B est un angle nul.
Donc on peut dire que A est un angle droit..
j'avais compris que le sommet du triangle isocele etait B, et non A...

Je recommence...
pas le temps... mais a vu de nez A est pres de 120 degres.

Selon toi, l'angle A serait droit, c'est ça ?

Bonjour,

Soit a l'angle ABD = CBD. On a alors les angles suivants:
BCD = 2a; BDC = pi - 3a; ADB = 3a et BAD (l'angle cherché A) = pi - 4a
Dans le triangle ABD: AD / sin a = BD / sin (pi - 4a)
Dans le triangle BCD: BC / sin (pi - 3a) = BD / sin 2a
Donc AD = BD sin a / sin 4a et BD = BC sin 2a / sin 3a
La relation BC = BD + AD s'écrit alors:
BC = BD (1 + sin a / sin 4a) = BC (sin 2a / sin 3a) (1 + sin a / sin 4a)
ou encore: sin 3a sin 4a = sin a sin 2a + sin 2a sin 4a
ce qui donne: cos a - cos 7a = cos a - cos 3a + cos 2a - cos 6a
soit encore: cos 3a - cos 2a = cos 7a - cos 6a
qu'on peut écrire: sin a (sin 13a/2 - sin 5a/2) = 0
NB: Pour les 3 dernières lignes, j'ai appliqué la formule trigonométrique:
sin p sin q = 1/2 [cos (p-q) - cos (p+q)] et son complément "inverse":
cos p - cos q = - 2 sin [(p+q)/2] sin [(p-q)/2]

Donc trois cas de figures se présentent:
1°) sin a = 0, soit a = 2k pi, seul a = 0 convient (solution triviale ou AD = 0 et BC = BD) et donc A = pi - 4a = pi = 180° (angle plat);
2°) sin 13a/2 = sin 5a/2 avec 13a/2 - 5a/2 = 2k pi, soit a = 1/2 k pi, seul a = pi/2 = 90° conviendrait (autre solution triviale où A, D, B et C sont alignés) et donc A = pi - 4a = -pi = -180° (angle plat, mais dans l'autre sens), encore que le triangle "plat" résultant n'est plus vraiment isocèle;
3°) sin 13a/2 = sin 5a/2 avec 13a/2 = pi - 5a/2 + 2k pi, soit a = pi/9 + 2/9 k pi, seul a = pi/9 = 20° convient (le suivant est pi/2 déjà vu puis 5pi/9 trop grand) et donc A = pi - 4a = 5pi/9 = 100°.

CONCLUSION: Hormis l'angle plat trivial, la seule solution est A = 100°.
J'ai quand même vérifié (par acquis de conscience): ici BD = env. 0,742 BC et AD = env. 0,258 BC et on a bien BC = BD + AD.

Ouf et bonne journée à tous.
Frank
PS: Ma solution est fastidieuse, mais - je pense - complète.

Peut-être pas prise de tête ta géométrie SaintPierre, mais ça dépend de la tête...
La mienne n'a pas réussi à prouver A=100° (l'angle à ébullition )
Bravo Franky1103!

J'ai trouvé une démo toute bête avec une simple chasse aux angles , sans trigo , ça repose



Vasimolo

Encore une autre façon de voir les choses



Vasimolo

Certains problèmes m'obsèdent mais je ne suis pas un obsédé

En tout cas je ne suis pas membre du FMI

Vasimolo

Bonjour,
Effectivement, la solution géométrique de Vasimolo est beaucoup plus élégante.
J'avoue que ma solution trigonométrique est lourde (et j'ai eu du bol de pouvoir factoriser les formules).
Bonne journée.
Frank
PS: je trime toujours sur une énigme de mon cru, mais la difficulté consiste à être à la hauteur des brillants prisedetêtiens.