Bonjour,



Que les trois points d'intersection soient cocycliques, c'est normal, ils ne sont pas alignés. Que le cercle obtenu ait le même rayon, c'est ça qui est intéressant et pas seulement ...


J'ai appelé C1, C2 et C3 ces cercles, B leur point commun, C, D et E les trois autres points d'intersection.
J'ai construit le cercle [latex]\gamma[/latex]  en rouge de centre B, circonscrit à O1O2O3. En effet, BO1=BO2=BO3 puisque B est commun aux trois cercles initiaux. Ce cercle a même rayon que les autres et peut être construit à la soucoupe.

Il y a des losanges partout et cela va nous permettre de mette en évidence une symétrie centrale qui nous servira.

Les losanges CO2BO1 et O1BO3E permettent de montrer l'egalité de vecteurs
CO2=O1B=EO3.
On en déduit que CO2O3E est un parallélogramme, donc que [CO3] et [EO2] ont le même milieu que nous appelerons  [latex]\Omega[/latex]
De même, les losanges CO2BO1 et BO2DO3 permettent de montrer l'égalité de vecteurs CO1=O2B=DO3 dont on déduit que CO1O3D est un parallélogramme.
[latex]\Omega[/latex] est donc aussi le milieu de [DO1]

La symétrie de centre [latex]\Omega[/latex] transforme le triangle O1O2O3 en triangle DEC et par conséquent elle transforme le cercle circonscrit à O1O2O3 en cercle circonscrit à DEC
Ce cercle peut donc être construit aussi avec la soucoupe.

On voit aussi autre chose sur le dessin, que je n'ai pas encore réussi à montrer : B est l'orthocentre du triangle CDE.
Edit:

I got it
Toujours les losanges et ici leurs diagonales perpendiculaires.
(DB) est perpendiculaire à (O2O3) et par conséquent à  (CE) puisque (CE) est parallèle à (O2O3) - on a déjà dit que CO2O3E est un parallélogramme.
(DB) est une hauteur de CDE.
Et c'est pareil pour les (BE) perpendiculaire à (O1O3) donc à (CD).
B est bien l'orthocentre de CDE.

Joli problème joli figure ... et très riche.

Une bonne réponse de esereth

Pour ceux qui veulent essayer , contrairement aux apparences , et comme dans le problème précédent il s'agit uniquement de géométrie vectorielle .

Vasimolo

gwen , "on voit bien que" ne peut pas suffire comme justification

Vasimolo

Voilà comment j'avais vu les choses :

[latex]AEOF , BDOF , CEOD[/latex]  , sont des losanges avec toutes les égalités de longueurs et de vecteurs que cela entraîne .

On définit le point [latex]I[/latex] par [latex]\vec{AI}=\vec{FB}=\vec{EC}=\vec{OD}[/latex] alors [latex]AECI , AFBI , BDCI[/latex] sont des losanges et on peut conclure.

Ca parait assez évident mais ce n'est pas si facile à démontrer proprement !

Merci pour la participation et les prolongements proposés

Vasimolo