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 #1 - 18-12-2009 18:27:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Fog °N1

Désolé encore une fois pour ceux qui n'entendent pas grand-chose aux composés de fonctions smile

Existe-t-il deux fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] réelles à variable réelle et telles que pour tout réel [latex]x[/latex] :

[latex]f\circ g(x)=x^2[/latex] et [latex]g\circ f(x)=x^3[/latex] ?

Amusez-vous bien !!!

Indice : Spoiler : [Afficher le message] Observer les images par f de 0 ; 1 et -1 smile

Vasimolo



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 #2 - 18-12-2009 18:43:55

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3058
Lieu: Au sud du Nord

Fgo N°1

je comprends la question, c'est déjà ça big_smile

mais je ne vois pas du tout comment résoudre, mes cours de maths datent un peu trop


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #3 - 19-12-2009 13:07:04

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

fig n°1

Je n'en trouve pas et je ne pense pas qu'il y en ait  mais je n'ai pas encore la démonstration.

Ce sera pour plus tard parce que là je dois faire la vaisselle.big_smile

 #4 - 20-12-2009 16:55:28

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Fog N1°

[TeX]f(x)^2=f(x^3)[/TeX]
[TeX]g(x)^3=g(x^2)[/TeX]
Je pose la question à mon ami Wolfram:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f% … f%28x^3%29

f(x) = e^(c*2^((log(log(x)))/(log(3))))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=g% … g%28x^2%29
g(x) = -e^(c*3^((log(log(x)))/(log(2))))

Tout ça n'est défini que sur [latex]]1,\infty[[/latex].

Je vérifie avec mon tableur.

Avec:
[TeX]f(x)=e^{c*2^ {\frac{log(log(x)}{log(3)}}} [/TeX]
et
[TeX]g(x)=e^{c*3^{\frac{log(log(x)}{log(2)}}}[/TeX]
Pour: c= 1,5295923285...

on a bien [latex]fog(x) = x^2 [/latex] et [latex]gof(x) = x^3[/latex].

On peut ajouter f(0) = 0, f(1) = 1, g(0) = 0 et g(1) = 1

Sur [latex]]0,1[[/latex], on pose [latex]y = 1/x[/latex]
[TeX]f(x) = 1/f(y)
g(x) = 1/g(y)[/TeX]
et on a fini sur [latex]R+[/latex]

Une petite ruse de signe doit permettre de conclure sur [latex]R[/latex].


Je n'aurai pas trouvé à la main. big_smile


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #5 - 20-12-2009 17:31:04

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

Fo N°1

Merci pour l'indice, je n'avais pas cru que ma première idée suffirait et j'avais laissé tomber...

Pour tout x réel : f(x³) = f(x)²
Comme x³ peut décrire R, f est une fonction positive.
Pour x=-1 ou 0 ou 1, f(x) est donc égal à son cube et vaut donc 0 ou 1. Deux au moins de ces trois images sont identiques. Ceci contredit le fait que les trois images par gof sont différentes.

Le problème n'a pas de solution.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 22-12-2009 23:55:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

fig n°1

Bonne réponse de scrablor ( claire et concise ) !!!

Le réponse de Papiauche semble bonne aussi ( je n'ai pas vérifié yikes ) mais il ne faut pas espérer la prolonger à [latex]\mathbb{R}[/latex] tout entier .

Je sais par contre qu'il existe deux fonctions définies sur [latex]\mathbb{R}[/latex] avec [latex]f\circ g=x^2[/latex] et [latex]g\circ f = x^4[/latex]  .

En tout cas merci à tous les deux ( et aux autres ) pour la participation ) big_smile

Vasimolo

 

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