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 #1 - 05-03-2012 18:51:34

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

gromage ou dessert ? 3

Aujourd'hui, ce sera les deux !
Comme j'avais quelques invités ce soir et en l'absence de gâteaux suffisamment attrayants chez mon pâtissier, je me suis contenté de quelques éclairs au café et j'ai rendu une nouvelle visite à mon fromager.

Délaissant pour un temps le Brie de Meaux, j'ai opté pour un Rouy de 320 gr, de forme carrée de 9 cm de coté et d'épaisseur parfaitement constante.
Plus pour le plaisir de le voir opérer avec son couteau que pour le mettre au défi (car j'étais persuadé de connaître tout comme lui le principe de la découpe), je lui demandais si il pouvait m'en faire 7 parts, bien évidemment égales, mais dont la surface de croûte serait identique sur chaque part.

A ma grande surprise, délaissant son couteau, il installa le fromage sur le plateau de sa machine à commande numérique de découpe par laser.
Comme je manifestais mon étonnement, laissant entendre qu'il se laissait aller à la facilité et qu'il allait finir par perdre la main si il ne continuait pas à se servir de son couteau pour des découpes aussi élémentaires, il me répliqua que je n'avais sans doute pas remarqué le congé de raccordement de rayon 0.75 cm à chacun des 4 coins du fromage.
Puis après avoir réfléchi quelques secondes, il se ravisa, me dit que j'avais quand même raison et effectua la découpe manuellement en commençant par un coup de couteau perpendiculaire à un bord. Puis il me tendit les 7 parts avec un sourire triomphant.
Arrivé chez moi, je me précipitais sur ma balance électronique, sur mon pied à coulisse et sur ma calculette pour me rendre compte qu'il avait une nouvelle fois parfaitement effectué son travail.

- Quel aurait été le principe de la découpe si il n'y avait pas eu de congé de raccordement aux 4 coins du fromage ?

Spoiler : [Afficher le message] La réponse est maintenant donnée au message 21 .

- Quelles sont les formes de la découpe effectuée par le fromager ?
Pour les plus courageux (car les calculs sont un peu fastidieux), préciser les cotes qui permettent de définir cette découpe.

La case réponse valide pour ce 2ème cas la longueur totale de la découpe sur la part située en face du premier coup de couteau, exprimée en mm avec un chiffre derrière le point décimal.



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 #2 - 05-03-2012 22:59:29

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

Fromage ou edssert ? 3

Bonjour Jackv,
Qu'appelles tu "congé de raccordement" ? S'agit-il (quatre fois) d'un quart de cercle (de rayon ou de développée 0,75 cm) ou d'une découpe rectiligne en biais (à 45°) de longueur 0,75 cm ou encore autre chose ?
Merci pour cette précision.
Bonne soirée.

 #3 - 06-03-2012 08:44:18

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Frmoage ou dessert ? 3

Ne pas confondre le "chanfrein", découpe plane effectuée sur un angle vif, et le "congé", forme cylindrique reliant tangentiellement 2 plans wink .

 #4 - 06-03-2012 11:08:32

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
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Lieu: Ardèche

Fromage ou desserrt ? 3

Je ne comprends pas tout.

1 Je suppose que les côtés du fromage ne sont pas recouverts par de la croûte.

2 On ne précise aucun critère de découpe.
Je suppose qu'on veut minimiser la longueur de découpe ? Ce n'est pas indiqué.
Chaque coupe doit-elle séparer en deux le morceau qu'elle concerne ?
(ce qui excluerait une coupe radiale en parts de tarte, par exemple)
Mais alors, il n'y aurait pas "une part située en face du premier coup de couteau".

L'optimum absolu serait une coupe "en nid d'abeille", un hexagone, pas forcément régulier mais à angles 120°,
au centre, et 6 parts, dont 4 contiennent un coin.
Deux des "rayons", diamétralement opposés, sont des segments de droite.
Quatre des "rayons" sont des arcs de cercle qui se coupent à 120° et coupent les côtés à 90°.
Cela avec ou sans congés.

Mais alors, il n'y aurait pas "une part située en face du premier coup de couteau".

 #5 - 06-03-2012 11:51:05

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

Fromage ou dessrt ? 3

halloduda : Le pourtour du fromage est bien sûr, tout comme le dessus et le dessous du fromage recouvert de croûte ! C'est bien là toute la difficulté du problème.
Si on revient en 2D, le problème revient alors à découper une surface en 7 parts égales et comprenant chacune une longueur égale de pourtour.

