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 #1 - 02-10-2011 04:51:08

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

Avec le snombres premiers !

Montrez que la suite (4n+1) Avec "n dans N" contient une infinité des nombres premiers.

Bonne chance



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"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"
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 #2 - 02-10-2011 08:10:02

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,852E+3

Avec les nombres premier !

Vu comme ça, je pense que n=1 est le seul terme qui donne un entier. 5 J'ai loupé quelque chose dans l'énoncé ?

 #3 - 02-10-2011 08:16:36

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 176

avec les nombres ptemiers !

Bonjour,

Le fait de montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3 est un exercice classique de spé maths.  C'est bien de changer smile

On va commencer de la même façon qu'Euclide dans sa démonstration de l'infinité de nombres premiers. Et montrer que notre hypothèse est absurde.

Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k+1,
Notons les p1, p2,..., pn et posons N=(2*p1*p2*...*pn)^2+1.
C'est clairement un nombre de la forme 4k+1. C'est aussi clairement un nombre de la forme a^2+1.

De deux choses l'une, ou il est premier, ou possède un facteur premier.
Optons pour la deuxième hypothèse. Notons q ce facteur premier. Ce ne peut pas être 2. Peut-on avoir q de la forme 4k+3 ? 
Dans ce cas nous aurions q=2*m+1 avec m impair.
Comme q divise N, a^2 congru à -1 modulo q donc a^2m congru à (-1)^m = -1 modulo q
Mais 2m=q-1 ce qui permet d'écrire a^(q-1) congru à -1 modulo q
D'autre part, q divise N mais ne divise pas a, le petit théorème de Fermat nous dit donc que
a^(q-1) congru à 1 modulo q.
-1 et 1 ne sont pas congrus modulo un premier impair.
On a donc une contradiction qui nous permet d'affirmer que si N possède un facteur premier, celui-ci est de la forme 4k+1.
Dans ce cas, puisque les facteurs premiers sont en nombre fini, q est l'un des pi.
q divise a, donc a^2, donc N-a^2 qui vaut 1.
On aboutit à une seconde contradiction et on arrive à dire que N ne possède pas de facteur premier.
N serait donc premier, de la forme 4k+1, mais ne ferait pas partie de la liste p1, p2, pn.

L'hypothèse initiale était absurde : Il y a une infinité de nombres premiers de la forme 4k+1

 #4 - 02-10-2011 08:33:08

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

Avec les nombres permiers !

Euh...(4n+1)/n c'est déja pas souvent un entier......

 #5 - 02-10-2011 13:46:05

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

avev les nombres premiers !

Et une magnifique esereth comme d'habitude smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #6 - 02-10-2011 13:48:04

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

avec les nombrrs premiers !

@ gwen and nodgim : La suite demandée est 4n+1 avec n dans N.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #7 - 02-10-2011 14:40:15

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Avec les nombres prmiers !

je n'ai pas de preuve formel, mais assez pour me convaincre que c'est vrai big_smile

En effet si il existait un nombre fini de nombre premier de la forme 4n+1 alors il existerait un nombre maximum 4n'+1,

Ce qui signifie qu'il n'existerait qu'un nombre fini de premier jumeaux, or il est conjecturé qu'il en existe un nombre infini, si une preuve existait aussi simple, la conjecture serait fausse ....

donc c'est forcement faux !! -> il en existe un nombre infini  wink

je me planche sur une preuve smile

 #8 - 02-10-2011 15:02:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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avec les nomnres premiers !

Maintenant oui, c'est clair... avec l'énoncé réajusté.

Si les 4n+1 ne contiennent pas une infinité de nombres premiers, cela veut dire que les 4n+2 4n+4 et 4n+3 en contiennent une infinité, les 4n+3 donc...les autres étant pairs.

Edit, après, j'ai dit une idiotie...

 #9 - 02-10-2011 16:57:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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avec les nomnres premiers !

On a le droit d'utiliser le théorème de Dirichlet ?

Vasimolo

 #10 - 02-10-2011 17:34:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3587

Avec les nombres premirs !

Le 1er nombre premier de la liste, 5, élimine 1/5 des nombres susceptibles d'être premier, car 4(1+5k) +1 est divisible par 5.
Même raisonnement pour tous les nb premiers qu'on rencontre dans la liste:
Ce filtre dit qu'il reste (1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)...nombres susceptibles d'être premiers. Ce produit ne peut être nul. 
Or tout nombre n'ayant pas été éliminé dans cette liste est premier, car sinon il serait produit de 2 premiers 4k+1=pn*pm mais le plus petit de pn ou pm est <2rac(k)<k, donc le plus petit premier a déja été vu dans la liste, donc le nombre testé aurait été éliminé. Contradiction.

