Comme promis une petite démo du résultat.
Soit N0+q0 le nombre suivant N0 qui est dans la même famille que lui, la famille p1,p2,...pn
On applique Syracuse (on part du principe que N0+q0 est un nombre impair)
3(N_0+q_0)+1=3N_0+3q_0+1[/latex] devra être divisible par [latex]2^{p_1}
Or on sait que 3N_0+1 est divislbe par 2^{p_1}
On en déduit que 3q_0 est divisible par 2^{p_1}, et 3 étant premier avec 2, on a l'existence de q_1 tel que :
q_0=2^{p_1}q_1
Si on définit N_1 par 3N_0+1=2^{p_1}N_1, le nombre suivant dans la suite de Syracuse est alors :
N_1+3q_1
N_1[/latex] ayant pour famille [latex]p_2,...,p_n
On applique exactement le même principe sur les puissances suivantes, et on arrive ainsi au rang n :
N_n+3^nq_n=1+3^nq_n[/latex] car [latex]N_n=1[/latex], Syracuse se termine pour [latex]N_0
On sait aussi que 1+3^nq_n ne doit pas être pair, sinon on pourrait effectuer une division de plus. Cela signifie que q_n est forcément pair. On veut le plus petit nombre possible, donc autant prendre q_n=2
On a la relation q_0=2\prod_{k=1}^n2^{p_k}
CQFD 
Sur les exemples, 2^{11}+11=2059 est le nombre suivant 11 dans la famille 1,2,3,4.
Avec 27, on doit par contre aller jusqu'à 2^{71}+27 !!!!