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 #1 - 22-02-2011 15:50:11

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Un roblème de haies

Dans un pré carré de côté L=100m, des haies sont disposées de telle sorte que
toute personne se trouvant sur l'un quelconque des côtés (sommets exclus)
ne peut rien voir des trois autres côtés du pré.
Quelle est la plus petite longueur totale possible des haies ?
Donner le formule exacte.

Source internet, www.diophante.fr le site donne la réponse.

Spoiler : [Afficher le message]
Case de validation : valeur numérique à une décimale, séparateur décimal=point.

Spoiler : [Afficher le message] Comme le fait remarquer gazole, on ne peut pas atteindre le résultat avec une implantation connexe, qui mènerait aux points de Steiner et à une longueur excessive.



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 #2 - 22-02-2011 16:40:20

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Un rpoblème de haies

J'aurais tendance a dire [latex](\sqrt3+1)L \approx273.2[/latex] (cf Steiner), mais ca valide pas, donc on doit pouvoir faire mieux !

 #3 - 22-02-2011 17:00:11

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

un problème de haied

Salut Hallodula,

Tu pourrais préciser l'énoncé ? est-ce "une personne se trouvant sur l'un des côtés ...

- ne peut voir aucun des trois autres côtés dans sa totalité (mais un bout de chaque ok)
- ne voit rien du tout des 3 autres côtés
- ne voit pas les 3 côtés intégralement (mais 2 plus un bout ok)
- ne voit pas un bout de chaque côté (mais un bout de deux d'entre eux ok)

Merci d'avoir précisé.

 #4 - 22-02-2011 17:08:25

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Un prbolème de haies

Cette question est fort proche de cette histoire de boules dans un "dé à 4 faces", on retrouve l'arbre de Steiner qui ici mesure [latex]100(1+\sqrt3)\approx 273m[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 22-02-2011 19:18:46

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

un problème dz haies

Il me semble que la meilleure disposition des haies devrait être celle-ci :
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Haie.jpg
La longueur des haies devient alors :
[TeX]4\sqr{0.25+x^2}+ 1-2x[/TeX]
Cette fonction admet un minimum pour x = 0.289,
ce qui conduit à une longueur de haie de 273.2 m.

Malheureusement, cette valeur ne valide pas la case réponse.  sad
Où est l'erreur ???  hmm

 #6 - 23-02-2011 01:06:25

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

ub problème de haies

Ouf enfin !

Je trouve : [latex]L.\frac{\sqrt3+2}{\sqrt2}\approx263.9[/latex]

La configuration des haies : une demi-diagonale issue d'un sommet; et 3 haies issues des 3 autres sommets, qui se rejoignent avec des Angles de 120 degrés. Ca fait des angles de 45 degrés pour un sommet, et 15 degrés pour les 2 autres.

Je poste une demo quand je peux. Par contre, pour montrer que c'est un minimum, c'est encore autre chose !

 #7 - 23-02-2011 09:21:22

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

UUn problème de haies

On va poser P poteaux et relier ensemble ces poteaux par des haies.
Il est clair qu'il faut au moins un poteau à chaque coin du pré, sinon on pourra d'un côté apercevoir un peu du côté adjacent.

Une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour résoudre le problème est que le graphe des haies soit connexe, et alors on sait (d'une précédente énigme) que la solution optimale est l'arbre de Steiner pour un carré, pour une longueur totale de haies de [latex]1+\sqrt{3}\sim 2.732[/latex] hm, soit 273.2 m.

Mais visiblement c'est pas ça et il y a mieux, avec une solution non-connexe. Mais je ne vois pas où je pourrai faire un trou dans mes haies, sans soit rallonger la longueur totale, soit laisser voir un côté.

Un petit indice sera bienvenu... je sèche complètement.

 #8 - 23-02-2011 17:21:20

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Un problme de haies

Bravo L00ping007.

 #9 - 24-02-2011 00:43:36

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

yn problème de haies

En trafiquant un carré avec ses deux diagonales, j'ai en effet trouvé mieux, mais pour l'instant aucune idée de prouver que c'est LE mieux.

Le croquis montre l'idée, les haies sont les traits rouges.

Du coup pour les segments [latex]AF,CF[/latex] et [latex]DF[/latex], on prend l'arbre de Steiner du triangle [latex](A,C,D)[/latex], donc les angles [latex](A,F,D), (D,F,C), (A,F,C)[/latex] font [latex]2\pi/3[/latex], on en déduit [latex]ECF=\pi/6[/latex], et comme [latex]CE=\sqrt{2}/2[/latex], après avoir demandé à Pythagore, on trouve comme longueur totale : [latex](\sqrt{3}+2)/\sqrt{2}[/latex] hm soit environ [latex]263,9[/latex] m.
http://www.prise2tete.fr/upload/gasole-haies.JPG

NB : c'est facile d'être un as de Geogebra... simple et génial comme logiciel !

 #10 - 24-02-2011 00:57:09

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Un problèmme de haies

Gasole a aussi trouvé. Sa réponse fait foi.
Pour mémoire, le point F est appelé le point de Torricelli ou aussi le point de Fermat du triangle ACD.
Démontrer que c'est l'optimum n'a, à ma connaissance, jamais été fait.

 

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