 #11 - 02-10-2011 19:18:05

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Avec lees nombres premiers !

Supposons qu'il existe un nombre fini N de nombres p qui sont premiers et valant 1 modulo 4.

Je considère le nouveau nombre M défini ainsi :
[TeX]M=4\left(\prod_{i=1}^Np_i\right)^2+1[/TeX]
avec [latex]P=\prod_{i=1}^Np_i[/latex]

Ce nouveau nombre est bien de la forme 4n+1.
Par hypothèse, il n'est pas premier, car strictement plus grand que [latex]p_N[/latex]. Il a donc au moins 2 diviseurs.

M est clairement premier avec tous les [latex]p_i[/latex].
Les diviseurs de M sont donc tous de la forme 4n+3.

Prenons p=4n+3 un diviseur premier de M.
On peut utiliser le petit théorème de Fermat avec 2P premier avec p :
[TeX](2P)^{p-1}\equiv1[p][/TeX][TeX](2P)^{4n+2}\equiv1[p][/TeX]
Or [latex]M=4P^2+1[/latex], donc :
[TeX](M-1)^{2n+1}\equiv1[p][/TeX]
Mais M est un multiple de p, donc on arrive à :
[TeX]-1\equiv1[p][/TeX]
Impossible car p > 2

On arrive donc à une contradiction, et on en déduit que l'ensemble des nombres premiers de la forme 4n+1 est infini smile




Cette démonstration me fait penser à celle des nombres premiers s'écrivant 4n+3, qui est plus facile.

 #12 - 02-10-2011 22:21:58

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Avec les nombres preimers !

Soit [latex]a \in \mathbb{N}^*[/latex] et pair.
Soit [latex]p \in \mathbb{P}, \text{ } p|(a^2+1)[/latex]

Alors [latex]a\equiv-1 [p][/latex] donc [latex]a^4 \equiv 1 [p][/latex]. Or [latex]p[/latex] ne divise pas [latex]a[/latex] sinon [latex]a^4\equiv a \equiv 0 [p][/latex].
Donc d'après le petit théorème de Fermat on a : [latex]a^{p-1} \equiv 1 [p][/latex].
Comme [latex]a^2+1[/latex] est impair, tout premier [latex]p[/latex] le divisant est de la forme [latex]4n+1[/latex] ou [latex]4n+3[/latex].
Si [latex]p=4n+3[/latex] alors [latex]p-1=4n+2[/latex] d'où [latex]a^{p-1} \equiv (a^4)^n*a^2 \equiv -1 [p][/latex] soit p=2 donc [latex]p=4n+1[/latex]

Donc [latex]\forall p \in \mathbb{P} \text{ ,} p|(a^2+1)[/latex] est de la forme [latex]4n+1[/latex].

Conclusion il y a une infinité d'entier n tel que [latex]U_n \in \mathbb{P}[/latex].

Quod Erat Demonstrandum big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 03-10-2011 02:47:44

Azdod
Expert de Prise2Tete
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Lieu: In this universe ... !!

Avec lse nombres premiers !

Bravo à tous


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #14 - 03-10-2011 11:21:32

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1106
Lieu: Jacou

Avec les nmobres premiers !

C'est du très très classique ça smile
De la question de cours, je dirai même.
Je note d'ailleurs que récemment, on s'est éloigné un peu des éngimes pour s'orienter vers des mathématiques pures et parfois "scolaires".

Ce n'est pas la peine de retaper du très classique, voici donc une démonstration courte et efficace (pas de moi je précise):
http://forum.prepas.org/viewtopic.php?f … 74#p340684

 #15 - 03-10-2011 12:15:26

scarta
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1598

avec les nimbres premiers !

On y va avec un bulldozer smile
1 et 4 sont premiers entre eux : d'après le théorème de la progression arithmétique, il existe donc une infinité de nombre premiers de la forme 4n+1

 #16 - 03-10-2011 18:54:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Avec les nombres premeirs !

J'attire l'attention du lecteur sur le fait que la démo présentée ci-avant (msg 10) est valable pour n'importe quelle fonction an+b, pourvu que a et b soit premiers entre eux.

 #17 - 03-10-2011 19:01:24

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

avec les nombres peemiers !

@ Rivas : lol
@ Scarta : t'as utilisé un résultat direct ! il vaut mieux demontrer avec les arithmétiques.


