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 #1 - 02-06-2012 03:13:33

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

ftomage ou dessert ? 5a

Basé sur l'énigme de Jackv, je voudrais lancer une petite variante.:

Mon fromager a moi, il a des fromages de 800g qui font 120mm de diametre (soit 60mm de rayon)
et je voulais 24 morceaux de masse identiques, et bien sur une decoupe minimale. Avec également 2 cercles intermédiaires:

http://www.prise2tete.fr/upload/dhrm77-gateau5b.PNG
Note: L'image ci dessus ne représente pas forcement la découpe optimale

A vous de trouver cette découpe minimale.
Donner le nombre de parts dans chaque disque, et le rayon des cercles intermédiares.

Voila, ca devrait etre enfantin pour ceux qui ont résolu l'énigme originale... wink

Edit: je change le temps pour terminer juste apres celle de Jackv.



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 #2 - 02-06-2012 13:05:21

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

fromage oi dessert ? 5a

1 part circulaire au centre du fromage
8 parts dans l'anneau intermédiaire
15 parts dans l'anneau extérieur
Le tout pour une longueur de découpe de 852.6 mm.

http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-Fromage5Areponse.PNG
Ca donne faim toutes ces histoires de fromages smile


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #3 - 02-06-2012 16:13:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

fromage pu dessert ? 5a

Voilà une énigme qui ne m'aura pas demandé trop de travail smile !

La découpe la plus courte est obtenue avec n1 = 2, n2 = 8 et n3 = 14, ce qui correspond à r1 = 17.320 mm, r2 =  38.730 mm, et à une longueur totale de découpe de 855,873 mm.

PS : STP, ne creuse pas trop la question, sinon tu vas me griller ma prochaine énigme lol !

 #4 - 02-06-2012 21:13:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Fromage uo dessert ? 5a

Bonjour,
En adpatant ma réponse à celle donnée à l’énigme de Jackv, voici le résultat:
Soient R le rayon du fromage, aR celui du disque intermédiaire et bR celui du disque central (avec 0 < b < a < 1).
Soient L le nombre de parts du disque central, M celui de l'anneau intermédiaire et N celui de l'anneau périphérique.
On a les relations: pi.b²R²/L = pi.(a²-b²)R²/M = pi.(1-a²)R²/N, simplifiées en:
M = [(a/b)²-1].L et N = [(1/b)²-(a/b)²].L.
De plus: L+M+N = 24 donne: L = 24.b²; M = 24.(a²-b²) et N = 24.(1-a²).
La découpe est de: D = 2.pi.(a+b).R + L.b.R + M.(a-b).R + N.(1-a).R,
soit: D/R = 2.pi.(a+b) + 24.b³ + 24.(a-b).(a²-b²) + 24.(1-a).(1-a²),
ou encore: D/R = 2.pi.(a+b) + 24.(2a³ + 2b³ - ab² - a²b - a² - a + 1).
Je me retrouve à rechercher le minima d’une fonction à deux variables: ça devient coton. Par simplicité (et fainéantise) et en incrémentant a et b par pas de 0,01, je passe par un tableur qui me donne: a = env. 0,65 et b = env. 0,41.
Ces valeurs donnent (en arrondissant): L = 2; M = 8 et N = 14.
Le disque central comporte donc 2 parts, l'anneau intermédiaire 8 parts et l'anneau périphérique 14 parts.
Pour calculer les rayons, je pars des vraies valeurs de a et b qui sont: a = V(5/12) = env. 0,6455 et b = V(1/12) = env. 0,2887, avec R = (a ou b).60 mm.
Les rayons sont donc de respectivement de: 38,73 mm et 17,32 mm.
Bonne soirée.

 #5 - 04-06-2012 04:34:44

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Fromage ou dessrt ? 5a

Ma petite variante n'était pas innocente. Il y avait un piege.
L'equation generale pour la decoupe est :
perimetre C1 + perimetre C2 + (r1*n1) + ((r2-r1)*n2) + ((r3-r2)*n3)
Avec une exception: Si n1=1, ou n2=1 ou n3=1, il n'y a pas de decoupe dans cet intervale, et donc il faut compter 0.
Pour un nombre de parts inferieur a 26, on a une decoupe minimale plus courte si un des cercle ne contient qu'une seule part.
Pour 25, la difference est minimale. J'avais choisi 24 car la difference était plus flagrante, et aussi parce que on pouvait tout diviser par 3.
Donc, Je me doutait bien que quelqu'un allait tomber dans le piege, je ne pensais pas que j'y trouverais Jackv...

Merci quand meme a tous ceux qui ont participé.

La bonne réponse est bien sur celle de elpafio.

n1=1 n2=8, n3=15, r1=12.247449, r2=36.742346, decoupe=852.635947


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 #6 - 04-06-2012 07:22:03

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Fromage ou dessertt ? 5a

Je me doutais bien qu'il y avait un piège, car dhrm77 n'aurait pas "bêtement pompé" une énigme avec juste des données différentes. Cela ne m'a pas empêché de tomber dans ce piège: gggrrrrr !

 

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