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 #51 - 04-04-2012 18:12:37

nodgim
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Diagonale de Canto

rivas a écrit:

Elle dépend par exemple de la "base" dans laquelle on écrit les nombres. Elle ne marcherait pas si on considérait les nombres écrits en base 2. Amusant non? C'est fou ce que les choses vont plus loin que ce qu'on imagine au premier abord...
smile

C'est tout de même étrange ce que tu dis là. S'il change le 1 en 0 et le 0 en 1, ça ne marche pas ? Peut être pour un cas particulier ?

#0 Pub

 #52 - 04-04-2012 19:43:53

L00ping007
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doagonale de cantor

rivas a écrit:

Je ne vois rien de choquant dans cette phrase. Tout un plus elle manque un peu de clarté.
Quelle partie te rend-elle sceptique plus particulièrement?

J'étais en fait + "choqué" par la fin de la phrase : le nombre n'est pas décimal car ne comportant que des 1 et 2 dans ses décimales. C'est à mon avis faux, et je ne vois pas ce que ça apporte que x ne soit pas décimal.

Par ailleurs, il me semble que la phrase dit que la démo reste valable même si on accepte les écritures impropres, et j'ai tendance à être d'accord avec cela : on remplace les 1 par un 2, et les autres par un 1, donc on n'a jamais une infinité de 0 ou de 9, non ?

Et pour nogdim, pour montrer que les rationnels ne sont pas dénombrables, il faut montrer que pour TOUTES les familles dénombrables de rationnels, il existe un x rationnel n'étant pas dans cette famille (j'ai l'impression que j'ai déjà écrit ça roll)

 #53 - 04-04-2012 21:11:18

rivas
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Diagonale dde Cantor

@Looping: Nous sommes d'accord. Avec la limitation de ne choisir que des 1 et des 2, on évite de toute façon les écritures impropres (en base 10).

@nodgim: Sinon il y a aussi la quadrature du cercle et le mouvement perpétuel comme sujet intéressant smile

 #54 - 04-04-2012 21:15:54

rivas
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Diagoonale de Cantor

nodgim a écrit:

rivas a écrit:

Elle dépend par exemple de la "base" dans laquelle on écrit les nombres. Elle ne marcherait pas si on considérait les nombres écrits en base 2. Amusant non? C'est fou ce que les choses vont plus loin que ce qu'on imagine au premier abord...
smile

C'est tout de même étrange ce que tu dis là. S'il change le 1 en 0 et le 0 en 1, ça ne marche pas ? Peut être pour un cas particulier ?

Disons qu'en base 2, il faudrait prendre des précautions particulières pour éviter que le nombre contre-exemple que l'on construit se "termine" uniquement par une infinité de 1. Car dans ce cas il serait l'écriture impropre d'un nombre déjà dans la liste et non pas un autre nombre que ceux dans la liste.
C'est faisable car on peut toujours trouver un nombre qui aura un 1 plus loin que le nombre de chiffres que l'on a déjà écrit dans notre construction du contre exemple ([latex]2^{-n}[/latex] par exemple) et que donc on va prendre des 0 de temps en temps "jusqu'à l'infini" et que donc il ne se termine pas par une infinité de 1. Mais il faut utiliser ces arguments supplémentaires (de façon rigoureuse). Sans celui-ci la démo à un "manque".
A partir de la base 3, on peut toujours trouver 2 chiffres différents et différents de b-1 pour éviter les écritures impropres.

 #55 - 05-04-2012 18:31:47

nodgim
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Diagnale de Cantor

D'accord Rivas.
Pour la quadrature du cercle: je crois sur parole les matheux, la preuve de l'impossibilité ayant été établie, mais hors de portée pour moi.
Pour le mouvement perpétuel: le principe de la conservation de l'énergie règle le problème une fois pour toutes.

Revenons sur Cantor. Je pose cette fois une question qui utilise un procédé équivalent.
Soit l'ensemble N, dont on fait la liste dans n'importe quel ordre.
On créé un nombre nouveau NN de cette manière: On prend le 1er nombre N1 et on dit NN=N1+1
On regarde le second nombre N2 et on pose:
NN=max (N2+1;NN)
On procède ainsi pour tous les nombres.
Question: NN appartient il à l'ensemble N ?

