / 16 => R rencontre J (9 fois)
0 / 0 / 34

 #13 - 05-09-2011 15:04:46

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

Les caméélons

pour l'unicité, je ne sais pas mais pour la couleur, je propose vert smile

on a à la base :
10 * rouge
7 * jaune
17 * vert

Un vert rencontre un rouge, ils deviennent tous deux jaunes.
On a alors :
9 * rouge
9 * jaune
16 * vert

Chaque rouge rencontre alors un jaune, et ces 18 caméléons deviennent verts.
Les 34 caméléons sont donc verts quand Mathias arrive.

 

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