Comme promis une petite démo du résultat.


Soit [latex]N_0+q_0[/latex] le nombre suivant [latex]N_0[/latex] qui est dans la même famille que lui, la famille [latex]p_1,p_2,...p_n[/latex]

On applique Syracuse (on part du principe que [latex]N_0+q_0[/latex] est un nombre impair)
[TeX]3(N_0+q_0)+1=3N_0+3q_0+1[/latex] devra être divisible par [latex]2^{p_1}[/TeX]
Or on sait que [latex]3N_0+1[/latex] est divislbe par [latex]2^{p_1}[/latex]

On en déduit que [latex]3q_0[/latex] est divisible par [latex]2^{p_1}[/latex], et 3 étant premier avec 2, on a l'existence de [latex]q_1[/latex] tel que :
[TeX]q_0=2^{p_1}q_1[/TeX]
Si on définit [latex]N_1[/latex] par [latex]3N_0+1=2^{p_1}N_1[/latex], le nombre suivant dans la suite de Syracuse est alors :
[TeX]N_1+3q_1[/TeX]
[TeX]N_1[/latex] ayant pour famille [latex]p_2,...,p_n[/TeX]
On applique exactement le même principe sur les puissances suivantes, et on arrive ainsi au rang n :
[TeX]N_n+3^nq_n=1+3^nq_n[/latex] car [latex]N_n=1[/latex], Syracuse se termine pour [latex]N_0[/TeX]
On sait aussi que [latex]1+3^nq_n[/latex] ne doit pas être pair, sinon on pourrait effectuer une division de plus. Cela signifie que [latex]q_n[/latex] est forcément pair. On veut le plus petit nombre possible, donc autant prendre [latex]q_n=2[/latex]

On a la relation [latex]q_0=2\prod_{k=1}^n2^{p_k}[/latex]

CQFD

Sur les exemples, [latex]2^{11}+11=2059[/latex] est le nombre suivant 11 dans la famille 1,2,3,4.
Avec 27, on doit par contre aller jusqu'à [latex]2^{71}+27[/latex] !!!!