Bonjour,
Les quatre villes sont reliées à un axe central de longueur 50 km.
D'où L = 50 + 4 V(25²+50²) = 50 + 100 V5 = env. 273,6 km.
Mais pour démontrer rigoureusement que ce réseau est optimal ... ?
Bonne soirée.
Frank

Je ne connaissais pas merci

Je connais, il faut prendre des angles 120°. D'ailleurs c'est une généralité pour rejoindre 3 points disposés de façon aléatoire, à la condition qu'il n'y a pas un des 3 angles>120°.

Sentiment de déjà-vu...

La minimisation de la longueur totale me semble passer par l'existence d'un axe central :



La longueur totale de la route ainsi tracée (avec un peu de Pythagore et deux calculs à la noix) est de $4 \sqrt{50^2+x^2}+100-2x$.

La dérivée par rapport à x de ce truc vaut $\frac{4x}{\sqrt{50^2+x^2}} - 2$ ; elle s'annule quand $2x=\sqrt{50^2+x^2}$ soit, en passant au carré, $x=\frac{50}{\sqrt{3}}$, et la distance, qui est alors minimale (je passe l'étude de signes rébarbative), vaut $100+100 \sqrt{3}$ soit un peu plus de 273 kilomètres.

Je donne la meme solution que pour clydevil, ce qui pour ton enigme donne 273.205080758

J'explique.
Je joins 2 villes 2 a 2 en diagonale sur une longeur de Y = 57.735026919
puis je join ces 2 points de rencontre au centre ou chaque demi segment est egal a X  = 21.132486541

pour trouver il suffit de trouver le plus court chemin total de 2Y+X. soit la derivee de 2Y+x =0
ou encore trouver X qui repond a l'equation: 3X^2+300X+5000=0

PS: on avait deja resolu ce genre de probleme avec des fournis ou taupes qui creusent des tunnels....

J'obtiens 273.3 avec un H qui cherche à ressembler à un X

On va imaginer un réseau qui serait composé d'une ligne droite de longueur X, située à 50 km au nord / au sud des villes; terminées par 4 lignes droites (de même longueur) qui relient une ville à l'extrémité de ligne la plus proche.

Si la ligne droite est de longueur X, les portions qui la relient aux villes sont de longueur $\sqrt{(\frac{100-x}{2})^2+50^2}$
Du coup, le réseau mesure alors au total
$$x+4\sqrt{(\frac{100-x}{2})^2+50^2}$$
On cherche à minimiser sa taille totale: calculons la dérivée.
$$1+\frac{x-100}{\sqrt{(\frac{100-x}{2})^2+50^2}}$$
Celle-ci s'annule pour
$$100-x = \sqrt{(\frac{100-x}{2})^2+50^2}\\ (100-x)^2 = (\frac{100-x}{2})^2+50^2\\ 20000 -600x + 3x^2 = 0\\ \Delta = 360000-240000 = 120000 = (200\sqrt{3})^2\\ x = 100-100\frac{\sqrt{3}}{3}$$
(l'autre solution est supérieure à 100)
Pour x inférieur à cette valeur, la dérivée est négative; et positive pour x supérieur.
Du coup, le minimum est atteint pour cette valeur de x, et vaut
$$100(1+\sqrt{3})$$
soit environ 273 km

A force de connaitre les énigmes par coeur vos réponses deviennent compendieuses.

A la fin je vous proposerai ma solution (peut-être un peu capilotracté) mais qui n'a pas encore été proposée.

Bonne continuation à ceux qui cherche, et bravo à ceux qui trouve.
Shadock

En revanche la distance total de ton parcours :
De GA à BU = 100 km
De Zo à MEU = 100 km
Et de A à B =100 km
Conclusion 300 km...

Problème connu.
L'arbre de Steiner donne pour longueur minimale $100(1+\sqr3)$
soit 273.2 km

je poste ce lien ici, car perso je n'ai jamais trop réfléchis sur les ellipses, et la j'y trouve une belle application
http://xavier.hubaut.info/coursmath/app/minima.htm

100+100√3

Avec une forme d'enveloppe, les calculs sont pas méchants mais fastidieux à réécrire ici.