Bonjour,

Le fait de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3 est un exercice classique de spé maths.  C'est bien de changer

On va commencer de la même façon qu'Euclide dans sa démonstration de l'infinité de nombres premiers. Et montrer que notre hypothèse est absurde.

Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k+1,
Notons les p1, p2,..., pn et posons N=(2*p1*p2*...*pn)^2+1.
C'est clairement un nombre de la forme 4k+1. C'est aussi clairement un nombre de la forme a^2+1.

De deux choses l'une, ou il est premier, ou possède un facteur premier.
Optons pour la deuxième hypothèse. Notons q ce facteur premier. Ce ne peut pas être 2. Peut-on avoir q de la forme 4k+3 ? 
Dans ce cas nous aurions q=2*m+1 avec m impair.
Comme q divise N, a^2 congru à -1 modulo q donc a^2m congru à (-1)^m = -1 modulo q
Mais 2m=q-1 ce qui permet d'écrire a^(q-1) congru à -1 modulo q
D'autre part, q divise N mais ne divise pas a, le petit théorème de Fermat nous dit donc que
a^(q-1) congru à 1 modulo q.
-1 et 1 ne sont pas congrus modulo un premier impair.
On a donc une contradiction qui nous permet d'affirmer que si N possède un facteur premier, celui-ci est de la forme 4k+1.
Dans ce cas, puisque les facteurs premiers sont en nombre fini, q est l'un des pi.
q divise a, donc a^2, donc N-a^2 qui vaut 1.
On aboutit à une seconde contradiction et on arrive à dire que N ne possède pas de facteur premier.
N serait donc premier, de la forme 4k+1, mais ne ferait pas partie de la liste p1, p2, pn.

L'hypothèse initiale était absurde : Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+1

Et une magnifique esereth comme d'habitude

je n'ai pas de preuve formel, mais assez pour me convaincre que c'est vrai

En effet si il existait un nombre fini de nombre premier de la forme 4n+1 alors il existerait un nombre maximum 4n'+1,

Ce qui signifie qu'il n'existerait qu'un nombre fini de premier jumeaux, or il est conjecturé qu'il en existe un nombre infini, si une preuve existait aussi simple, la conjecture serait fausse ....

donc c'est forcement faux !! -> il en existe un nombre infini 

je me planche sur une preuve

On a le droit d'utiliser le théorème de Dirichlet ?

Vasimolo

Supposons qu'il existe un nombre fini N de nombres p qui sont premiers et valant 1 modulo 4.

Je considère le nouveau nombre M défini ainsi :
[TeX]M=4\left(\prod_{i=1}^Np_i\right)^2+1[/TeX]
avec [latex]P=\prod_{i=1}^Np_i[/latex]

Ce nouveau nombre est bien de la forme 4n+1.
Par hypothèse, il n'est pas premier, car strictement plus grand que [latex]p_N[/latex]. Il a donc au moins 2 diviseurs.

M est clairement premier avec tous les [latex]p_i[/latex].
Les diviseurs de M sont donc tous de la forme 4n+3.

Prenons p=4n+3 un diviseur premier de M.
On peut utiliser le petit théorème de Fermat avec 2P premier avec p :
[TeX](2P)^{p-1}\equiv1[p][/TeX][TeX](2P)^{4n+2}\equiv1[p][/TeX]
Or [latex]M=4P^2+1[/latex], donc :
[TeX](M-1)^{2n+1}\equiv1[p][/TeX]
Mais M est un multiple de p, donc on arrive à :
[TeX]-1\equiv1[p][/TeX]
Impossible car p > 2

On arrive donc à une contradiction, et on en déduit que l'ensemble des nombres premiers de la forme 4n+1 est infini




Cette démonstration me fait penser à celle des nombres premiers s'écrivant 4n+3, qui est plus facile.

Bravo à tous

On y va avec un bulldozer
1 et 4 sont premiers entre eux : d'après le théorème de la progression arithmétique, il existe donc une infinité de nombre premiers de la forme 4n+1

@ Rivas :
@ Scarta : t'as utilisé un résultat direct ! il vaut mieux demontrer avec les arithmétiques.

Euh attention à ne pas dire de bêtises il faut ajouter deux conditions à cette phrase :

nodgim a écrit:

En plus, il est extensible à toute expression an+b.

[latex]an+b \in \mathbb{P}[/latex] ssi et [latex]PGCD(a;b)=1[/latex]

Shadock

Si a<b ça ne fonctionne que de temps en temps. La démo je ne l'ai plus mais si je l'a retrouve

La démonstration de ce théorème en entier est difficile et demande des fonctions de variables complexes. J'avais un pdf mais je ne le trouve plus.

Par contre il n'est pas difficile de montrer qu'il existe une infinité d'entiers de la forme 4n+3.

Shadock

Le théorème de la progression arithmétique ou théorème de Lejeune-Dirichlet est :

Si [latex]PGCD(p;q)=1[/latex] alors il existe une infinité de nombre premier de la forme [latex]k*q+p[/latex] avec [latex]k \in \mathbb{N}[/latex]

Scarta connaissant ce théorème n'avait plus qu'à l'appliquer pour [latex]p=1[/latex] et [latex]q=4[/latex].

Mais la démonstration du théorème en lui même est assez compliquée.

Shadock