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 #1 - 18-09-2011 13:25:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

mars zttaque

Bonjour à tous smile

Un nouveau problème issu du site martien "Vert 2 Peau" http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=5332

"Avec ta soucoupe et par un point donné O trace trois cercles se recoupant 2 à 2 en trois points distincts , trace ensuite le cercle passant par ces trois points ."

http://img710.imageshack.us/img710/6319/soucoupesu.jpg

Mais c'est toujours possible ???

Amusez-vous bien mais attention la géométrie martienne n'est pas aisée smile

Vasimolo



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#0 Pub

 #2 - 18-09-2011 23:49:23

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

mars atraque

Bonjour,



Que les trois points d'intersection soient cocycliques, c'est normal, ils ne sont pas alignés. Que le cercle obtenu ait le même rayon, c'est ça qui est intéressant et pas seulement ...
http://www.prise2tete.fr/upload/esereth-marsattaque.png

J'ai appelé C1, C2 et C3 ces cercles, B leur point commun, C, D et E les trois autres points d'intersection.
J'ai construit le cercle [latex]\gamma[/latex]  en rouge de centre B, circonscrit à O1O2O3. En effet, BO1=BO2=BO3 puisque B est commun aux trois cercles initiaux. Ce cercle a même rayon que les autres et peut être construit à la soucoupe.

Il y a des losanges partout et cela va nous permettre de mette en évidence une symétrie centrale qui nous servira.

Les losanges CO2BO1 et O1BO3E permettent de montrer l'egalité de vecteurs
CO2=O1B=EO3.
On en déduit que CO2O3E est un parallélogramme, donc que [CO3] et [EO2] ont le même milieu que nous appelerons  [latex]\Omega[/latex]
De même, les losanges CO2BO1 et BO2DO3 permettent de montrer l'égalité de vecteurs CO1=O2B=DO3 dont on déduit que CO1O3D est un parallélogramme.
[latex]\Omega[/latex] est donc aussi le milieu de [DO1]

La symétrie de centre [latex]\Omega[/latex] transforme le triangle O1O2O3 en triangle DEC et par conséquent elle transforme le cercle circonscrit à O1O2O3 en cercle circonscrit à DEC
Ce cercle peut donc être construit aussi avec la soucoupe.

On voit aussi autre chose sur le dessin, que je n'ai pas encore réussi à montrer : B est l'orthocentre du triangle CDE.
Edit:

I got it
Toujours les losanges et ici leurs diagonales perpendiculaires.
(DB) est perpendiculaire à (O2O3) et par conséquent à  (CE) puisque (CE) est parallèle à (O2O3) - on a déjà dit que CO2O3E est un parallélogramme.
(DB) est une hauteur de CDE.
Et c'est pareil pour les (BE) perpendiculaire à (O1O3) donc à (CD).
B est bien l'orthocentre de CDE.

Joli problème joli figure ... et très riche.

 #3 - 19-09-2011 13:07:16

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Mars attqaue

3 cercles de même diamètre ?

 #4 - 19-09-2011 22:44:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Mrs attaque

Une bonne réponse de esereth smile

Pour ceux qui veulent essayer , contrairement aux apparences , et comme dans le problème précédent il s'agit uniquement de géométrie vectorielle .

Vasimolo

 #5 - 20-09-2011 18:08:41

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Maars attaque

On part du principe que les 3 centres ne peuvent pas être alignés puisqu'il sont distinct sur un même cercle ( toujours de même rayon d'ailleurs...)
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-soucoupe1.JPG

De là, on peut tracer des losanges dont le côté est les rayon des cercles entre leurs centres et leurs points d'intersection respectifs :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-cerclessoucoupe.jpg

On prend  O1C et O2C égaux au rayon du cercle : ils  se rejoignent en C.

On y applique une translation selon le vecteur XO3 égal lui aussi au rayon du cercle.
O1 devient B, O2 devient A et C devient O. ( tout ça grace au parallèlisme des côtés d'un losange)

La translation ne changeant ni les longueurs ni les angles, on a donc OA =OB =OC = XO3
Le point O est bien le centre d'un cercle de même rayon passant par les trois points d'intersection.


Le problème est juste à prendre un peu à l'envers si le cercle du bas est en haut.... euh, pas clair ! En gros, il est sous le point d'intersection des 3 cercles, il peut être au dessus.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-soucoupe2.JPG

Mais la preuve est similaire.

 #6 - 20-09-2011 22:43:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Mars attauqe

gwen , "on voit bien que" ne peut pas suffire comme justification smile

Vasimolo

 #7 - 20-09-2011 23:32:06

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2709
Lieu: Luxembourg

Mars attque

Bonjour,
Dure dure, la géométrie vectorielle: je vais tenter autre chose.
Soient [C1], [C2] et [C3] les trois cercles de même rayon se coupant en O.
Soient A1, A2 et A3 les centres respectifs de ces trois cercles.
Soient B1 le point d'intersection entre [C2] et [C3] autre que O, B2 celui entre [C1] et [C3] et B3 celui entre [C1] et [C2].
La droite (OB1) est perpendiculaire à (A2A3), (OB2) à (A1A3) et (OB3) à (A1A2).
Donc les triangles A1A2A3 et B1B2B3 sont semblables et de même surface.
Donc les cercles passant par les points respectivement A1, A2 et A3 (appelons-le [C0]) et B1, B2 et B3 (appelons-le [C4]) ont le même rayon.
Or le cercle [C0] a évidemment le même rayon que les cercles [C1], [C2] et [C3]. Il en est donc de même pour le cercle [C4]: cqfd.
Bonne soirée.
Frank

 #8 - 21-09-2011 15:51:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Mras attaque

Voilà comment j'avais vu les choses :

[latex]AEOF , BDOF , CEOD[/latex]  , sont des losanges avec toutes les égalités de longueurs et de vecteurs que cela entraîne .
http://img14.imageshack.us/img14/586/solutiond.jpg
On définit le point [latex]I[/latex] par [latex]\vec{AI}=\vec{FB}=\vec{EC}=\vec{OD}[/latex] alors [latex]AECI , AFBI , BDCI[/latex] sont des losanges et on peut conclure.

Ca parait assez évident mais ce n'est pas si facile à démontrer proprement !

Merci pour la participation et les prolongements proposés smile

Vasimolo

 #9 - 21-09-2011 18:13:43

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Mars attaqu

Bah, je suis content, on a presque le même dessin ! smile

 

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