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 #1 - 02-10-2011 04:51:08

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

Avec le snombres premiers !

Montrez que la suite (4n+1) Avec "n dans N" contient une infinité des nombres premiers.

Bonne chance



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 02-10-2011 08:10:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,549E+3

Avec les nombres pemiers !

Vu comme ça, je pense que n=1 est le seul terme qui donne un entier. 5 J'ai loupé quelque chose dans l'énoncé ?

 #3 - 02-10-2011 08:16:36

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

Avec les nombres premierrs !

Bonjour,

Le fait de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3 est un exercice classique de spé maths.  C'est bien de changer smile

On va commencer de la même façon qu'Euclide dans sa démonstration de l'infinité de nombres premiers. Et montrer que notre hypothèse est absurde.

Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k+1,
Notons les p1, p2,..., pn et posons N=(2*p1*p2*...*pn)^2+1.
C'est clairement un nombre de la forme 4k+1. C'est aussi clairement un nombre de la forme a^2+1.

De deux choses l'une, ou il est premier, ou possède un facteur premier.
Optons pour la deuxième hypothèse. Notons q ce facteur premier. Ce ne peut pas être 2. Peut-on avoir q de la forme 4k+3 ? 
Dans ce cas nous aurions q=2*m+1 avec m impair.
Comme q divise N, a^2 congru à -1 modulo q donc a^2m congru à (-1)^m = -1 modulo q
Mais 2m=q-1 ce qui permet d'écrire a^(q-1) congru à -1 modulo q
D'autre part, q divise N mais ne divise pas a, le petit théorème de Fermat nous dit donc que
a^(q-1) congru à 1 modulo q.
-1 et 1 ne sont pas congrus modulo un premier impair.
On a donc une contradiction qui nous permet d'affirmer que si N possède un facteur premier, celui-ci est de la forme 4k+1.
Dans ce cas, puisque les facteurs premiers sont en nombre fini, q est l'un des pi.
q divise a, donc a^2, donc N-a^2 qui vaut 1.
On aboutit à une seconde contradiction et on arrive à dire que N ne possède pas de facteur premier.
N serait donc premier, de la forme 4k+1, mais ne ferait pas partie de la liste p1, p2, pn.

L'hypothèse initiale était absurde : Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+1

 #4 - 02-10-2011 08:33:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3057

avec les nombrrs premiers !

Euh...(4n+1)/n c'est déja pas souvent un entier......

 #5 - 02-10-2011 13:46:05

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

avec les nombres prrmiers !

Et une magnifique esereth comme d'habitude smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #6 - 02-10-2011 13:48:04

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

Avec les nnombres premiers !

@ gwen and nodgim : La suite demandée est 4n+1 avec n dans N.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #7 - 02-10-2011 14:40:15

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Avec les nombes premiers !

je n'ai pas de preuve formel, mais assez pour me convaincre que c'est vrai big_smile

En effet si il existait un nombre fini de nombre premier de la forme 4n+1 alors il existerait un nombre maximum 4n'+1,

Ce qui signifie qu'il n'existerait qu'un nombre fini de premier jumeaux, or il est conjecturé qu'il en existe un nombre infini, si une preuve existait aussi simple, la conjecture serait fausse ....

donc c'est forcement faux !! -> il en existe un nombre infini  wink

je me planche sur une preuve smile

 #8 - 02-10-2011 15:02:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,549E+3

avec les nombres premierd !

Maintenant oui, c'est clair... avec l'énoncé réajusté.

Si les 4n+1 ne contiennent pas une infinité de nombres premiers, cela veut dire que les 4n+2 4n+4 et 4n+3 en contiennent une infinité, les 4n+3 donc...les autres étant pairs.

Edit, après, j'ai dit une idiotie...

 #9 - 02-10-2011 16:57:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4759

Avec les nommbres premiers !

On a le droit d'utiliser le théorème de Dirichlet ?

Vasimolo

 #10 - 02-10-2011 17:34:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3057

avec les nombres premizrs !

Le 1er nombre premier de la liste, 5, élimine 1/5 des nombres susceptibles d'être premier, car 4(1+5k) +1 est divisible par 5.
Même raisonnement pour tous les nb premiers qu'on rencontre dans la liste:
Ce filtre dit qu'il reste (1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)...nombres susceptibles d'être premiers. Ce produit ne peut être nul. 
Or tout nombre n'ayant pas été éliminé dans cette liste est premier, car sinon il serait produit de 2 premiers 4k+1=pn*pm mais le plus petit de pn ou pm est <2rac(k)<k, donc le plus petit premier a déja été vu dans la liste, donc le nombre testé aurait été éliminé. Contradiction.

