Enigmes

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 #1 - 24-03-2012 18:16:06

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Formes mystres

Voici une suite de formes obtenus par un procédé simple pour n=3,4,5,6,7,8
(de gauche à droite et de haut en bas)
http://www.prise2tete.fr/upload/w9Lyl6n-formes_mystere.png

La question est : Que représentent ces formes (justifier)? comment les dessiner ?
Bon courage smile

Mathieu



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 #2 - 24-03-2012 20:18:40

Moriss
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 460

FFormes mystères

Heuu... Ce sont des homothéties ? Les maths ça remonte à quelques années pour moi.

 #3 - 25-03-2012 11:18:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Rouen

Formes mystèères

Pour moi, ça ressemble à de la projection plane de solides réguliers en 3D, mais je ne saisis pas encore tout.

Pour n=3, a-t-on bien la projection d'un cube ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 25-03-2012 11:59:30

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 696

formes mystèees

On part d'un polygone régulier à n côtés. On le fait tourner n-1 fois de 2Pi/n autour de l'un de ses sommets.

 #5 - 25-03-2012 12:40:47

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Fores mystères

Moriss : Non pas des homothéties, mais il y a un rapport (indirect) avec des symétries, comme pour les solides de Platon.

MthS-MlndN : oui pour la deuxième affirmation, pas loin pour la première smile

masab : J'ai été agréablement surpris par ton approche à laquelle je n'avais pas pensé, et elle marche... presque! big_smile Pour certaines figures, les segments qui partent des coins extérieurs en direction du centre n'appartiennent à aucun polygones.

 #6 - 27-03-2012 22:03:49

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Formes mysères

Je crois qu'il s'agit d'hypercubes de dimensions 3,4 etc...

 #7 - 28-03-2012 07:56:41

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1768

formes myqtères

Bonjour,

Ces dessins me font penser à des vues de dessus, ou bien des projections planes de polyèdres.

Je cherche des liens dans les domaines de la géométrie ou de la cristallographie, avec en corollaire des "facettages" de pierres précieuses (ou pas !)


http://www.georgehart.com/virtual-polyh … stals.html
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/figs/crystals-heck.jpg

Par exemple, le "premier" (n=3) pourrait être la projection plane de :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-hexagonalpyramid.jpg

Je cherche à rapprocher les variables descriptives de cette figure pour les autres valeurs et formes de l'énoncé.

Sinon, en recherchant avec le mot clé "polyèdres", j'ai vu la notion de "diagramme de Schlegel" qui (selon wiki) peut être considéré comme l'ombre du squelette du polyèdre sur le sol (mais souvent déformée et écartée pour distinguer nettement toute sa structure).


Vu également les notions des "pavages" et de "graphes planaires" ...




Je creuse donc toutes ces pistes, en espérant être sur la bonne voie, pour trouver quelle "fonction" relie les variables  n=3,4,5,6,7,8 et la construction des 6 formes proposées .... (et des suivantes éventuelles ...)

Merci pour cette "énigme" et à suivre !


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 28-03-2012 22:48:57

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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Formes mystres

racine : bravo, tu as trouvé les formes smile Il te reste à préciser sous quel angle de vu elles sont représenté, et si possible pourquoi cet angle de vu "existe" toujours.

NickoGecko : chercher des formes projetés est une bonne piste. J'ajoute que la famille ne s'arrête pas à n=8, mais continue indéfiniment. Ces formes ont une définition mathématiquement très simple, mais sont rarement représenté pour n>4.

 #9 - 29-03-2012 20:01:18

Promath-
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Formes mytères

Je veins de trouver. Il s'agit de la représentation soft des cubes (3) hypercubes (4)(ou octahores). ce sont leur graphe.
Belle enigme


Un promath- actif dans un forum actif

 #10 - 30-03-2012 02:18:28

L00ping007
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fprmes mystères

Ca ressemble aux polygones de Pétrie d'hypercubes, mais seulement pour les dimensions impaires, pas pour les paires hmm
Polygones de Pétrie

 #11 - 30-03-2012 17:04:03

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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formes mustères

Promath : Bravo smile, tu as trouvé. Je ne savais pas que ça s'appelait les "représentation soft". D'ailleurs j'aimerais bien avoir une source, je ne trouve rien sur la représentation soft sur google.

L00ping : et Rebravo, ou presque lol en fait j'ai trouvé ces représentations par moi même. J'ai découvert par la suite les représentations dont tu parle, qui sont meilleurs que les miennes (elles font voir toutes les arrêtes pour les n paires), mais il s'agit bien des mêmes objets!

