Supposons qu'il existe un nombre fini N de nombres p qui sont premiers et valant 1 modulo 4.
Je considère le nouveau nombre M défini ainsi :
M=4(N∏i=1pi)2+1
avec
P=∏Ni=1piCe nouveau nombre est bien de la forme 4n+1.
Par hypothèse, il n'est pas premier, car strictement plus grand que
pN. Il a donc au moins 2 diviseurs.
M est clairement premier avec tous les
pi.
Les diviseurs de M sont donc tous de la forme 4n+3.
Prenons p=4n+3 un diviseur premier de M.
On peut utiliser le petit théorème de Fermat avec 2P premier avec p :
(2P)p−1≡1[p]
(2P)4n+2≡1[p]
Or
M=4P2+1, donc :
(M−1)2n+1≡1[p]
Mais M est un multiple de p, donc on arrive à :
−1≡1[p]
Impossible car p > 2
On arrive donc à une contradiction, et on en déduit que l'ensemble des nombres premiers de la forme 4n+1 est infini

Cette démonstration me fait penser à celle des nombres premiers s'écrivant 4n+3, qui est plus facile.