 #11 - 02-10-2011 19:18:05

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2009
Lieu: Paris

zvec les nombres premiers !

Supposons qu'il existe un nombre fini N de nombres p qui sont premiers et valant 1 modulo 4.

Je considère le nouveau nombre M défini ainsi :
[TeX]M=4\left(\prod_{i=1}^Np_i\right)^2+1[/TeX]
avec [latex]P=\prod_{i=1}^Np_i[/latex]

Ce nouveau nombre est bien de la forme 4n+1.
Par hypothèse, il n'est pas premier, car strictement plus grand que [latex]p_N[/latex]. Il a donc au moins 2 diviseurs.

M est clairement premier avec tous les [latex]p_i[/latex].
Les diviseurs de M sont donc tous de la forme 4n+3.

Prenons p=4n+3 un diviseur premier de M.
On peut utiliser le petit théorème de Fermat avec 2P premier avec p :
[TeX](2P)^{p-1}\equiv1[p][/TeX][TeX](2P)^{4n+2}\equiv1[p][/TeX]
Or [latex]M=4P^2+1[/latex], donc :
[TeX](M-1)^{2n+1}\equiv1[p][/TeX]
Mais M est un multiple de p, donc on arrive à :
[TeX]-1\equiv1[p][/TeX]
Impossible car p > 2

On arrive donc à une contradiction, et on en déduit que l'ensemble des nombres premiers de la forme 4n+1 est infini smile




Cette démonstration me fait penser à celle des nombres premiers s'écrivant 4n+3, qui est plus facile.

 #12 - 02-10-2011 22:21:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3325

Avec les nobres premiers !

Soit [latex]a \in \mathbb{N}^*[/latex] et pair.
Soit [latex]p \in \mathbb{P}, \text{ } p|(a^2+1)[/latex]

Alors [latex]a\equiv-1 [p][/latex] donc [latex]a^4 \equiv 1 [p][/latex]. Or [latex]p[/latex] ne divise pas [latex]a[/latex] sinon [latex]a^4\equiv a \equiv 0 [p][/latex].
Donc d'après le petit théorème de Fermat on a : [latex]a^{p-1} \equiv 1 [p][/latex].
Comme [latex]a^2+1[/latex] est impair, tout premier [latex]p[/latex] le divisant est de la forme [latex]4n+1[/latex] ou [latex]4n+3[/latex].
Si [latex]p=4n+3[/latex] alors [latex]p-1=4n+2[/latex] d'où [latex]a^{p-1} \equiv (a^4)^n*a^2 \equiv -1 [p][/latex] soit p=2 donc [latex]p=4n+1[/latex]

Donc [latex]\forall p \in \mathbb{P} \text{ ,} p|(a^2+1)[/latex] est de la forme [latex]4n+1[/latex].

Conclusion il y a une infinité d'entier n tel que [latex]U_n \in \mathbb{P}[/latex].

Quod Erat Demonstrandum big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 03-10-2011 02:47:44

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Aveec les nombres premiers !

Bravo à tous


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #14 - 03-10-2011 11:21:32

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

Avec les nombrse premiers !

C'est du très très classique ça smile
De la question de cours, je dirai même.
Je note d'ailleurs que récemment, on s'est éloigné un peu des éngimes pour s'orienter vers des mathématiques pures et parfois "scolaires".

Ce n'est pas la peine de retaper du très classique, voici donc une démonstration courte et efficace (pas de moi je précise):
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f … 74#p340684

 #15 - 03-10-2011 12:15:26

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1448

Avec les nmbres premiers !

On y va avec un bulldozer smile
1 et 4 sont premiers entre eux : d'après le théorème de la progression arithmétique, il existe donc une infinité de nombre premiers de la forme 4n+1

 #16 - 03-10-2011 18:54:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Avec les nmobres premiers !

J'attire l'attention du lecteur sur le fait que la démo présentée ci-avant (msg 10) est valable pour n'importe quelle fonction an+b, pourvu que a et b soit premiers entre eux.

 #17 - 03-10-2011 19:01:24

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

Avec les nombres premers !

