rivas a écrit:

Je ne vois rien de choquant dans cette phrase. Tout un plus elle manque un peu de clarté.
Quelle partie te rend-elle sceptique plus particulièrement?

J'étais en fait + "choqué" par la fin de la phrase : le nombre n'est pas décimal car ne comportant que des 1 et 2 dans ses décimales. C'est à mon avis faux, et je ne vois pas ce que ça apporte que x ne soit pas décimal.

Par ailleurs, il me semble que la phrase dit que la démo reste valable même si on accepte les écritures impropres, et j'ai tendance à être d'accord avec cela : on remplace les 1 par un 2, et les autres par un 1, donc on n'a jamais une infinité de 0 ou de 9, non ?

Et pour nogdim, pour montrer que les rationnels ne sont pas dénombrables, il faut montrer que pour TOUTES les familles dénombrables de rationnels, il existe un x rationnel n'étant pas dans cette famille (j'ai l'impression que j'ai déjà écrit ça )

nodgim a écrit:

rivas a écrit:

Elle dépend par exemple de la "base" dans laquelle on écrit les nombres. Elle ne marcherait pas si on considérait les nombres écrits en base 2. Amusant non? C'est fou ce que les choses vont plus loin que ce qu'on imagine au premier abord...

C'est tout de même étrange ce que tu dis là. S'il change le 1 en 0 et le 0 en 1, ça ne marche pas ? Peut être pour un cas particulier ?

Disons qu'en base 2, il faudrait prendre des précautions particulières pour éviter que le nombre contre-exemple que l'on construit se "termine" uniquement par une infinité de 1. Car dans ce cas il serait l'écriture impropre d'un nombre déjà dans la liste et non pas un autre nombre que ceux dans la liste.
C'est faisable car on peut toujours trouver un nombre qui aura un 1 plus loin que le nombre de chiffres que l'on a déjà écrit dans notre construction du contre exemple ([latex]2^{-n}[/latex] par exemple) et que donc on va prendre des 0 de temps en temps "jusqu'à l'infini" et que donc il ne se termine pas par une infinité de 1. Mais il faut utiliser ces arguments supplémentaires (de façon rigoureuse). Sans celui-ci la démo à un "manque".
A partir de la base 3, on peut toujours trouver 2 chiffres différents et différents de b-1 pour éviter les écritures impropres.

L00ping007 a écrit:

Et pour nogdim, pour montrer que les rationnels ne sont pas dénombrables, il faut montrer que pour TOUTES les familles dénombrables de rationnels, il existe un x rationnel n'étant pas dans cette famille (j'ai l'impression que j'ai déjà écrit ça )

Qu'entends tu par "famille dénombrable" ? Peux tu en donner un exemple ?
Cette expression relève t elle d'une théorie connue ?

oui N1 est le premier nombre de la liste et N2 le second nombre, 1 et 2 sont leurs rangs et n'ont rien à voir avec la valeur du nombre attribué.
Il n'y a aucune raison pour que tu sois perdu, tu as donné ta réponse, elle est nette. J'en attends d'autres. Tu remarqueras tout de même que je n'ai pas abordé la question du dénombrable.

Je ne sais pas répondre, ça fait si longtemps que j'ai oublié ce vocabulaire de relation d'ordre.
Sinon, j'ai une autre question très intéressante, à laquelle je n'ai pas de réponse pour l'instant, et qui me fait douter sur plein de certitudes.

Si on dispose à volonté de tous les nombres entiers, quelle valeur moyenne aura un nombre qu'on peut tirer au hasard ? C'est une question plutôt hypnotique pour moi...
Si les participants qui se sont déja manifestés ici pouvaient donner leur avis, ou leur réponse s'ils la connaissent, je serais très heureux qu'ils interviennent.

rivas a écrit:

Je classe d'abord tous les multiples de 3 dans leur ordre croissant pour la relation <= usuelle, puis après tous les multiples de 3 je classe les (mutiples de 3)+1 puis ensuite les (multiples de 3)+2.
Cette relation d'ordre pose-t-elle problème?

Pour moi, oui, ça me pose un problème, d'aller remettre des nombres après un infini, en l'occurrence ici l'infini des multiples de 3, ça ne me convient pas.

Quelque que soit n, la probabilité de tirer un nombre à n chiffres vaut 0.
Ce n'est pas parce qu'un événement à une probabilité 0 de se produire qu'il ne se produira pas.
En l'occurence, c'est bien un événement de probabilité 0 qui va se produire.

Pour la relation d'ordre,  c'est en effet intrigant mais c'est simplement lié à une mauvaise représentation des entiers et de l'infini que l'on se fait.
Imaginons par exemple que l'on place les entiers sur un triangle équilatéral de côté 1.
Sur un des côtés, les multiples de 3, sur un 2eme les (multiples de 3)+1 et sur le troisième les (multiples de 3)+2.
Et que pour chacun d'entre eux on le place à une distance de 1/q(n) du sommet que l'on utilise comme origine. Il n'y a alors moins de difficulté à placer des entiers "après" une infinité d'entiers...
On peut aussi les placer sur un segment de longueur 3 coupé en 3 et dans ce cas ils sont même rangés dans l'ordre que j'évoque (en partant du 1/3 de droite pour ceux dont r(n)=0).

rivas a écrit:

Quelque que soit n, la probabilité de tirer un nombre à n chiffres vaut 0.
Ce n'est pas parce qu'un événement à une probabilité 0 de se produire qu'il ne se produira pas.
En l'occurence, c'est bien un événement de probabilité 0 qui va se produire.

Tiens! je m'attendais à plus de réaction.
J'ai dit qu'un nombre à écriture illimitée faisait partie des entiers naturels, j'ose à peine le répéter, tant ça m'intrigue.

Je faisais référence à, précisément, ce que je ne connais pas, donc ne pas aller chercher plus loin.

Donc aucun nombre entier ne s'écrit avec un nombre illimité de chiffres. Alors, je reviens à la question de départ, en prenant un nombre entier quelconque dans N, quelle serait sa taille moyenne ? plus précisément, quelle taille du nombre a la plus forte proba de sortir ?

C'est bizarre ce que tu as dit.
Considère l'ensemble des nombres jusqu'à 99999. Il y a 90000 nb à 5 chiffres, 9000 nb à 4 chiffres, 900 nb à 3 chiffres, 90 nb à 2 chiffres et 9 nb (mettons qu'on ôte le 0) à 1 chiffre.
Il me semble donc que, si l'on tire un nb au hasard, on a bien plus de chance de tomber sur un nb à 5 chiffres que sur un nb à 1 chiffre, non ?

Je comprends très bien ce que tu as écrit. Maintenant, il faut bien qu'il y ait un nombre qui sorte, il n'est pas possible qu'en choisissant un nombre dans les entiers, il n'en sorte aucun !
C'est un drôle de paradoxe, je le vois bien.

En faite tu poses une question que l'on peut ramener à une idée on ne peut plus simple.
Si tu considères des objets à la place des nombres, s'il y en a une infinité, c'est comme les nombres tu ne t'occupes pas de savoir leurs couleurs, leurs tailles, leurs aspects... Ils ont tous une équiprobabilité de sortir, 0 dans ce cas puisque le nombre d'objet est infini.
Et bien les nombres c'est pareil sauf que tu ne t'occupes pas de leur taille, ou de savoir s'ils sont premiers, ou encore parfaits.

Shadock