- Tous les coups de couteau donnent une découpe rectiligne (sans courbe ni angle, ce qui aurait nécessité l'utilisation de la machine à découpe par fil !) et débouchent forcément sur un bord (du fromage entier pour le 1er, ou d'un ensemble de plusieurs parts ensuite).

- Il n'est pas demandé de minimiser la longueur de découpe (c'est suffisamment compliqué ainsi). Il est juste précisé, pour avoir une solution unique et pour simplifier le problème, que le 1er coup de couteau, qui ne traverse pas forcément le fromage, est perpendiculaire à l'un des cotés.

- Il ne faut pas s'attendre à trouver des valeurs entières : toutes les valeurs obtenues appartiennent évidemment à l'ensemble des réels.

 #6 - 06-03-2012 16:18:25

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Fromage ou dessert ?

Désolé, hal, sad quand je parle du pourtour 2D, il comporte 4 segments et 4 quarts de cercle.

 #7 - 06-03-2012 17:22:33

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Lieu: Ardèche

fromage pu dessert ? 3

Sans congé, la découpe serait radiale "en parts de tarte", chaque part ayant une base de 360/7 mm et une hauteur de 45 mm.

Avec congé, chaque part a un côté de 49.59 mm et une aire de 1150.25 mm².

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-rouy.png

A l'échelle.

La découpe de la part du bas représente 105.2 mm

La case valide 105,2 alors qu'il est précisé
"une décimale après le point décimal".

Le logiciel gratuit Geogebra permet de trouver les cotes avec une grande précision.

 #8 - 06-03-2012 18:19:37

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Fromage ou dessert 3

Bonjour,
Pour la première partie, j'ai trouvé deux solutions qui sont symétriques par rapport à un axe coupant le carré en deux rectangles égaux pour l'une et en deux triangles isocèles pour l'autre: je ferai des schémas (plus explicites qu'un texte) que je posterai demain. Pour la seconde partie, je regarderai quand la première sera finalisée.
Bonne soirée.

 #9 - 06-03-2012 22:51:32

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Fromgae ou dessert ? 3

Bien vu halloduda big_smile , le premier à trouver la réponse.
Et bonne continuation Franky wink .

 #10 - 07-03-2012 19:51:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Luxembourg

Fromage ou dessert ?

Bonjour,


Ma méthode pour afficher des fichiers pdf n'est pas vraiment top.
Pour la première partie de l'énigme, je trouve les deux solutions dessinées, mais aucune des deux n'est validée par la case-réponse. Tant que je n'ai pas résolu mon problème, il est inutile que je m'attaque à la seconde partie, plus difficile encore.
Bonne soirée.

 #11 - 07-03-2012 22:30:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
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Lieu: 94110

fromage ou desszrt ? 3

Bien vu Franky pour la 1ère partie big_smile . Bon courage pour la suite wink .

Rques : - Le premier coup de couteau est perpendiculaire à l'un des cotés.
- La case réponse concerne la 2ème question, avec les rayons de raccordements.

 #12 - 08-03-2012 10:32:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: Jacou

frpmage ou dessert ? 3

Intéressant comme énigme.

La première partie ne pose pas de difficulté.
Regardons d'abord les faces supérieures et inférieures: chaque coupe partant du centre crée 1 ou 2 triangles suivant qu'un coin appartient à la part nouvellement créée.
Dans tous les cas ces triangles ont tous la même hauteur (la distance du centre au bord soit la moitié du coté du carré). La surface de chaque triangle est donc proportionnelle à la longeur du bord.
Pour le bord latéral, la surface est la longueur du bord multiplié par la hauteur du fromage et donc la aussi la surface est proportionnelle à la longueur du bord de chaque part.
Finalement la surface de croute de chaque morceau est proportionnelle à la longueur du bord de la coupe, que celle-ci soit droite ou brisée.
Puisqu'on veut partager en 7 parts égales, il suffit de partager le périmètre en 7: 9*4/7, de faire une première découpe où on veut et puis de mesurer 36/7 sur le bord, de faire une coupe qui passe par ce point, ...

La deuxième partie est un peu plus compliquée. Je vais essayer de prendre le temps de le faire mais je ne peux pas tout de suite.
Il faut à mon avis isoler les 4 angles: faire des "secteurs" qui partent du centre et qui rejoignent les 2 points de raccordement de chaque coin.
La première découpe devra être choisi pour que chacun de ces secteurs soit entièrement dans une part.
Il faut ensuite calculer l'aire de croute de chacun de ces "secteurs", la soustraire à la surface totale et se ramener au cas précédent.