 #56 - 05-04-2012 19:08:54

nodgim
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Diagonale de Cantr

L00ping007 a écrit:

Et pour nogdim, pour montrer que les rationnels ne sont pas dénombrables, il faut montrer que pour TOUTES les familles dénombrables de rationnels, il existe un x rationnel n'étant pas dans cette famille (j'ai l'impression que j'ai déjà écrit ça roll)

Qu'entends tu par "famille dénombrable" ? Peux tu en donner un exemple ?
Cette expression relève t elle d'une théorie connue ?

 #57 - 05-04-2012 19:27:52

rivas
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Diagonae de Cantor

@nodgim, je ne comprends pas ton processus de construction. Tu ne dis pas ce que sont N1 et N2. Sont-ce les premiers nombres de la liste finissant respectivement par 1 et par 2?
De toute façon dans N il y a tous les entiers et si NN est un entier il y est.

La je suis vraiment perdu dans ton raisonnement...

Une famille dénombrable est un ensemble dénombrable, donc infini et pour lequel on peut construire une bijection avec N.

 #58 - 05-04-2012 19:44:03

nodgim
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diagonalr de cantor

oui N1 est le premier nombre de la liste et N2 le second nombre, 1 et 2 sont leurs rangs et n'ont rien à voir avec la valeur du nombre attribué.
Il n'y a aucune raison pour que tu sois perdu, tu as donné ta réponse, elle est nette. J'en attends d'autres. Tu remarqueras tout de même que je n'ai pas abordé la question du dénombrable.

 #59 - 05-04-2012 22:59:40

rivas
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Diagonal ede Cantor

Je définis la relation d'ordre suivante sur N (je classe N dans cet ordre):

Je classe d'abord tous les multiples de 3 dans leur ordre croissant pour la relation <= usuelle, puis après tous les multiples de 3 je classe les (mutiples de 3)+1 puis ensuite les (multiples de 3)+2.
En gros je classe N de la façon suivante:
0 3 6 .... 30000 ... 1 4 7 ... 3000001 ... 2 5 8 ...

De façon un peu plus formelle:
Je note r(n) le reste de la division euclienne de n par 3 et q(n) le quotient de cette même division.
Je note * cette nouvelle relation d'ordre (< et = ci-dessous restent les relations habituelles).

Pour tout n et m de N:
Si r(n) < r(m) alors n * m.
Si r(n) = r(m) alors si q(n) <= q(m) alors n * m.

Question mathématique: Est-ce bien une relation d'ordre? (on vérifiera qu'elle est reflexive, transitive et antisymétrique).

Questions "philosophiques" smile :
Cette relation d'ordre pose-t-elle problème?
Quel est le rang de 1 dans cet ordre ?

 #60 - 06-04-2012 18:25:18

nodgim
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Diagonale de Canto

Je ne sais pas répondre, ça fait si longtemps que j'ai oublié ce vocabulaire de relation d'ordre.
Sinon, j'ai une autre question très intéressante, à laquelle je n'ai pas de réponse pour l'instant, et qui me fait douter sur plein de certitudes.

Si on dispose à volonté de tous les nombres entiers, quelle valeur moyenne aura un nombre qu'on peut tirer au hasard ? C'est une question plutôt hypnotique pour moi...
Si les participants qui se sont déja manifestés ici pouvaient donner leur avis, ou leur réponse s'ils la connaissent, je serais très heureux qu'ils interviennent.

 #61 - 07-04-2012 01:15:19

SHTF47
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Diagonale de Cantr

Partie entière de (l'infini divisé par deux) cool


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #62 - 07-04-2012 10:49:21

nodgim
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diagonale de cantot

rivas a écrit:

Je classe d'abord tous les multiples de 3 dans leur ordre croissant pour la relation <= usuelle, puis après tous les multiples de 3 je classe les (mutiples de 3)+1 puis ensuite les (multiples de 3)+2.
Cette relation d'ordre pose-t-elle problème?

Pour moi, oui, ça me pose un problème, d'aller remettre des nombres après un infini, en l'occurrence ici l'infini des multiples de 3, ça ne me convient pas.

