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 #1 - 19-02-2012 18:16:01

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Fromage o udessert ?

Finalement, ce sera fromage.
Je suis allé chez mon pâtissier, mais comme il n'avait pas de gâteau à mon goût, je me suis rendu chez mon fromager.
Là, j'ai aperçu un magnifique Brie de Meaux parfaitement circulaire et de hauteur constante (de 2,8 kg pour un diamètre d de 36 cm).
Voyant mon intérêt, mon fromager voulait me le vendre en entier ! Mais je lui dis :
" - Vas-y molo ! Je me contenterai d'un quart smile.
  - Pas de problème."
Et en deux coups de couteaux rectilignes bien placés, il m'en a découpé une part d'exactement 700 g, mais dont la forme m'a un peu étonné car les deux traits de coupe ne se rejoignaient pas au centre du fromage.
http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Fromage1.gif
Comme je lui demandais la raison de cette découpe un peu particulière, il m'a expliqué qu'il tenait à ce que, pour des raisons de conservation, la surface de la découpe sur la partie non encore vendue, soit la plus petite possible.

Pourriez-vous préciser les formes et dimensions en fonction de rayon r de ce fromage entamé ?

La case réponse valide le rapport entre la longueur de découpe et le diamètre d, arrondi au plus proche avec un "0", un point décimal et 4  chiffres derrière la virgule.



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 #2 - 19-02-2012 20:10:26

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

fromage iu dessert ?

Je ne trouve pas pareil que la case réponse sad

Je trouve en effet que pour minimiser la longueur des 2 segments de découpe (que j'ai supposés égaux), il faut qu'ils soient alignés.

Du coup, la valeur de l'angle BOC est la racine de l'équation :
[TeX]x-\sin x=\frac{\pi}2[/TeX]
Et le rapport demandé vaut : [latex]\sin \frac x2[/latex]

Et je trouve la valeur approchée : 0,9147710175730....

J'ai également à ma dispo le rapport en fonction de cet angle BOC, mais la formule est vraiment horrible !

 #3 - 19-02-2012 22:08:58

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Fromage ou desser ?

LOOping : C'est mieux que la découpe classique smile, mais on peut faire nettement mieux que cette configuration neutral.

 #4 - 19-02-2012 23:44:21

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

dromage ou dessert ?

0.8874 en partant du principe que les deux coupes ont même longueur.
Merci à toi pour l'énigme et à WA pour m'avoir permis d'arriver au bout smile

 #5 - 20-02-2012 09:38:22

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

fromagr ou dessert ?

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-fromage.png
Pour réduire la longueur de la coupe, il faut que les deux angles soient égaux.
La surface découpée est égale à 2 fois (secteur moins triangle hachuré).

L'équation peut se résoudre par WolframAlpha ou graphiquement avec Geogebra.
Cela conduit à un rapport de 0.887438...

On peut encore réduire ce rapport avec une autre méthode de coupe.

 #6 - 20-02-2012 13:39:00

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

fromage ou desszrt ?

Est-ce le fromage est bombé au milieu, ou est-il parfaitement cylindrique?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #7 - 20-02-2012 13:41:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Fromage ou desert ?

Bonjour,

J'ai d'abord cru que Jackv voulait se lancer dans la pâtisserie, mais son clin d'oeil à Vasimolo m'a rassuré: dans la bande P2T, nous avons maintenant un pâtissier et un fromager: lol

Je considère (sans être capable de le prouver rigoureusement) que la découpe est symétrique (c'est à dire que la droite OA est aussi la bissectrice de l'angle BC).
On cherche à avoir un quart du cercle total ou, ce qui revient au même, à couper un quart de cercle en deux parties de surfaces égales.
Mon segment de découpe (en fait de demi-découpe) part d'un point de l'axe des abscisses (d'abscisse x) et arrive à un point du quart de cercle (d'angle a avec Ox).
On aura: a/2 - x sina/2 = pi/8, d'où: x = (a-pi/4)/sina
Je cherche donc à optimiser le carré (plus facile) de la distance entre ces deux points:
f(a) = sin²a + [cosa - (a-pi/4)/sina]²
f'(a) = [(a-pi/4)cosa - sina - sin²a].[(a-pi/4)cosa - sina + sin²a].sin³a/cosa
(c'est la version simplifiée: je vous ai fait grâce des détails de calcul).
Je cherche alors à annuler cette dérivée, soit: (a-pi/4)cosa - sina + sin²a = 0
J'ai utilisé un tableur, qui me donne: a=1,02471 puis x=0,28004 et enfin la valeur cherchée [f(a)]^(1/2) = 0,8874 validée par la case réponse.

J'ai conscience que ma solution est peu élégante, mais je n'en ai pas trouvé d'autre. Attendons voir comment ce problème a été appréhendé.

