Pas sûr de faire une réponse très inspirée
Deuxième essai
Dans un course de 5, éliminer les 2 derniers m'assure qu'ils ne font pas partie de 3 meilleurs de l'ensemble!
Etape 1: 5 courses de 5
Etape 2: 1 course avec les 5 premiers: le demi-finale.
Etape 3: La grande finale avec les 3 premiers des deux courses du vainqueur de la demi-finale.
On garde les 3 meilleurs.

J'arrive à 7 courses.

Alors je dirais:
5 courses avec chacune 5 chevaux différents (on appellera ces courses A,B,C,D,E et A1,A2,A3,A4,A5 les chevaux dans l'ordre d'arrivée de la course A)

On prend les meilleurs (A1, B1, C1, D1, E1)  et on fait une 6ème course, on garde les 3 premiers comme étant les meilleurs potentiels. Pour fixer les idées, on va dire par exemple A1, B1 et C1, dans cet ordre.

A1 est le plus rapide de tous, B1 pourrait être battu par A2 voire A3, et C1 par A2, A3 ou B2. On ne s'interesse pas au cas ou C1 serait battu par B3, car dans ce cas il le serait aussi par B2, et du coup sera battu par A1, B1 et B2 ce qui l'excluerait du podium.
On va donc faire une 7ème course A2, A3, B1, B2, C1. On sait qu'à priori A2 arrive avant A3 et B1 avant B2 et C1.
Les possibilités d'arrivée sont multiples mais les deux premiers arrivés seront respectivement 2ème et 3ème au classement général.
Il faut donc 7 courses

Surtout ne pas faire de jeux de mots sur aheni qui répond à une question sur les courses de chevaux...

En fait les 3 meilleurs peuvent très bien être dans la même catégorie.. Ce qui fait le découpage suivant:

5-3
5-3  5-3  On prend les 3 meilleurs de chaque course à chaque fois.
5-3  5-3  5-3------1 
5-3  5-3  4-3  5-3    4-3
5-3

Soit un total de 12 courses