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 #1 - 16-04-2020 11:51:11

Faker
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 6
Messages : 6

Paradoxee du point et du segment

Ceci n'est pas vraiment une énigme mais un paradoxe que j'ai posé à mes amis en cours de géométrie analytique (big_smile moi = gros sadique ), il n'y a pas de réponse attendue mais je voudrait avoir votre avis sur les fondements de ce paradoxe.

Si un point à une mesure,non-nul, alors rien ne sert de mesurer un segment car ça mesure est l'addition de la mesure d'une infinité de points, sa mesure est donc infinie.
Mais si un point n'a pas de mesure ou une mesure nul, alors la longuere d'un segment et forcement nul car elle est l somme d'une infinité de mesure nulle ou d'objets n'ayant pas de mesure.

Bon cramage de cerveau big_smile



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 #2 - 16-04-2020 15:35:47

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 375

paradoxe du point et di segment

Bonjour,

Voici ma réponse :
Spoiler : [Afficher le message] Un segment est une union non discrète de points. Les théorèmes sur les sommes de mesure portent sur des unions discrètes. Donc la sommation proposée n'est pas valide. C'est un paradoxe que l'on peut rapprocher du paradoxe de Banach Tarski, mais différent dans la mesure ou ici, on découpe un objet en un nombre non dénombrable de parties, là où dans Banach Tarski on découpe une sphère en un nombre dénombrable (et même fini) de parties non mesurables. Ces deux exemples montrent bien les conditions nécessaires pour sommer les mesures d'une partition d'un objet.
La réponse à ce paradoxe est que pour étudier une somme continue, il faut utiliser une somme intégrale, qui prend la limite d'une somme dénombrables d'objets mesurables (c'est ça qui pose les bases de l'intégrale de Lebesgue).
Un autre paradoxe (qui en est cette fois intimement liè) est en probabilité (qui comme on le sait, sont très fortement liée à la notion de mesure).
Si on prend un point uniformément sur le segment [0,1], la probabilité d'obtenir un nombre donné est toujours 0. Pourtant, ce n'est pas un évènement impossible. Par exemple, si on effectue un tirage et que l'on obtient la valeur x, la probabilité d'obtenir x était de 0. Pourtant, puisque on l'a obtenue, on sait que l'évènement est possible puisqu'il vient de se produire. Ainsi, on dit qu'un évènement de probabilité nulle (sur un univers infini) est dit quasi impossible si sa probabilité est de 0.

 #3 - 16-04-2020 16:44:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3734

paradoxe du poinr et du segment

ça me fait penser à ce que j'appelle le Syndrome de la charcutière.

On découpe un jambon gradué n'importe où et on note l'abscisse de la découpe sur les 2 parties découpées. On réitère cette opération une infinité de fois jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des tranches de dimension nulle, à savoir même abscisse de chaque coté de la tranche. Si on regarde une tranche au hasard, son abscisse est égale à celles de ses 2 voisines, elles mêmes à leurs autres voisines, etc....Autrement dit, toutes les tranches ont la même abscisse que la 1ère qu'on a observée.

Une autre.

Il est évident qu'il y a autant de points entre 0 et 1 qu'entre 1 et l'infini :Pour chaque point compris entre 1 et l'infini, il suffit faire correspondre son abscisse inverse.
Donc le segment entre 0 et 1 est aussi long que celui entre 1 et l'infini.

 #4 - 16-04-2020 16:50:51

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 375

paradoxe du point et du qegment

nodgim
Pour le deuxième paradoxe, c'est une confusion entre la notion de cardinalité et la mesure de l'ensemble.
Les ensembles [0,1] et [1,+infini[ ont même cardinalité mais une mesure distincte.

 #5 - 16-04-2020 18:55:22

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
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Paradoxe du point et duu segment

Perso, j'ai toujours pensé qu'un segment n'est pas seulement un ensemble de points.

 #6 - 16-04-2020 22:13:45

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 375

Paradoxe du point te du segment

Par définition, un segment est un ensemble de points (l'ensemble des points situés entre deux points). C'est juste qu'il faut faire attention au fait à la notion de cardinalité dès que l'on essaye de sommer des choses.
Comme un segment et un ensemble discret de points ont une cardinalité différente, tout les résultats de mesure vont évidemment être différent.

(Et puis en théorie des ensembles, tout objet mathématique est un ensemble, alors tongue )tongue

 #7 - 17-04-2020 08:19:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3734

paradoxe du point et fu segment

C'est bien un peu le sentiment que j'ai toujours eu avec cette définition du segment comme un ensemble de points : Il a fallu, avec combien d'efforts !, faire coller les montages intellectuels avec la théorie ensembliste. Le résultat n'est pas très harmonieux.

 #8 - 17-04-2020 11:53:40

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 287

Paradoxe du point et du segent

bonjour,

il me semble que le point est un objet géométrique de dimension :0 , le segment comme la droite sont de dimension :1  .

Alors il faudrait dans ce cas sommer des aires pour obtenir des volumes . Comme on vit à fortiori dans un monde de fous , pourquoi pas !!

 #9 - 17-04-2020 19:07:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 5,233E+3

Paradoxe du pointt et du segment

Il faut regarder un peu du côté de la théorie de la mesure pour comprendre comment ça marche , mais ça n'est pas bancal du tout . Les mathématiciens ont toujours trouvé des moyens pour contourner les paradoxes . D'ailleurs quant on regarde l'histoire des maths , on a toujours posé de nouvelles bases saines chaque fois que la théorie était ébranlée . Un peu comme Einstein avec la relativité .

Vasimolo

 #10 - 18-04-2020 09:55:10

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3734

Paradoxe du poinnt et du segment

Est ce que la notion d "'adhérence " a été un de ces outils pour parvenir à faire rentrer un segment dans l'ensemble des points ?

 #11 - 18-04-2020 11:16:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,233E+3

paradoxr du point et du segment

Non , on n'est pas dans le même cadre , l'adhérence c'est de la topologie . L'idée de base de la mesure c'est que celle de l'ensemble vide est 0 et que sous certaines conditions la mesure de la réunion de plusieurs ensembles disjoints est la somme des mesures des différents ensembles qui la composent . Dans la pratique c'est très délicat , on définit d'abord la mesure sur une tribu puis on étend à des ensembles plus complexes . Avec la mesure usuelle sur [latex]\mathbb{R}[/latex] , il me semble qu'on peut trouver des ensembles non mesurables ( je ne suis pas très sûr , j'ai arrêté mes études il y a plus de trente ans ) .

Vasimolo

 #12 - 18-04-2020 12:17:16

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 375

paradoxr du point et du segment

Oui, on peut trouver des ensembles non mesurables sur R. (Voir Espace de Vitali). La construction n'est pas si facile... Sinon, dans R^n n > 2, on peut prendre les morceaux du paradoxe de Banach Tarski

 

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