LOOping : C'est mieux que la découpe classique , mais on peut faire nettement mieux que cette configuration .

Pour réduire la longueur de la coupe, il faut que les deux angles soient égaux.
La surface découpée est égale à 2 fois (secteur moins triangle hachuré).

L'équation peut se résoudre par WolframAlpha ou graphiquement avec Geogebra.
Cela conduit à un rapport de 0.887438...

On peut encore réduire ce rapport avec une autre méthode de coupe.

Bonjour,

J'ai d'abord cru que Jackv voulait se lancer dans la pâtisserie, mais son clin d'oeil à Vasimolo m'a rassuré: dans la bande P2T, nous avons maintenant un pâtissier et un fromager:

Je considère (sans être capable de le prouver rigoureusement) que la découpe est symétrique (c'est à dire que la droite OA est aussi la bissectrice de l'angle BC).
On cherche à avoir un quart du cercle total ou, ce qui revient au même, à couper un quart de cercle en deux parties de surfaces égales.
Mon segment de découpe (en fait de demi-découpe) part d'un point de l'axe des abscisses (d'abscisse x) et arrive à un point du quart de cercle (d'angle a avec Ox).
On aura: a/2 - x sina/2 = pi/8, d'où: x = (a-pi/4)/sina
Je cherche donc à optimiser le carré (plus facile) de la distance entre ces deux points:
f(a) = sin²a + [cosa - (a-pi/4)/sina]²
f'(a) = [(a-pi/4)cosa - sina - sin²a].[(a-pi/4)cosa - sina + sin²a].sin³a/cosa
(c'est la version simplifiée: je vous ai fait grâce des détails de calcul).
Je cherche alors à annuler cette dérivée, soit: (a-pi/4)cosa - sina + sin²a = 0
J'ai utilisé un tableur, qui me donne: a=1,02471 puis x=0,28004 et enfin la valeur cherchée [f(a)]^(1/2) = 0,8874 validée par la case réponse.

J'ai conscience que ma solution est peu élégante, mais je n'en ai pas trouvé d'autre. Attendons voir comment ce problème a été appréhendé.

Bonne journée à tous.
Frank

J'avais omis de préciser que le fromage était de hauteur constante !
Merci à dhrm qui me permet de réparer cet oubli .

Et félicitations à looozer, halloduda, Franky et titoufred.

Petite précision : La découpe doit se faire par 2 coups de couteau rectilignes ou pas forcément ?

Une découpe lenticulaire (hors sujet ici) sera effectivement plus optimale qu'une découpe rectiligne. Proposons la à ton fromager.

dhrm : Bravo ! le rapport que tu obtiens est très proche de mon résultat (bien que ta valeur de OA s'éloigne de plus de 1 % de ma valeur, confirmée par ailleurs) .

nodgim et Franky : Sous la pression, je me résouts à mettre en ligne le second épisode de mes aventures fromagères :
                http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 32#p140754

J'avais fait une petite erreur. J'ai recalculé, et maintenant:
Je trouve une distance OA de 5.0406857cm
un angle BOC de 117.422919 degrés
un rapport entre la longueur de découpe et le diamètre D de 0.8874383

Une petite réponse ne serait-ce que pour remercier Jackv pour le clin d’œil à mon pâtissier

J'ai fait tout les calculs et je suis arrivé au même résultat que vous . Après il fallait sortir la grosse l'artillerie et là le pâtissier il aime pas trop . Il préfère malaxer et ciseler la pâte à la main .

Ceci dit ces problèmes qui culbutent les pseudos-évidences sont toujours très intéressants .

Vasimolo

Tout d'abord, merci à Vasimolo et à son pâtissier pour l'inspiration du style de cette énigme !

La découpe doit elle être nécessairement symétrique ? Si j'ai fait l'optimisation pour le quart d'un demi-fromage, il me parait évident que si je recommence ensuite la même opération pour l'autre moitié, j'obtiendrai un résultat comparable ; la découpe doit donc être symétrique.

J'ai donc choisi de m'intéresser à un demi-fromage et de paramétrer les dimensions de la découpe en fonction de l'angle DOB = [latex]\alpha[/latex], en considérant que le rayon est de longueur unité.
         
L'aire du secteur ODB a comme valeur  [latex]\alpha/2[/latex].
On souhaite que ADBA ait une aire égale à  [latex]\pi/8[/latex].
Le triangle OAB a donc une aire de   [latex]\alpha/2 - \pi/8[/latex]
et sa hauteur AH =     [latex]h = 2*(\alpha/2 - \pi/8)[/latex],
soit                           [latex]h = \alpha - \pi/4[/latex]
La distance OA =        [latex]x = h/sin (\alpha)[/latex]
et la longueur AB           [latex]= \sqrt (1+x² - 2*x*cos(\alpha))[/latex] ,
valeur qu'il reste à minimiser.

Personnellement, je n'ai même pas développé l'écriture de cette fonction, et encore moins cherché à la dériver.
N'étant pas adepte de Wolfram Alpha, je me suis contenter d'utiliser un tableur et j'obtiens :
                                AB = 0.887438320
pour                         a = 58.7115 ° = 1.024709 rd
avec                         h= 0.23931
et                             x = 0.280039

Je ne sais pas si ma solution est la plus élégante, mais j’apprécie la diversité de toutes celles proposées.
Bravo et merci à tous ceux qui ont planché sur ce problème.

Je suis bien conscient que l'on peut faire mieux pour optimiser cette longueur si on ne s'en tient pas à une découpe rectiligne.
C'est pourquoi j'invite ceux qui ne l'auraient pas encore fait à rendre une nouvelle visite à mon fromager :
                http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 32#p140754

halloduda : ta remarque sur l'égalité des angles est très judicieuse , mais il est vrai que le développement de l'ensemble est une peu succinct ...