Bonne journée à tous.
Frank

 #8 - 20-02-2012 13:59:20

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

fromagz ou dessert ?

http://www.prise2tete.fr/upload/titoufred-fromage2.png

Notons H le milieu du segment [BC]. La droite (OH) est la médiatrice du segment [BC].

Tout d'abord, voyons pourquoi A doit se situer sur cette médiatrice (OH) pour optimiser la longueur de coupe AB+AC, une fois que B et C sont fixés :
On considère la droite d parallèle à la droite (BC) et passant par le point A.
On appelle C' le symétrique orthogonal du point C par rapport à cette droite d.
En se restreignant à optimiser sur cette droite d, on constate que l'on cherche à optimiser BA+AC', or le plus court chemin entre deux points étant la ligne droite, le minimum sera atteint lorsque A est aligné avec B et C', c'est-à-dire lorsque A est le milieu de [BC']. On considère donc pour la suite que A se situe sur la droite (OH).

On note [latex]\alpha[/latex] l'angle HOB, [latex]\beta[/latex] l'angle HAB.
Pour une coupe optimisée, A doit se situer entre O et H.
Pour simplifier, on prend le rayon du cercle égal à 1.

L'aire de la surface hachurée peut se calculer en soustrayant l'aire des triangles OAB et OAC (de base OA et hauteur BH) à l'aire du secteur circulaire BOC (d'angle [latex]2\alpha[/latex]).

Elle est égale à : [latex]\alpha - OA \times BH[/latex]

Cette surface doit faire le quart du disque, ce qui donne la contrainte :
[TeX] \frac{\pi}{4}=\alpha - OA \times BH[/latex].

Notre but est de minimiser la longueur de coupe AB sous cette contrainte.

Un peu de trigonométrie :

[latex]sin\alpha = BH[/TeX]
[TeX]cos\alpha = OH[/TeX]
[TeX]sin\beta = BH/AB[/TeX]
[TeX]cos\beta = AH/AB[/TeX]
On en tire que [latex]AB=\frac{sin\alpha}{sin\beta}[/latex]
[TeX]AH = AB cos\beta[/TeX]
[TeX]OA = OH - AH = cos\alpha - AB cos\beta = cos\alpha - \frac{sin\alpha}{sin\beta}cos\beta = cos\alpha - \frac{sin\alpha}{tan\beta}[/TeX]
La contrainte peut s'écrire [latex] \frac{\pi}{4}=\alpha - \left(cos\alpha - \frac{sin\alpha}{tan\beta}\right) sin\alpha[/latex].

On en tire que [latex]tan\beta = \frac{sin^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha - \alpha +\pi/4}[/latex]

et finalement :
[TeX]AB = \frac{sin\alpha}{sin\left(arctan\left(\frac{sin^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha - \alpha +\pi/4}\right)\right)}[/TeX]
Un coup de Wolfram Alpha nous dit que le minimum pour AB est [latex]\simeq 0.8874[/latex], atteint lorsque [latex]\alpha \simeq 58°71[/latex]

 #9 - 20-02-2012 15:34:36

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Fromage ouu dessert ?

J'avais omis de préciser que le fromage était de hauteur constante neutral !
Merci à dhrm qui me permet de réparer cet oubli wink .

Et félicitations big_smile à looozer, halloduda, Franky et titoufred.

 #10 - 20-02-2012 18:50:46

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Fromage ou desserrt ?

Petite observation: si on voulait obtenir une longueur min de découpe, ce ne serait sans doute pas des segments de droite, mais une courbe.

 #11 - 21-02-2012 17:05:50

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Fromage ou desssert ?

Petite précision : La découpe doit se faire par 2 coups de couteau rectilignes ou pas forcément ?

 #12 - 21-02-2012 18:14:07

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

romage ou dessert ?

Une petite précision complémentaire : les découpes au couteau sont rectilignes.

 #13 - 21-02-2012 21:30:15

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

fromage ou drssert ?

Une découpe lenticulaire (hors sujet ici) sera effectivement plus optimale qu'une découpe rectiligne. Proposons la à ton fromager. wink

 #14 - 22-02-2012 13:34:44

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Fromage ou dessert

Je trouve une distance OA de 4.9741383cm
un angle BOC de 117 degrés exactement
un rapport entre la longueur de découpe et le diamètre D de 0.887462
Egalement, B & C sont symmetriques par rapport a la ligne qui passe par O et A.


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 #15 - 22-02-2012 14:36:24

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Frromage ou dessert ?

dhrm : Bravo ! le rapport que tu obtiens est très proche de mon résultat smile (bien que ta valeur de OA s'éloigne de plus de 1 % de ma valeur, confirmée par ailleurs) neutral.

nodgim et Franky : Sous la pression, je me résouts à mettre en ligne le second épisode de mes aventures fromagères :
                http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 32#p140754

 #16 - 22-02-2012 19:40:56

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Fromage ou essert ?

