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 #26 - 06-11-2011 10:38:05

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

réseau routier shafokien

La longueur de route optimale s'obtient en traçant une route horizontale (ou verticale) centrée sur le centre du carré de longueur telle que les 4 routes joignant ses extrémités aux 4 sommets du carré forment un angle de 60° avec la direction du premier tronçon.
La longueur totale obtenue est alors de [latex]100 * (1+ sqrt(3))[/latex]
soit 273.205 km

#0 Pub

 #27 - 06-11-2011 16:46:24

fuyuki
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 13

réseau routier shadokuen

en utilisant la méthode de l'arbre minimal de Steiner je trouve 273(,22) :
http://i41.servimg.com/u/f41/12/91/14/40/image_11.jpg
avec la distance qui est entre une ville et le le point de steiner opposé on a une distance de 100 km et la distance entre les deux point de steiner est d'environ 42,26 ...
donc on a : 4*100 - 3*42.26 = 273,22km

 #28 - 07-11-2011 00:54:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

réseau routier shafokien

Bravo à tous pour vos réponses. Il vrai que c'est un classique désolé pour le doublon.
Même si toutes vos démonstrations montre que le minimum est 273 km aucune ne prouve qu'il y a deux solutions. Voici donc démonstration qui permet d'en obtenir deux.

http://img4.hostingpics.net/pics/740644rseaushadock.png

Soit l'angle orienté [latex]x=(\vec{Ch};\vec{CF})[/latex].
Vous pourrez vérifier que:
[TeX]Fh=50.tan(x)[/TeX]
[TeX]EF=y=100(1-tan(x))[/TeX]
[TeX]BF=z=\frac{50}{cos(x)}[/TeX]
On cherche donc les angles [latex]x[/latex] vérifiant : [latex]4z+y[/latex] est minimal.
Soit [latex]f(x)=4z+y=4*\frac{50}{cos(x)}+100(1-tan(x))[/latex]

Alors [latex]\fbox{f'(x)=\frac{-5\pi*[cos^2(x)+sin(x)*(sin(x)-2)]}{9*cos^2(x)}}[/latex]

Je ne sis pas résoudre ce genre de chose pour trouver les extremum locaux du fait que la dérivée ne s'annule en aucun point, mais Wolfram Alpha donne :

[latex]x=\frac{\pi}{6}[/latex] ou [latex]x=\frac{5\pi}{6}[/latex] pour [latex]x \in [0;2\pi][/latex] avec une longueur minimale de 273 km

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #29 - 07-11-2011 09:55:27

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

rédeau routier shadokien

Hello,
C'est un carré tongue il n'y a pas à prouver qu'il y a deux solutions,  si on en a une on peut évidemment la tourner tongue et/ou la symétriser

Sur les arbres de Steiner en général on peut démontrer assez facilement que leur nœuds intermédiaires ont 3 branches et que ces branches sont à 120degres l'une de l'autre.

Pour les 120 degrés j'ai une demo sans calcul (mais qui ne sera peut être pas comprise de tout le monde, il faut certaines notions):

Imaginons donc 3 points A,B,C dans une disposition non pathologique (pas alignés etc...) et que ces 3 points soient reliés par un nœud intermédiaire avec donc 3 branches.
La fonction distance, qui a un point du plan associe la distance au point A a comme gradient en tout point (sauf A) un vecteur unité radial au point A. La fonction distance totale donc qui a un point du plan associe la somme des distances à  A B et C a donc un gradient qui s'annule lorsque 3 vecteurs unités respectivement radial à A B et C ont une somme nulle, ce qui arrive uniquement au point du plan ou les branches sont a 120deg l'une de l'autre.

Ça prouve extremum et non minimum mais on peut facilement prouver que c'est un min et non un max.
Comme on peut appliquer ce raisonnement sur toute sous partie de notre réseau même lorsque celui ci est plus gros on voit qu'il est stable uniquement dans ces conditions sur chaque nœud intermédiaire.

(Pour prouver qu'un nœud a 4 branches est plus couteux que 3 il faut faire le calcul une fois,  ici je ne prouve que l'histoire des 120 deg)

 #30 - 07-11-2011 10:47:14

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Réseauu routier Shadokien

Bonjour,

Et si c'était un rectangle, au lieu d'un carré, y aurait-il deux solutions ?

[/fin du mode flemmard qui n'a pas envie de chercher]
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #31 - 07-11-2011 11:54:26

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 96

eéseau routier shadokien

J'avoue que je ne comprends pas la réponse [latex]x=\frac{5\pi}{6}[/latex] : il me semble que d'après la figure, x ne peut pas dépasser [latex]\frac{\pi}{2}[/latex].

 #32 - 07-11-2011 15:22:48

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

réseau routier shadojien

La valeur [latex]x=\frac{5\pi}{6}[/latex] c'est la même figure tournée de 90deg ou symétrisée par rapport à la diagonale principale.

Avec un rectangle (pas trop aplati) il y aurait 2 minimums locaux, avec cette forme, mais un seul serait minimum global, celui ou le segment milieu commun est parallèle au grand bord.

 

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