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 #1 - 11-04-2011 17:32:18

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

De la géométrie pas prise de tête....

Soit ABC un triangle isocèle avec AB = AC. La bissectrice de l'angle B coupe AC en D et BC = BD + AD. Déterminez l'angle A.



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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 #2 - 11-04-2011 20:29:01

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 495
Lieu: Ardèche

De la géométrie psa prise de tête...

100°

 #3 - 12-04-2011 01:52:40

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

De la géoméétrie pas prise de tête...

B est un angle nul.
Donc on peut dire que A est un angle droit..

j'avais compris que le sommet du triangle isocele etait B, et non A...

Je recommence...
pas le temps... mais a vu de nez A est pres de 120 degres.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 12-04-2011 19:50:31

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

De la géométrie pas prise de têt...

Angle A = pi/2


on défini angle b la moitié de l'angle ABC .

triangle ABC

a =pi-4b
sinA/BC= sin2b/ AC


triangle ABD

ADB = 3b=D

sinA  / BD  = sin b   / AD = sin D /AB = (sin A  +sinb)/(BD+AD)= (sinA+sinb)/BC


on remplace tout en fonction de b et en simplifiant

cos2b= 1/(2^0.5) soit B = pi/4 soit A= pi/2

 #5 - 12-04-2011 20:02:12

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

de la géométrie pas prise de rête...

Selon toi, l'angle A serait droit, c'est ça ?


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #6 - 12-04-2011 20:10:18

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

De la géométrie pas pries de tête...

pas taper pas taper, l'angle A il est droit ou pas c'est comme vous voulez !!


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 12-04-2011 20:11:30

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

De la géométrie pas prise ed tête...

lollollol


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #8 - 12-04-2011 20:30:39

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

De la géométrie pass prise de tête...

merci de rire yikes
c'était le but voulu, j'ai eu peur que ce soit trop agressif, merci l'ami  lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #9 - 14-04-2011 12:38:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3079
Lieu: Luxembourg

De la géoméétrie pas prise de tête...

Bonjour,

Soit a l'angle ABD = CBD. On a alors les angles suivants:
BCD = 2a; BDC = pi - 3a; ADB = 3a et BAD (l'angle cherché A) = pi - 4a
Dans le triangle ABD: AD / sin a = BD / sin (pi - 4a)
Dans le triangle BCD: BC / sin (pi - 3a) = BD / sin 2a
Donc AD = BD sin a / sin 4a et BD = BC sin 2a / sin 3a
La relation BC = BD + AD s'écrit alors:
BC = BD (1 + sin a / sin 4a) = BC (sin 2a / sin 3a) (1 + sin a / sin 4a)
ou encore: sin 3a sin 4a = sin a sin 2a + sin 2a sin 4a
ce qui donne: cos a - cos 7a = cos a - cos 3a + cos 2a - cos 6a
soit encore: cos 3a - cos 2a = cos 7a - cos 6a
qu'on peut écrire: sin a (sin 13a/2 - sin 5a/2) = 0
NB: Pour les 3 dernières lignes, j'ai appliqué la formule trigonométrique:
sin p sin q = 1/2 [cos (p-q) - cos (p+q)] et son complément "inverse":
cos p - cos q = - 2 sin [(p+q)/2] sin [(p-q)/2]

Donc trois cas de figures se présentent:
1°) sin a = 0, soit a = 2k pi, seul a = 0 convient (solution triviale ou AD = 0 et BC = BD) et donc A = pi - 4a = pi = 180° (angle plat);
2°) sin 13a/2 = sin 5a/2 avec 13a/2 - 5a/2 = 2k pi, soit a = 1/2 k pi, seul a = pi/2 = 90° conviendrait (autre solution triviale où A, D, B et C sont alignés) et donc A = pi - 4a = -pi = -180° (angle plat, mais dans l'autre sens), encore que le triangle "plat" résultant n'est plus vraiment isocèle;
3°) sin 13a/2 = sin 5a/2 avec 13a/2 = pi - 5a/2 + 2k pi, soit a = pi/9 + 2/9 k pi, seul a = pi/9 = 20° convient (le suivant est pi/2 déjà vu puis 5pi/9 trop grand) et donc A = pi - 4a = 5pi/9 = 100°.

CONCLUSION: Hormis l'angle plat trivial, la seule solution est A = 100°.
J'ai quand même vérifié (par acquis de conscience): ici BD = env. 0,742 BC et AD = env. 0,258 BC et on a bien BC = BD + AD.

Ouf et bonne journée à tous.
Frank
PS: Ma solution est fastidieuse, mais - je pense - complète.

 #10 - 14-04-2011 15:51:13

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

De la géométrie pas prrise de tête...

En faisant un schema je trouve A=100°
je chercherai apres pour le prouver

 #11 - 14-04-2011 20:48:24

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 692
Lieu: Belgique

De la géométrie pas prise de têe...

Peut-être pas prise de tête ta géométrie SaintPierre, mais ça dépend de la tête...
La mienne n'a pas réussi à prouver A=100° (l'angle à ébullition lol)
Bravo Franky1103!

 #12 - 14-04-2011 20:59:46

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

De la géométrie pas prise de tête..

Il y a plus simple, looozer.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #13 - 22-04-2011 01:19:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

e la géométrie pas prise de tête...

J'ai trouvé une démo toute bête avec une simple chasse aux angles , sans trigo , ça repose smile

http://img508.imageshack.us/img508/5510/100degrs.jpg

Vasimolo

 #14 - 24-04-2011 13:10:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

de la géométrie pas prise de yête...

Je crois que j'ai réussi à simplifier mon illustration précédente :

http://img705.imageshack.us/img705/2550/100degrs3.jpg

M est le point de (AB) tel que D soit le centre du cercle inscrit dans le triangle BCM . La parallèle à (BC) passant par D coupe [MC] en P et on note Q la quatrième sommet du parallélogramme BCPQ . Un coup d'oeil sur les angles de la figure donne AD=DP donc BC=BD+DP si et seulement si le triangle BDQ est isocèle en D c'est à dire si D=20° donc Â=100° .

On doit pouvoir encore faire plus simple smile

Vasimolo

 #15 - 21-05-2011 20:20:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

de la géomérrie pas prise de tête...

Encore une autre façon de voir les choses smile

http://img580.imageshack.us/img580/8118/100degr.jpg

Vasimolo

 #16 - 21-05-2011 21:16:36

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1934
Lieu: 86310

de la géométroe pas prise de tête...

Après avoir enlevé le haut, Vasimolo enlève le bas ! lol


The proof of the pudding is in the eating.

 #17 - 21-05-2011 23:20:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

de ma géométrie pas prise de tête...

Certains problèmes m'obsèdent mais je ne suis pas un obsédé smile

En tout cas je ne suis pas membre du FMI lollol

Vasimolo

 #18 - 21-05-2011 23:28:16

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

De la géométtrie pas prise de tête...

joli en tout cas la solution du 3eme dessin  de Vasimolo smile

 #19 - 23-05-2011 07:57:43

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3079
Lieu: Luxembourg

De la géométrie pas prise d tête...

Bonjour,
Effectivement, la solution géométrique de Vasimolo est beaucoup plus élégante.
J'avoue que ma solution trigonométrique est lourde (et j'ai eu du bol de pouvoir factoriser les formules).
Bonne journée.
Frank
PS: je trime toujours sur une énigme de mon cru, mais la difficulté consiste à être à la hauteur des brillants prisedetêtiens.

 

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