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #18 - 06-10-2011 17:49:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3587

Avec les nombres remiers !

scarta a écrit:

On y va avec un bulldozer smile
1 et 4 sont premiers entre eux : d'après le théorème de la progression arithmétique, il existe donc une infinité de nombre premiers de la forme 4n+1

Je le trouve pas bulldozer du tout ce théorème, facile à comprendre.
En plus, il est extensible à toute expression an+b.

 #19 - 26-02-2012 02:15:16

shadock
Elite de Prise2Tete
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avec les nombres premizrs !

Euh attention à ne pas dire de bêtises il faut ajouter deux conditions à cette phrase :

nodgim a écrit:

En plus, il est extensible à toute expression an+b.

[latex]an+b \in \mathbb{P}[/latex] ssi et [latex]PGCD(a;b)=1[/latex]

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 26-02-2012 08:08:30

nodgim
Elite de Prise2Tete
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avec les nombres premuers !

Pour PGCD=1 je l'ai dit. En revanche, je ne savais pas qu'il fallait la contrainte  a>b.

 #21 - 26-02-2012 13:51:39

shadock
Elite de Prise2Tete
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Avec les nombres preemiers !

Si a<b ça ne fonctionne que de temps en temps. La démo je ne l'ai plus mais si je l'a retrouve wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #22 - 26-02-2012 14:45:32

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Avec les nombres pemiers !

Je ne pense la que a>b soit nécessaire.
En effet, an+b = a(n+k) + (b-ak), où k est le quotient de la division eucludienne de b par a.
b-ak est le reste, il est donc strictement inférieur à a.
Et on a juste opéré une translation des nombres, ce qui ne change pas la caractère infini ou non de l'ensemble des nombres premiers de cette forme wink

 #23 - 26-02-2012 17:17:58

shadock
Elite de Prise2Tete
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Avec les ombres premiers !

La démonstration de ce théorème en entier est difficile et demande des fonctions de variables complexes. J'avais un pdf mais je ne le trouve plus. sad

Par contre il n'est pas difficile de montrer qu'il existe une infinité d'entiers de la forme 4n+3.

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #24 - 26-02-2012 19:52:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Avec less nombres premiers !

Qu'est ce qui ne va pas avec la démo dite de la "progression arithmétique" ? Elle m'a l'air plus simple à comprendre.

 #25 - 26-02-2012 20:55:41

shadock
Elite de Prise2Tete
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Avec les nombes premiers !

Le théorème de la progression arithmétique ou théorème de Lejeune-Dirichlet est :

Si [latex]PGCD(p;q)=1[/latex] alors il existe une infinité de nombre premier de la forme [latex]k*q+p[/latex] avec [latex]k \in \mathbb{N}[/latex]

Scarta connaissant ce théorème n'avait plus qu'à l'appliquer pour [latex]p=1[/latex] et [latex]q=4[/latex].