Il faudra donc faire 4 parts plus petites pour qu'en ajoutant la surface du secteur de coin, on trouve 7 parts identiques.
Si la surface de croute d'un "secteur" est y et la surface totale de croute est S.
On cherche 2 surfaces à base de triangles u et v tels que:
4(u+y)+3v=S
et si lu et lv sont les longueurs des cotés correspondant:
4(Lu+Ly)+3lv=Ltotale.

On connait y, Ly, Ltotale par l'énoncé.
Lu et Ly se déduisent de u et y (ou l'inverse).
On a donc un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre.

Les calculs pour plus tard smile

 #13 - 08-03-2012 12:03:48

dhrm77
L'exilé
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Fromae ou dessert ? 3

Si le premier coup de couteau est perpendiculaire a un bord, il est aussi parallele a un autre. Le dernier coup de couteau peut un un symmetrique du premier, et les 4 autres coups de couteau peuvent aussi etre paralleles, mais les espaces sont differents.
Cependant:
Comme le pourtour du fromage est recouvert de croûte, la coupe depend de beaucoup de l'epaisseur du fromage, si elle n'est pas donnée, comment peut-on trouver la réponse?
Par exemple, si l'épaisseur est telle que les coupes sur les bords se font dans le congé, il y a 3 different types de parts, ce qui rend tres difficile les calculs sans connaitre l'épaisseur.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #14 - 08-03-2012 13:12:01

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Fromage ou dessrt ? 3

Bravo rivas big_smile pour la 1ère partie. Bon courage pour la 2ème wink !

Pour tous : la hauteur du fromage n'a aucune influence. Il suffit de savoir qu'elle est constante.
On peut donc traiter le problème en 2D : il se résume alors à découper une surface en 7 parts d'aires égales et comprenant chacune une longueur égale de pourtour.

Un bon conseil : Il vaut mieux répondre d'abord à la 1ère partie : outre le fait qu'elle est beaucoup plus facile, elle donne une bonne idée de la forme de la découpe avec les rayons

 #15 - 08-03-2012 15:34:53

rivas
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fromage ou drssert ? 3

On travaille donc dans le plan et on cherche des découpes d'un septième de la longueur totale.
Je pose a le coté du carré (a=9), R le rayon des "coins" (R=0.75) et l la longueur de l'arc de cercle d'un coin.
[TeX]l=\dfrac{2{\pi}R}4[/TeX]
La longueur totale du tour est [latex]L=4(a-2R)+4l=4a-8R+4l[/latex].

On donne le premier coup de couteau est symétrique par rapport à la médiatrice de ce coté. La découpe forme donc un triangle isocèle dont le coté sur le bord du fromage mesure L/7 et la hauteur a/2.
Ce triangle se compose donc de 2 triangles rectangles dont l'hypothénuse est la découpe et les 2 autres cotés mesurent L/14 et a/2.
La longueur d'une des découpes est donc: [latex]D=\sqrt{(\dfrac{L}{14})^2+(\dfrac{a}{2})^2}[/latex].

Numériquement (on veut une précision au centième de centimètre, je travaille donc avec 6 décimales).
l=1,178097
L=34,712389 (un peu moins que 36, normal).
D=5,138

La longueur totale de la découpe fait donc 2D=10,28cm=102,8mm.
La longueur du bord fait L/7=4,96cm=49,6mm

Mais la case réponse ne valide pas sad

 #16 - 08-03-2012 16:16:42

Jackv
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Fromage ou dessetr ? 3

Rivas : La part que tu découpes a bien un bord égal au 1/7ème du pourtour neutral, mais sa surface ne fait pas 1/7ème de l'aire totale sad ...

 #17 - 08-03-2012 18:42:44

Promath-
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Fromage ou desset ? 3

Si on appelle P l'aire de la croûte, latérale, avec un fromage de 10 cm de hauteur alors P=(324/63)*10


Un promath- actif dans un forum actif

 #18 - 08-03-2012 19:17:56

rivas
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Fromage ou dessert ?

Jackv a écrit:

La part que tu découpes a bien un bord égal au 1/7ème du pourtour , mais sa surface ne fait pas 1/7ème de l'aire totale

Ca me rassure. Je pensais bien que ce n'était pas le cas.
C'est même ce que j'ai écrit dans mon premier post (celui avec u et v).

