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 #1 - 25-11-2011 20:14:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

Echecs 1

Bonsoir smile

Un nouveau petit problème sur un échiquier ( inutile de connaître les règles du jeu d'échec ) . On dispose d'un cache rectangulaire plein de taille 3X2 qui a le pouvoir et le devoir de changer la couleur des six cases qu'il recouvre .

Peut-on avec ce cache uniformiser la couleur d'un échiquier 8X8 ? En combien de coups ?

Un exemple sur un petit modèle :

http://img694.imageshack.us/img694/7259/toutnoir.jpg

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

Indice 1 : Spoiler : [Afficher le message] Pourquoi ne peut-on pas blanchir cette grille ?

http://img220.imageshack.us/img220/9741/invariant.jpg


Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message] Combien y-a-t-il de points rouges dans des cases noires sur le dessin précédent ?



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 #2 - 25-11-2011 21:42:31

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,664E+3

Echhecs 10

EDIT : j'avais rien compris au problème...

Il me reste toujours 2 cases qui coincent, je suis tenté de dire que c'est impossible mais sans pouvoir le prouver.

 #3 - 26-11-2011 01:04:54

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Echcs 10

Je ne parviens pas à "uniformiser" parfaitement big_smile
Le mieux que j'ai trouvé est "2 cases restantes", en 30 changements :  http://img7.imagebanana.com/img/cl193a5l/Echecs10_en_30mvts.gif

Je me doute que cela ne marche pas (??) car avec un cache de 3x2, les dimensions utilisées n'ont pas même parité (3 est impair, et 2 pair).

Enfin ce n'est qu'un idée, je ne suis qu'une bête, haha tonguetongue

 #4 - 26-11-2011 01:32:52

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 96

rchecs 10

On peut y arriver si on s'autorise à mettre le cache à cheval entre l'échiquier et l'extérieur, sinon ça à l'air difficile...

 #5 - 26-11-2011 02:54:58

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

echexs 10

Soit N le nombre de cases initialement noires.

Le cache va transformer k cases noires en cases blanches, et 6-k cases blanches en cases noires. On aura donc, après cette transformation, N+6-2k cases noires.

Le nombre de cases noires gardera donc sa parité quoi qu'il arrive. Si le nombre de cases noires est initialement impair, impossible de les rendre toutes noires (ou toutes blanches, de la même façon).

La flemme de m'attaquer au cas pair. Demain, peut-être ? big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #6 - 26-11-2011 13:25:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

echecq 10

Un petit point   ------>       .

Il est clair que la parité joue un rôle , dans l'exemple 3X3 proposé on ne pourra jamais blanchir l'échiquier . Le cas "pair" semble plus permissif et pourtant ...

Vasimolo

 #7 - 26-11-2011 14:50:03

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Echcs 10

Après la grille 8x8, je me suis essayé à une grille 7x7, avec toujours avec le même "cache" de 3x2 :
- en 22 mouvements, je suis arrivé à blanchir toutes les cases, sauf UNE : la case centrale (4;4)
- en 20 mouvements, idem sauf UNE, dans le coin supérieur droit

 #8 - 26-11-2011 17:54:47

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

Echcs 10

@TiLapiot : avec ton 7X7 , as-tu essayé de les noircir ?

Vasimolo

 #9 - 26-11-2011 20:45:12

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

evhecs 10

Non, mais sur ton conseil, ça le fait bien big_smile
En 32 coups, tout l'échiquier 7x7 est noirci :
http://img6.imagebanana.com/img/pgfi29zh/echecs107x7reste0moves32Noircir.gif



Edit: Et voici une autre solution du 7*7, un peu plus courte :
http://img7.imagebanana.com/img/s0tew7s5/echecs107x7reste0moves26Noircir.gif

 #10 - 27-11-2011 06:57:00

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3140

cEhecs 10

Ce que je peux dire sur le sujet:
Le nombre de configurations possibles est limité. En effet, il ne sert à rien de mettre un 2*3 2 fois au même endroit, ça s'annule.
Le nombre de 2*3 max dans un carré C*C est 2*(C-1)*(C-2)
Pour C=3 donc 4 possibilités.
On peut modéliser en totalisant dans chaque case le nombre de recouvrements possibles.
Pour le 3*3
2 3 2
3 4 3
2 3 2
config qui va bien avec ce qu'on a voulu faire pour couvrir le plan, vu l'alternance des parités.