Mais la démonstration du théorème en lui même est assez compliquée. smile

Shadock


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(1) — Montrer que l ensemble des nombres premiers est infini 4k+3 i (1) — Il y a une infinite de nombres de la forme 4k+3 posons n (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombres premiers dans l ensemble 4z + 3 (1) — Exercice spe maths les nombres premiers de la forme 4n+1 (1) — Une infinite de nombres premiers de la forme 4k + 3 (1) — Tore nombre premier (1) — Demontrer l infinite des nombres premiers de la forme 4n+3 (1) — Les nombre premie (1) — Preuve infinite de nombres premiers de la forme 4k+3 (1) — Infinite des nombres premiers demonstration de forme 4n+1 (1) — (1) — Spe maths exercice 4 n+3 est infini montrer ensemble des nombres premiers de la formes (1) — L ensemble des nombres premiers de la forme 4k (1) — Infinite premiers 4k + 3 n (1) — Nombres premiers 4k+3 (1) — Infinite des premiers forme 4n 3 spe s (1) — Montrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la forme (1) — Enigmes mathematiques nombres premiers (1) — Demonstration nombre d or (1) — Infinite nombres premier forme 4n+1 (1) — (1) — Exos classiques nombres premiers spe maths (1) — Les nombres premiers p congrus a _1modulo 4 sont ils en nombre fini (1) — An+b infinite de premier (1) — Une infinite de nombre premier spe maths (1) — Demonstration mathematique absurde (1) — Formes de nombres premiers 4n+1 corrige (1) — Infinite de nombres premiers de la forme 4n-1 (1) — Reponse enigme nombre premier (1) — Demonstrations infinite nombre premier de la forme 4n+1 (1) — Infinite de nombres premiers 4 k + 3 (1) — Nombre premiers de la forme 4k +3 (1) — Prouver qu il ya une infinite de nombres premier (1) — Demonstration infinite nombres premiers avec les nombres de fermat (1) — Infint 4n+3 (1) — Nombre premier de forme 4k+3 (1) — Il existe une infinite de premiers congrus a 1 (1) — Demontrer qu un nombre premier est de la forme 4k+1 ou 4k+3 (1) — Enigme avec les nombres premiers (1) — L ensemble des entiers premiers de la forme 4n-1 est infini (1) — An+b contient une infinite de nombres premiers (1) — Exo spe une infinite de nombres premiers (1) — Nombres premiers congrus a 1 modulo 6 (1) — Les nombres premies (1) — Demonstration nombre premier 4k+3 (1) — Montrer qu un nombre premier autre que 2 est de la forme 4k+1 (1) — Infinite nombre premier 4k+3 (1) — Demontrer qu il y a un nombre infini de nombres premiers de la forme p=4m+3 (1) — Infinite de nombres premiers congrus a 3 modulo 4+demonstration+terminale spe (1) — 4k+3 : montrer que n=4*p1*p2*...*pn n est divisible par aucun nombre premier de la liste p1 p2... pn (1) — Demontrer 2=1 (1) — Infinite 4k + 3 nombre premier (1) — Jeu facteurs premiers (1) — Nombres premiers de la forme 4n-1 (1) — Infinite nombres premiers (1) — Demontrer que si p est premier alors 8*p*p +1 n est pas premier (1) — Montrer par absurde que l ensemble des nombres premiers congruence 3 (1) — Spe maths nombres premiers forme 4k+3 (1) — L univesrs et les nombres premiers (1) — Donner cinq nombres premiers de la forme 4n-1 (1) — 1703 nombre premier? (1) — Demontrer qu il existe une infinite de nombres premiers 4k-1 (1) — En deduire que tous les diviseurs premiers de n sont de la forme 4k+1 (1) — Formes de nombres premiers 4n+1 (1) — Demontrer linfinite de nombre premier congru a 3 modulo4 (1) — Nombres premiers de la forme 4k+3 (1) — Nombre premier infini montrer corrige 4k+3 4k+1 (1) — Montrer qu il existe une infinite de nompbres premiers congrus a3 modulo4 (1) — Nombre premiers congrus a 2 modulo 3 (1) — Infinite 4k + 3 (1) — Infinite 4k+1 premier (1) — Infinite nombre premier exercice (1) — Infinite de nombre premiers de la forme 4n - 1 (1) — Spe supposons qu il existe un nombre fini p1 p2 ... pn de nombres premiers de la forme 4k+3 (1) — Infinite de nombre premier congru 1 mod 4 (1) — Infinite de nombre premier de la forme 4n-1 (1) — 4n+1 et nombre premier (1) — En d ?eduire qu?il y a une infinit ?e de nombres premiers de la forme 4k + 1 (1) — P premier 4k+1 4k+3 (1) — Demontrer que tout nombre premier impair est de la forme 4k + 1 (1) — L ensemble des nombres prrmiers de la forme 4k+1 (1) — Nombre premier congru a 1 modulo 4 (1) — infinite de premier 4n+3 preuve par l absurde (1) — Infinite de nombre premiers 4k+1n^2+1 (1) — Infinite des nombres premiees de forme 4n-1 (1) — L infinite des nombres premiers exercices (1) — Il existe une infinite de premier de la forme 4n+1 (1) — On souhaite demontrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n+3 (1) — Mintrer que le nombre premier s ecrit sous la forme (1) — Montrer qu il y a une infinite de nombres premiers 4k+1 (1) — Spe maths nombres premiers 4n+1 (1) — Infinite/nombre premiers 4k+1 (1) — Montrer qu un nombre premier autre que 2 est de la forme 4k + 1 ou de la forme 4k + 3 (1) — Il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n+3 (1) — Deduire qu un nombre n est pas premier (1) — Enonce demontrer qu il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4k 3 (1) — Infinite de nombre premiers de la forme exercice (1) — Spe math nombre premier (1) — Il existe une infinite de nombres premiers de la forme 4n + 1 (1) — Il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme 4k+3 (1) — 4n+1 (1) — Une infinite de nombres premiers sous la forme 4n+1 (1) — Il y a une infinite de nombres congru a 1 modulo 6 (1) — Ts maths il existe une infinite de nombres premiers congrus a 3 modulo 4 (1) —

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