...
Certain ont trouvé les formes, mais personne n'a encore réussie à décrire en mots simple le point de vu sous lequel sont vues ces formes
...
smile

 #12 - 30-03-2012 21:20:07

emmaenne
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Lieu: Au sud du Nord

Formes mytsères


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #13 - 30-03-2012 22:15:18

shadock
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Messages : 3330

formes mystèees

Je ne sais pas ce que sont ces formes, ni comment les dessiner, je sais cependant que toutes sont constructibles par simple pliage.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 01-04-2012 00:58:59

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
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Fomes mystères

racine, Promath, L00ping, et emmaenne l'ont trouvé, ces formes sont des projections d'hypercubes, pour n=3 on reconnait bien un cube. Bravo à eux et merci pour les participations smilesmilesmile


DISCUSSION (monologue en fait lol) SUR LES DIMENSION >3



   Il y a quelques années quand j'ai découvert en cours de math les espaces vectoriels, mon professeur a suggéré que certaines personnes, avec de l'entrainement, étaient capable de "voir" dans des dimension supérieurs à 3 (voir en pensé bien sûr lol).

   Sans aller jusque là, je me suis demandé à quoi ressemblerait la projection d'un monde en 4D, ou plus, sur un plan. Après tous notre rétine nous envoie bien des images en 2D avant que le cerveau reconstruise une scène tridimensionnelle. Pour profiter de la puissance de notre vision dans l'espace, il semble donc que la projection sur un plan soit une étape incontournable.


L'ORIGINE DE L’ÉNIGME


   Comme je n'avais que mes main et des feuille pour dessiner, et que j'étais débutant en algèbre linéaire, je me suis dit qu'il était toujours possible d'observer un hypercube centré sur un coin de manière à ce que toutes les arrêtes partant de ce coin soient vues avec le même angle entre elles.
   A partir de là, on obtient toutes les directions possibles pour l'hypercube (chacune correspond à une dimension différente). Et il ne reste plus qu'à prolonger par d'autres arrêtes suivant ces directions, jusqu'au coin opposé de l'hypercube.

   En complétant l'étoile de départ par des parallélogrammes (projection de carré) temps qu'on peut le faire, il me semble qu'on obtient les arrêtes visibles de la projection d'un hypercubes plein, mais je ne saurais pas le démonter.

UN PEU DE MATH (non! ne partez pas big_smile)

   Pourquoi le point de vu "en coin" correspond bien à une projection valide?
(J'entends par projection valide une projection orthogonale, de manière à ne pas déformer l'hypercube)
   Une projection orthogonale sur un plan en 2D peut se résumer à l'application d'une isométrie sur l'espace, puis à garder les deux premières composante de chaque vecteurs.
   (Ceci est un test: écrivez un post contenant les mots "chameau philanthrope", sans en expliquer l'origine, et vous recevrez une image)
   La matrice d'une projection orthogonale sur un plan en 2D est donc constitué de deux lignes d'un matrice orthogonale (ces lignes sont donc orthogonales entres elles et de norme 1)
   De plus si on dispose d'un couple de vecteur de norme1 orthogonaux entre eux, on peut facilement le prolonger en une base orthonormé.


Conclusion : n'importe quel couple de vecteur orthogonaux de norme 1 forment une base de projection valide de l'espace de dimension n sur le plan.
   Concrètement, si X=(x1,x2,...,xn) et Y=(y1,y2,...,yn) sont de norme 1 et orthogonaux alors (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn) forment une représentation valide des directions de l'hyperespace.


   On peut montrer que les (cos(k*2pi/n),sin(k*2pi/n)) pour k=0...n-1 forment bien une telle base de projection ( je vous épargne les calculs smile, on trouve facilement le résultat en transformant cos(x) = (exp(ix)+exp(-ix))/2 et sin(x) =  (exp(ix)-exp(-ix))/2i  )

LA BIZARRERIE POUR LES N PAIRS

   L'inconvénient de ma représentation, est que pour les n pairs, chaque vecteur est accompagné de son opposé, ce qui fait que les arrêtes se superpose, ça explique pourquoi ces projections paraissent plus simple que pour les n impairs.

   Pour les représentation ressemblantes que certains ont trouvé sur le net
, la base de projection à prendre se répartie sur un demi cercle seulement :
(cos(k*pi/n),sin(k*pi/n)) pour k=0...n-1, on montre de même que cette projection est valide, en fait on peut mettre n'importe quel coefficient de N* devant les k*pi/n, et la projection reste valide (j'avais pris 2 au lieu de 1).

Mathieu smile

 #15 - 01-04-2012 06:46:55

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1768

formes mustères

Bonjour !

Topic super intéressant, et honte sad à moi de ne pas avoir complété mon post, car j'y avais pensé aussi depuis le début !


> Par la lecture de George GAMOW "UN, DEUX, TROIS ... L'INFINI (autre livre de chevet avec  Martin GARDNER...)

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-123linfini.jpg
exemplaire de 1963, je n'étais pas né !





la suite contre 12 timbres !

> qui m'avait permis aussi de comprendre un peu, voir (*), le "cubisme"
et oui, chez Picasso, on voit en 3D !

http://zingo.typepad.com/photos/uncategorized/sole_cubisme_opt.jpg

Elle n'est pas belle, Doña Sole, de face et de profil à la fois ?
qui a dit qu'elle avait une une tête de sole ?!

(*) Sosoy ! help ! reviens m'aider à compléter !


Merci, à bientôt !
(Bon Dimanche !)


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)
 

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