@ Rivas : lol
@ Scarta : t'as utilisé un résultat direct ! il vaut mieux demontrer avec les arithmétiques.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #18 - 06-10-2011 17:49:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3057

avec les nombres premizrs !

scarta a écrit:

On y va avec un bulldozer smile
1 et 4 sont premiers entre eux : d'après le théorème de la progression arithmétique, il existe donc une infinité de nombre premiers de la forme 4n+1

Je le trouve pas bulldozer du tout ce théorème, facile à comprendre.
En plus, il est extensible à toute expression an+b.

 #19 - 26-02-2012 02:15:16

shadock
Elite de Prise2Tete
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Avce les nombres premiers !

Euh attention à ne pas dire de bêtises il faut ajouter deux conditions à cette phrase :

nodgim a écrit:

En plus, il est extensible à toute expression an+b.

[latex]an+b \in \mathbb{P}[/latex] ssi et [latex]PGCD(a;b)=1[/latex]

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 26-02-2012 08:08:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
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avzc les nombres premiers !

Pour PGCD=1 je l'ai dit. En revanche, je ne savais pas qu'il fallait la contrainte  a>b.

 #21 - 26-02-2012 13:51:39

shadock
Elite de Prise2Tete
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abec les nombres premiers !

Si a<b ça ne fonctionne que de temps en temps. La démo je ne l'ai plus mais si je l'a retrouve wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 26-02-2012 14:45:32

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2009
Lieu: Paris

Avec les nombres premers !

Je ne pense la que a>b soit nécessaire.
En effet, an+b = a(n+k) + (b-ak), où k est le quotient de la division eucludienne de b par a.
b-ak est le reste, il est donc strictement inférieur à a.
Et on a juste opéré une translation des nombres, ce qui ne change pas la caractère infini ou non de l'ensemble des nombres premiers de cette forme wink

 #23 - 26-02-2012 17:17:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3325

Avec les nomrbes premiers !

La démonstration de ce théorème en entier est difficile et demande des fonctions de variables complexes. J'avais un pdf mais je ne le trouve plus. sad

Par contre il n'est pas difficile de montrer qu'il existe une infinité d'entiers de la forme 4n+3.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 26-02-2012 19:52:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Avec les nombres premmiers !

Qu'est ce qui ne va pas avec la démo dite de la "progression arithmétique" ? Elle m'a l'air plus simple à comprendre.

 #25 - 26-02-2012 20:55:41

shadock
Elite de Prise2Tete
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avec les nombres ptemiers !

Le théorème de la progression arithmétique ou théorème de Lejeune-Dirichlet est :

Si [latex]PGCD(p;q)=1[/latex] alors il existe une infinité de nombre premier de la forme [latex]k*q+p[/latex] avec [latex]k \in \mathbb{N}[/latex]

Scarta connaissant ce théorème n'avait plus qu'à l'appliquer pour [latex]p=1[/latex] et [latex]q=4[/latex].