 #63 - 07-04-2012 11:10:18

nodgim
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diagonale de cabtor

SHTF47 a écrit:

Partie entière de (l'infini divisé par deux) cool

Donc un infini (partie entière ici n'a plus vraiment de sens, non plus que la moitié de l'infini).

Mon raisonnement est le suivant:
j'ai très peu de chance de tirer un petit nombre, car ils sont peu représentés par rapport aux grands nombres: si j'ai 10 nombres à 1 chiffre, j'ai 9000 nombres à 4 chiffres. Donc la proba de sortir un nb à 1 chiffre, dans l'ensemble des nombres limités à 4 chiffres est de 10/9999. Alors que pour les nombres à 4 chiffres, la proba de sortie est de 9000/9999.
Pour un ensemble de nombres à n chiffres max, la proba de tirer un nombre à n chiffres est de 9*10^n/(10^(n+1)-1) soit environ 9/10. Et pour les nombres à n-1 chiffres, déja nettement moins: 9/100.

Mais, pour l'ensemble N complet, n'importe quel nombre à n chiffres, n fini, sera sous représenté: il suffit par exemple de comparer n avec n+20: les nombres à n chiffres sont dans un rapport de 10^-20 par rapport aux nombres à n+20 chiffres, donc pratiquement inexistants.
On est alors amené à conclure que le nombre qui sera choisi aura un nombre de chiffres infini. Car un nombre fini est infiniment moins représenté que les nombres à écriture infinie. On est donc amené à conclure que N contient ces nombres. Je n'ose guère aller plus loin, tant c'est curieux....

 #64 - 07-04-2012 16:01:29

rivas
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siagonale de cantor

Quelque que soit n, la probabilité de tirer un nombre à n chiffres vaut 0.
Ce n'est pas parce qu'un événement à une probabilité 0 de se produire qu'il ne se produira pas.
En l'occurence, c'est bien un événement de probabilité 0 qui va se produire.

Pour la relation d'ordre,  c'est en effet intrigant mais c'est simplement lié à une mauvaise représentation des entiers et de l'infini que l'on se fait.
Imaginons par exemple que l'on place les entiers sur un triangle équilatéral de côté 1.
Sur un des côtés, les multiples de 3, sur un 2eme les (multiples de 3)+1 et sur le troisième les (multiples de 3)+2.
Et que pour chacun d'entre eux on le place à une distance de 1/q(n) du sommet que l'on utilise comme origine. Il n'y a alors moins de difficulté à placer des entiers "après" une infinité d'entiers...
On peut aussi les placer sur un segment de longueur 3 coupé en 3 et dans ce cas ils sont même rangés dans l'ordre que j'évoque (en partant du 1/3 de droite pour ceux dont r(n)=0).

 #65 - 07-04-2012 16:22:37

nodgim
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diaginale de cantor

Moi je croyais par exemple qu'un nombre comme "10...00 à l'infini..001" n'existait pas. Donc j'en déduisais qu'on ne pouvait rien placer après un infini. En revanche, rien n'interdit de faire 3 groupes. Bon, maintenant, il y a sans doute la théorie des groupes qui justifie ce que tu avances. Mais ça me dépasse.

 #66 - 07-04-2012 16:25:32

nodgim
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diagonale fe cantor

rivas a écrit:

Quelque que soit n, la probabilité de tirer un nombre à n chiffres vaut 0.
Ce n'est pas parce qu'un événement à une probabilité 0 de se produire qu'il ne se produira pas.
En l'occurence, c'est bien un événement de probabilité 0 qui va se produire.

Tiens! je m'attendais à plus de réaction.
J'ai dit qu'un nombre à écriture illimitée faisait partie des entiers naturels, j'ose à peine le répéter, tant ça m'intrigue.

 #67 - 07-04-2012 17:03:04

rivas
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diagonale fe cantor

Aucun nombre n'a un nombre infini de chiffres bien évidemment...

Je ne dis rien de spécial qui ait besoin de la théorie des groupes pour être justifié. A quoi fais-tu réference?

 #68 - 07-04-2012 17:31:43

nodgim
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DDiagonale de Cantor

Je faisais référence à, précisément, ce que je ne connais pas, donc ne pas aller chercher plus loin.