Mais ton autre commentaire m'a induit en erreur:

il se résume alors à découper une surface en 7 parts d'aires égales et comprenant chacune une longueur égale de pourtour

Je referai quelques calculs demain si j'ai le temps...

 #19 - 08-03-2012 22:35:40

Franky1103
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fromagr ou dessert ? 3

Bonjour,
SUITE ET FIN: seconde partie de l’énigme (la plus compliquée):
Périmètre total = 4.(90-15)+15.pi = 347,124 mm,
soit pour chacune des 7 parts = 49,589 mm
Surface totale = 90.90 – 15.15 + 7,5².pi = 7875 + 225.pi/4 = 8051,715 mm²,
soit pour chacune des 7 parts = 1150,245 mm²
La part en face du premier trait de coupe sera un triangle de base 49,589 et de hauteur 2.1150,245 / 49,589 = 46,391 mm
La longueur de coupe sera de 2.(46,391²+49,589²/4)^(1/2) = 105,2 mm (pour
103,6 pour la première partie), valeur validée par la case-réponse: OUF.
Mais je me suis juste contenté des calculs nécessaires à obtenir la réponse (je n'ai
pas calculé toutes les parts).
Bonne soirée.

 #20 - 08-03-2012 23:33:50

Jackv
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Fromage ou dessert ? 33

Un grand bravo à franky big_smile qui trouve la réponse demandée.

Pour laisser un peu plus de temps à ceux qui se sont lancé dans la résolution, je donnerai demain soir la solution du découpage pour un carré et je reporte de 2 jours celle pour un carré à coins arrondis.

 #21 - 09-03-2012 22:49:05

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Fromaeg ou dessert ? 3

Voici la découpe proposée quand le fromage n'a pas de coins arrondis :

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Fromage30.gif

Il suffit de prendre 7 point sur le pourtour régulièrement espacés, et de les joindre au centre du carré.
Chaque portion ainsi obtenue peut être décomposée n 2 triangles de hauteur identique = 45 mm et dont la somme des bases est constante.

Vous pouvez vous inspirer de ce genre de découpe dans le cas du fromage à coins arrondis smile .

Bon courage !

 #22 - 10-03-2012 17:31:54

Franky1103
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fromahe ou dessert ? 3

A noter que, dans le cas du fromage à coins arrondis et contrairement au fromage carré, les traits de coupe ne sont pas concourants (hormis les coupes symétriques)
et qu'aucun trait ne passe par le centre du carré (hormis le premier trait de coupe).

 #23 - 12-03-2012 01:36:44

Jackv
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Fromagee ou dessert ? 3

On commence, comme pour le problème précédent, par positionner les marques de découpe sur le contour, à partir de la découpe a normale au milieu d'un coté.
Le périmètre total P fait 4*(c-2*r) + 2*pi*r soit 347.12 mm. Chaque part en contient 1/7ème soit Pp = 49.589 mm, ce qui nous donne les points A, B, B', C, C', D et D' sur le dessin :

  http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Fromage31.gif

La surface de coin S est égale à  : r²*(1-pi/4) soit 6.438 mm². La surface totale à : c²-4*S soit 8051.74 mm².
Chaque part en vaut 1/7ème soit Sp = 1150.245 mm².

Déterminons le triangle 1. Sa hauteur vaut  2*Sp/Pp soit 46.391 mm (elle est supérieure à la moitié du coté).
Pythagore nous donne pour un coté de cette part, b = 52,601 mm, soit la somme des 2 bords découpés = 105.20 validé par la case réponse.

La détermination de la part 2 est un peu plus délicate. En lui ajoutant une surface de coin S, on peut la découper en 2 triangles, dont l'un connu, de base x = 7.708 et de hauteur c/2 et l'autre de base c/2 et de hauteur inconnue a.

               x*c/4 + a*c/4 = Sp+ S     on en déduit : a = 43,600 mm

La position de la découpe d se calcule ensuite à partir de la part 3 à laquelle on a rajouté la surface de coin S.
Je ne rentrerai pas dans le détail des calculs, de crainte de devenir trop fastidieux.
L'agrandissement de la partie centrale donne la forme exacte des découpes.
On remarquera qu'aucune d'entre elles ne passe par le centre du fromage.

Il est quand même très fort mon fromager !

Merci smile à tous ceux qui ont bien voulu se pencher sur ce petit calcul.
Un grand bravo big_smile à ceux qui sont parvenu à un résultat.

 

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