Mais la démonstration du théorème en lui même est assez compliquée. smile

Shadock


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Montrer qu il y a une infinite de nombres premiers congrus a 1 modulo 4 (1) — Montrer que les diviseurs de n sont de la forme 4k+1 ou 4k+3 (1) — Nombre premier 4k+1 ou 4k+3 (1) — 5 nombres premiers de la forme 4n-1 (1) — (1) — Est ce que il y a une infinite de nombre premiers de la forme 3+4z (1) — Exercice spe math demonstration de l infinitude des nombres premiers (1) — Infinites de nombre premier de la forme (1) — Il y a une infinite de nombre premier 4k+3 (1) — Infinite de 4n +1 premier (1) — 5 nombre premier de la forme 4n-1 (1) — Il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n-1 par l absurde (1) — Enigme avec un nombre premier (1) — Il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n 1 (1) — Supposons qu il existe un nombre fini p1p2 de nombres premiers de la forme 4k+3 (1) — Demo nombre premier (1) — Infinite de nombres premiers 4n+1 demonstration (1) — En deduire qu il y a une infinite de nombres premiers de la forme 4n+3 (1) — Nombre premier 4n+1 ou 4n+3 (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombres premiers sous la forme 4n+3 (1) — 4k-1 est premier (1) — Il xiste une infinite de nombres premiers de forme 4n+1 (1) — Il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n +1 (1) — Nombre premier 4k +1 4k + 3 (1) — 4n+1 premier (1) — Enigmes avec nombre premiers (1) — Exercice nombres premier (1) — Il existe une infinite de nombre premiers de la forme 4k 3 (1) — Enigmes avec des nombres (1) — Jeu sur les nombres premiers (1) — Montrer existe une infinite de nombre premier 4 m+1 (1) — Il existe une infinite de nombres premier de la forme 4k+3 (1) — Egnime avec un chiffre premier (1) — Infinite des premiers 4n 3 spe s (1) — Demontrer qu il existe une infinites de nombres premiers forme 4n+1 (1) — Exercice spe math infinite nombre premier (1) — Math spe : 5 nombre de la forme 4n-1 (1) — Demo 4k+3 infinite premier (1) — Exercice math spe nombre premier messages secrets (1) — Montrer que si p1p2...pn sont n nombres premiers alors aucun ne divise k=p1*p2*...*pn+1 (1) — (1) — Nombres premiers 4n-1 (1) — Nombre premier 4n-1 (1) — Etablir n^2 de la forme 4k ou 4k+1 spe maths (1) — Premier (1) — Exos maths nombres premiers (1) — Infinite premier 4 (1) — Infinite de nombres premier de la forme 4k+3 exercice (1) — Montrer que tout nombre premier impair est de la forme 4k 1 (1) — Une infinite de nombre premiers exo spe maths (1) — Infinite de nbres premiers de la forme 4n-1 (1) — Devinette chiffres impairs en progression arithmetique (1) — Une infinite de nombres premiers sous la forme 4n+1 (1) — Infinite premiers 4n+3 (1) — Montrer par absurde que l ensemble des nombres premiers congruence 3 (1) — Exo spe maths une infinite de nombres premiers (1) — Spe maths infinite de nombres premiers 4n+1 (1) — Infinite nombre premier exercice (1) — (1) — Spe math nombre premier (1) — 4n+3 demonstration nombre infini de nombre premier (1) — Existe t il une infinite. nombres premiers p de la forme p=4k-1 (1) — Infinite premiers forme 4n+3 (1) — Ts maths il existe une infinite de nombres premiers congrus a 3 modulo 4 (1) — Demontrer que les nombres premiers de la forme 4k+3 est infini (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombre premier congru a 1 modulo 4 (1) — Infinite de nombre premier fermat (1) — On souhaite montrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4k+1 (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la fomr 4k+3 (1) — Devinette avec des nombre (1) — Deduire une infinite de nombre premier 4k+1 (1) — Ensemble des nombres premiers infini exercice (1) — L ensemble des entiers premiers de la forme 4n-1 est infini(pdf) (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombre premier sous la forme de 4n+3 (1) — Infinite/nombre premiers 4k+1 (1) — Demontrer l infinite des nombres premiers de la forme 4k+3 (1) — Demo rapide infinite nombre premier (1) — Arithmetique reste de la division eucludienne (1) — Jeux nombres premiers (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n + 1 (1) — Montrer que l?ensemble des nombres premiers de la forme 4n 3 (ou 4n?1) sont en nombre infini. (1) — Supposons qu il existe un plus grand nombre premier p spe math (1) — Nombre infini de nombres premiersde la forme 4m+3 (1) — Demontrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n+1 (1) — Nombres premiers exercices (1) — Il y a une infinite de nombre premier congru a 1 modulo 4 (1) — Demontrer qu il existe une infinite de nombre premier de la forme 4k-1 (1) — Etablir que n^2 secrit sous la forme 4k ou 4k+1 (1) — Infinite de (4k-1) (1) — Existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n + 3 (1) — Demontrer l infinite de nombres premiers de la forme 4k+1 (1) — Ensembles de nombres premiers de la forme 4k+1 (1) — Ensemble des premiers de la forme 4k+1 (1) — Correction une infinite de nombres premiers (1) — Corrige infibite de nombres premiers n=4k+3 (1) — 4n-1 infinite premiers (1) — 4n+1 premier fini (1) — En deduire que l ensemble des nombre premier de la forme 4k-1est infini (1) — Montrer quil existe une infinite de nombre premier 4k+1 (1) — 4n+3 premier infinie (1) — Il existe une infinite de nombres premiers de la forme 6n+1 (1) — Nombres premiers congrus a 1 (1) — Nombres premiers de la forme 4k+1 (1) —

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