Pour des carrés plus grands, la config max (tous les 2*3 posés) donne:
2 4 5 5 ..........4 2
4 8 10 10 ......8 4
5 10 12 ...12 10 5
5 10 ...
qu'on complète par symétrie.

Donc si on veut maintenant une config particulière, on ôte les 2*3 en trop.
Le nombre d'essais est assez limité, car il y a pas mal de retraits obligatoires.

Avec un 8*8, pas de solutions possibles, problème de symétrie.

 #11 - 27-11-2011 10:26:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

evhecs 10

@Nodgim

Ta formule est juste mais : "avec un 8*8, pas de solution possible , problème de symétrie" est argument un peu expéditif smile Tu peux détailler ?

Vasimolo

 #12 - 28-11-2011 19:48:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

exhecs 10

J'ai ajouté un deuxième indice et un peu de temps car , en fait , j'aime bien ce problème et je n'ai pas envie de dévoiler la solution trop rapidement smile

L'indice est vraiment mastoc !!!

Vasimolo

 #13 - 29-11-2011 09:53:58

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Echecs 1

Bonjour,

Avec tes deux indices, la solution devient accessible pour moi.

On remarque tout d'abord que, quel que soit l'endroit où l'on place le cache 3x2 sur la grille, celui-ci recouvre exactement deux points rouges, pas plus et pas moins. Si les deux points rouges sont sur deux cases blanches, ils deviennent après changement de couleur sur deux cases noires. Et vice-versa. Et si les deux points rouges sont sur deux cases de couleur différente, ils restent après changement de couleur sur deux cases de couleur différente.

Autrement dit, la parité du nombre de points rouges sur case noire est un invariant, ainsi que la parité du nombre de points rouges sur case blanche.

Comme il y a 11 points rouges sur case noire, il ne peut jamais y avoir zéro point rouge sur case noire, donc il y aura toujours au moins une case noire.
=> la grille 8x8 ne peut pas être blanchie.

Si l'on pivote cette grille 8x8 d'un quart de tour, on remarque que les positions blanche et noire sont inversées. Le même raisonnement permet alors de conclure que la grille 8x8 ne peut pas être noircie.

CQFD.

J'attends maintenant la question suivante, qui sera "à quelle condition sur la taille de la grille celle-ci peut-elle être blanchie ou noircie ?"
Merci pour ce problème.
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #14 - 29-11-2011 10:54:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

Echecs 1

Bien vu Klim smile

Vasimolo

 #15 - 30-11-2011 22:58:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

echevs 10

Merci pour la participation , je vous laisse lire la réponse de Klim qui est très proche de celle j'aurais pu proposer .

Pour la généralisation , il est clair que la même stratégie montre qu'aucun carré de côté pair ne peut être uniformiser . Il semble ( sans preuve ) que tout carré impair peut être colorié uniformément . Je n'ai pas réfléchi au cas général d'un rectangle mXn , avis aux amateurs smile

Vasimolo

 #16 - 30-11-2011 23:20:22

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

exhecs 10

Merci Vasimolo pour ces énigme de grande classe !
J’espère finir le plus tôt possible mes examens pour avoir plus de temps pour le Forum.
Encore une fois merci, énigme très intéressante smile


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #17 - 01-12-2011 17:07:56

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

echevs 10

Vasimolo a écrit:

Pour la généralisation , il est clair que la même stratégie montre qu'aucun carré de côté pair ne peut être uniformisé.

C'était mon premier réflexe, mais j'ai préféré ne pas l'écrire.
En effet, c'est loin d'être évident pour un carré 6x6.

Quelqu'un y a-t-il réfléchi ?

smile Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #18 - 01-12-2011 19:55:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

evhecs 10

En effet , c'est plus compliqué que ça , avec un 6X6 on ne peut pas faire apparaître un nombre impair de points rouges sur les cases noires .

La généralisation "risque" d'être intéressante smile

Vasimolo

 #19 - 02-12-2011 16:55:06

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3823
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Echesc 10

Bonjour,

En attendant que quelqu'un se colle à la généralisation, voici comment blanchir une grille 6x6. Utilisez le zoom pour mieux voir les grilles.



Il va de soi que le même procédé permet de noircir la grille (il suffit de tout permuter d'un quart de tour).

klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #20 - 02-12-2011 19:18:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4914

Echeecs 10

Oui Klim

On peut aussi remarquer qu'une fois blanchi le carré peut être noirci car pavable avec le rectangle 3X2 .

Vasimolo

 

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