J'ai refait mes calculs, et je trouve une équation complètement différente ... mais qui tombe juste cette fois !

En appelant [latex]\alpha[/latex] la moitié de l'angle BOC, j'exprime le rapport cherché en fonction de [latex]\alpha[/latex], et ensuite c'est Wolfram qui fait le reste !
[TeX]r(\alpha)=\sqrt{\sin ^2\alpha+\left(\frac{\frac{\pi}4-\alpha+\frac{\sin(2\alpha)}2}{\sin \alpha}\right)^2}[/TeX]
Et Wolfram me dit que le minimum atteint vaut [latex]r_{min} \approx 0.8874[/latex], avec [latex]\alpha_{min} \approx 58,7^{\circ}[/latex]
Pour obtenir cette formule, je passe par les aires : du triangle ABC, du triangle ABC, et du cornet de glace OBC. J'ai également supposé AB=AC. Sinon, cela rajoute une variable supplémentaire, mais la recherche du minimum impose ensuite l'égalité des 2 longueurs.

 #17 - 23-02-2012 12:22:27

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

fromage ou desdert ?

J'avais fait une petite erreur. J'ai recalculé, et maintenant:
Je trouve une distance OA de 5.0406857cm
un angle BOC de 117.422919 degrés
un rapport entre la longueur de découpe et le diamètre D de 0.8874383


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 #18 - 23-02-2012 17:14:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

fromage ou desdert ?

LOOping et dhrm : on est maintenant parfaitement d'accord big_smile !

 #19 - 24-02-2012 00:56:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Fromage oou dessert ?

Une petite réponse ne serait-ce que pour remercier Jackv pour le clin d’œil à mon pâtissier smile

J'ai fait tout les calculs et je suis arrivé au même résultat que vous . Après il fallait sortir la grosse l'artillerie et là le pâtissier il aime pas trop . Il préfère malaxer et ciseler la pâte à la main .

Ceci dit ces problèmes qui culbutent les pseudos-évidences sont toujours très intéressants .

Vasimolo

 #20 - 24-02-2012 01:21:16

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

frpmage ou dessert ?

halloduda, tu peux expliquer un peu ?

 #21 - 24-02-2012 11:04:09

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

fromage ou dzssert ?

Tout d'abord, merci à Vasimolo et à son pâtissier big_smile pour l'inspiration du style de cette énigme !

La découpe doit elle être nécessairement symétrique ? Si j'ai fait l'optimisation pour le quart d'un demi-fromage, il me parait évident que si je recommence ensuite la même opération pour l'autre moitié, j'obtiendrai un résultat comparable ; la découpe doit donc être symétrique.

J'ai donc choisi de m'intéresser à un demi-fromage et de paramétrer les dimensions de la découpe en fonction de l'angle DOB = [latex]\alpha[/latex], en considérant que le rayon est de longueur unité.
         http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Fromage2.gif
L'aire du secteur ODB a comme valeur  [latex]\alpha/2[/latex].
On souhaite que ADBA ait une aire égale à  [latex]\pi/8[/latex].
Le triangle OAB a donc une aire de   [latex]\alpha/2 - \pi/8[/latex]
et sa hauteur AH =     [latex]h = 2*(\alpha/2 - \pi/8)[/latex],
soit                           [latex]h = \alpha - \pi/4[/latex]
La distance OA =        [latex]x = h/sin (\alpha)[/latex]
et la longueur AB           [latex]= \sqrt (1+x² - 2*x*cos(\alpha))[/latex] ,
valeur qu'il reste à minimiser.

Personnellement, je n'ai même pas développé l'écriture de cette fonction, et encore moins cherché à la dériver.
N'étant pas adepte de Wolfram Alpha, je me suis contenter d'utiliser un tableur et j'obtiens :
                                AB = 0.887438320
pour                         a = 58.7115 ° = 1.024709 rd
avec                         h= 0.23931
et                             x = 0.280039

Je ne sais pas si ma solution est la plus élégante, mais j’apprécie la diversité de toutes celles proposées.
Bravo big_smile et merci à tous ceux qui ont planché sur ce problème.

Je suis bien conscient que l'on peut faire mieux pour optimiser cette longueur si on ne s'en tient pas à une découpe rectiligne.
C'est pourquoi j'invite ceux qui ne l'auraient pas encore fait à rendre une nouvelle visite à mon fromager :

                http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopi … 32#p140754

halloduda : ta remarque sur l'égalité des angles est très judicieuse smile , mais il est vrai que le développement de l'ensemble est une peu succinct ...

 #22 - 24-02-2012 14:51:15

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Formage ou dessert ?

Jackv, selon moi, tu ne démontres en rien que la découpe optimale est symétrique.

 

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