Donc aucun nombre entier ne s'écrit avec un nombre illimité de chiffres. Alors, je reviens à la question de départ, en prenant un nombre entier quelconque dans N, quelle serait sa taille moyenne ? plus précisément, quelle taille du nombre a la plus forte proba de sortir ?

 #69 - 07-04-2012 21:00:07

rivas
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Diagonalee de Cantor

Aucune taille n'a plus de chance qu'une autre de sortir.

Toutes le tailles ont exactement la même probabilitéde sortir: 0.
Et ce même si effectivement certaines tailles concernent plus de nombres.
Chaque taille concerne un nombre fini de possibilités et le nombre de nombres est lui infini.
La probabilité est donc 0.

C'est ce que je disais ci-dessus: voici un bon exemple pour lequel un événement de probabilité nulle va forcément se produire.

 #70 - 08-04-2012 08:24:05

nodgim
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Diaonale de Cantor

C'est bizarre ce que tu as dit.
Considère l'ensemble des nombres jusqu'à 99999. Il y a 90000 nb à 5 chiffres, 9000 nb à 4 chiffres, 900 nb à 3 chiffres, 90 nb à 2 chiffres et 9 nb (mettons qu'on ôte le 0) à 1 chiffre.
Il me semble donc que, si l'on tire un nb au hasard, on a bien plus de chance de tomber sur un nb à 5 chiffres que sur un nb à 1 chiffre, non ?

 #71 - 08-04-2012 10:15:41

rivas
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Diagonal ede Cantor

Si on limite le nombre de chiffres, ce que tu dis est correct.
Et c'est bien le cas en pratique.
Mais si on considère les nombres de N en entier, alors la probabilité est la même pour 1, 2, 3, 4 ou 5 chiffres: 0%.
Tu te laisses influencer, il me semble, par le l'aspect physique ou pratique de la situation.
La vision mathématique de la chose, elle est très claire.
Et c'est bien une des difficultés des mathématiques: la capacité d'abstraction nécessaire pour ne pas laisser ses sens nous enfermer dans une vision trop réduite à l'aspect pratique ou physique: par exemple, pour les raisonnement sur l'infini ou sur des objets en dimension supérieure à 3 ou non entière...

 #72 - 08-04-2012 11:28:45

nodgim
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Diagonale de antor

Je comprends très bien ce que tu as écrit. Maintenant, il faut bien qu'il y ait un nombre qui sorte, il n'est pas possible qu'en choisissant un nombre dans les entiers, il n'en sorte aucun !
C'est un drôle de paradoxe, je le vois bien.

 #73 - 08-04-2012 18:52:20

nodgim
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Diagonale de Caantor

Pour être plus précis: il faut qu'il sorte quelque chose du tirage, ça ne peut pas être le néant. Car si pour tout groupe d'entiers, quel que soit son nombre de chiffres, la proba de sortie est nulle, et je suis d'accord la dessus, il n'en reste pas moins qu'il faut bien trouver où est passé le 1 restant....

 #74 - 08-04-2012 21:56:42

shadock
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Diagonale de Caantor

En faite tu poses une question que l'on peut ramener à une idée on ne peut plus simple.
Si tu considères des objets à la place des nombres, s'il y en a une infinité, c'est comme les nombres tu ne t'occupes pas de savoir leurs couleurs, leurs tailles, leurs aspects... Ils ont tous une équiprobabilité de sortir, 0 dans ce cas puisque le nombre d'objet est infini. smile
Et bien les nombres c'est pareil sauf que tu ne t'occupes pas de leur taille, ou de savoir s'ils sont premiers, ou encore parfaits.

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #75 - 10-04-2012 11:48:55

rivas
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Diagonle de Cantor

nodgim a écrit:

il n'en reste pas moins qu'il faut bien trouver où est passé le 1 restant....

Il est réparti dans l'infinité de 0 tous nuls mais chacun un peu plus gros que le précédent. Je sais cela va encore poser des questions mais c'est comme ça smile C'est un exemple de [latex]\infty . 0 = 1[/latex] ou plutôt de [latex]\sum_{1}^{\infty}0=1[/latex]

ATTENTION: Comme le fais remarquer Mathias plus bas, ces écritures sont des hérésies, que j'emploie ici dans le seul but de bien mettre en évidence ces hérésies justement...

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