Comme promis une petite démo du résultat.


Soit $N_0+q_0$ le nombre suivant $N_0$ qui est dans la même famille que lui, la famille $p_1,p_2,...p_n$

On applique Syracuse (on part du principe que $N_0+q_0$ est un nombre impair)
$$3(N_0+q_0)+1=3N_0+3q_0+1[/latex] devra être divisible par [latex]2^{p_1}$$
Or on sait que $3N_0+1$ est divislbe par $2^{p_1}$

On en déduit que $3q_0$ est divisible par $2^{p_1}$, et 3 étant premier avec 2, on a l'existence de $q_1$ tel que :
$$q_0=2^{p_1}q_1$$
Si on définit $N_1$ par $3N_0+1=2^{p_1}N_1$, le nombre suivant dans la suite de Syracuse est alors :
$$N_1+3q_1$$
$$N_1[/latex] ayant pour famille [latex]p_2,...,p_n$$
On applique exactement le même principe sur les puissances suivantes, et on arrive ainsi au rang n :
$$N_n+3^nq_n=1+3^nq_n[/latex] car [latex]N_n=1[/latex], Syracuse se termine pour [latex]N_0$$
On sait aussi que $1+3^nq_n$ ne doit pas être pair, sinon on pourrait effectuer une division de plus. Cela signifie que $q_n$ est forcément pair. On veut le plus petit nombre possible, donc autant prendre $q_n=2$

On a la relation $q_0=2\prod_{k=1}^n2^{p_k}$

CQFD

Sur les exemples, $2^{11}+11=2059$ est le nombre suivant 11 dans la famille 1,2,3,4.
Avec 27, on doit par contre aller jusqu'à $2^{71}+27$ !!!!