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 #1 - 15-10-2010 18:26:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

année diagonake

Bonjour, petite énigme pas trop difficile pour tout le monde (et pour le week-end).

Pour donner suite à une autre énigme sur les diagonales d'un polygone, on appelle nombre diagonal un nombre pour lequel il existe un polygone convexe dont c'est le nombre de diagonales, comme par exemple 2 (carré), 5 (pentagone), ...

Quelle est la prochaine année dont le millésime est un nombre diagonal? Et la suivante?

La case réponse valide la concaténation des 2 réponses: X-Y.

Amusez-vous bien.



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 #2 - 15-10-2010 19:04:53

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

année duagonale

2015 et 2079! big_smile

ps: pour trouver le nombre de diagonale d'un polygone a N côtés
(N*(N-3))/2
suffit d'essayer des chiffres, comme a la bataille navale, et on trouve!


Un promath- actif dans un forum actif

 #3 - 15-10-2010 19:11:26

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2209

année diagonake

20152079

 #4 - 15-10-2010 20:57:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Année diagonalle

C'est à cette énigme que tu fais référence, non ? smile

Reprenons là où on en était, donc : il y a [latex]\frac{N(N-3)}{2}[/latex] diagonales dans un polygone à [latex]N[/latex] sommets. On veut donc trouver le plus petit N tel que ce nombre soit supérieur à 2010. Nous allons résoudre :
[TeX]\frac{N(N-3)}{2} = 2010 \Leftrightarrow N^2 - 3N -4020 = 0[/TeX]
Bienvenue en Terminale S (ou C pour les vieux de la vieille lol)
[TeX]\Delta = 9 + 4 \times 4020 = 16089[/TeX]
La seule solution positive est [latex]N_0 = \frac{\sqrt{16089}+3}{2} \approx 64,92[/latex].

On va donc prendre 65 et 66 comme valeurs de N, et on trouve 2015 et 2079.


PS : désolé, je n'ai pas les super-pouvoirs de super-modo, il faut attendre qu'un EfCeBa débarque dans le coin smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 15-10-2010 22:48:28

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Année digaonale

Le millésime [latex]2010+k[/latex] sera diagonal si il existe un entier n tel que
[TeX]n(n-3)/2=2010+k[/latex].
n sera alors de la forme:
[latex]n=\left[3+\sqrt{9+8(2010+k)}\right]/2[/TeX]
n étant entier, il faut que le terme entre crochets soit pair, donc de la forme [latex]2p[/latex] avec [latex]p\in\mathbb N[/latex].
Ceci conduit à ce que k soit de la forme:
[TeX]k=\frac 1 2 p(p-3)-2010[/TeX]
L'étude de ce polynôme en p montre qu'il devient positif lorsque
[TeX]p\ge65[/TeX]
Les prochains millésimes diagonaux seront donc
[TeX]2010+k(p=65)=2015
2010+k(p=66)=2079[/TeX]

 #6 - 15-10-2010 23:26:41

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

année fiagonale

La question fait suite à cette énigme
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=7394

pour laquelle une intéressante relation fut établie:

avec d, le nombre de diagonales, c le nb de cotes,
d=c(c-3)/2   ;  le nombre de diagonales distinctes wink

la prochaine année diagonale est donc 2015 (65 sommets) puis 2079 avec 66 sommets.

on peut noter [latex]d_{c+1}=d_c +(c-1)[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 16-10-2010 20:02:09

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Année diaggonale

n(n-3)/2 vaudra 2015 pour n=65 et 2079 pour n=66.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #8 - 16-10-2010 21:51:11

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Année idagonale

Bonne réponse de tous pour le moment. Félicitations.

 #9 - 17-10-2010 15:54:16

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Année diagonle

Le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets (n>2) est
[TeX]D_n=\frac{n(n-3)}2[/TeX]
* C'est vrai pour n=3 : le triangle n'aucune (D_3=0) diagonale.
* On suppose que la formule est vrai au rang n. On considère un polygone convexe à n+1 sommets, étiquettés (dans le sens direct) [latex]A_0,...,A_n[/latex]. Par hypothèse, le polygone [latex]A_1,...,A_n[/latex] compte [latex]D_{n}=\frac{n(n-3)}2[/latex] diagonales. Ces diagonales sont aussi celles de [latex]A_0,...,A_n[/latex] auxquelles il convient d'ajouter les n-2 segments [latex][A_0A2],...,[A_0A_{n-1}][/latex] ainsi que la diagonale [latex][A_1A_n][/latex] non comptée car les extrémités sont consécutives dans [latex]A_1,...,A_n[/latex] mais pas dans [latex]A_0,...,A_n[/latex].
Au final :
[TeX]D_{n+1}=D_n+1+n-2=\frac{n(n-3)+2n-2}2=\frac{n(n-2)+n-2}2=\frac{(n+1)(n-2)}2[/TeX]
Ce qui prouve par récurrence l'expression de [latex]D_n[/latex].

La suite [latex]D_n[/latex] est strictement décroissante  (il suffit d'étudier le trinôme associé et se souvenir que n>2)

Comme [latex]D_{64}=1952,~D_{65}=2015,~D_{66}=2079,~[/latex],

La bonne réponse est [latex]\fbox{2015-2079}[/latex]

 #10 - 18-10-2010 10:58:58

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Annéee diagonale

Considérons un polygone à N sommets. Pour chaque sommet, on peut tracer une diagonale vers N-3 autres sommets (on ne compte pas en effet le sommet lui-même ni ses deux voisins, avec lesquels on ne peut pas tracer de diagonale). Ce qui nous donne un total de n(n-3)/2 diagonales (chaque diagonale étant comptée 2 fois).
Posons n(n-3)/2 = 2010+p
On peut calculer le déterminant: 16089 +8p
La question devient alors: quelles sont les plus petites valeurs de p qui donnent un déterminant carré.
La première réponse est p=5, le déterminant vaut alors 127² et le polygone comporte 65 sommets (an 2015)
La seconde valeur possible est 9=69, le déterminant vaut alors 129² et le polygone comporte 66 sommets (an 2079)

On considère 2 nombres impairs successifs 2p-1 et 2p+1. La différence entre leur deux carrés est 8p, soit toujours un multiple de 8. On trouvera donc une valeur qui marche pour des déterminants valant 131² (p=134), 133² (p=200), ...
On peut aussi remarquer que l'écart entre 2 années augmente de 1 à chaque fois (2079-2015 = 64, 2144 - 2079 = 65, 2210 - 2144 = 66, 2277 -2210 = 67, ...)

 #11 - 18-10-2010 16:02:37

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

Année diagonal

2015 diagonales pour un polygone à 65 côtés, puis 2079 diagonales dans un polygone à 66 côtés.


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #12 - 18-10-2010 18:47:00

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Annéee diagonale

Bonne réponse de tout le monde.
Avec de belles démonstrations en prime, il n'y a donc pas grand chose à ajouter.

Une petite chose quand même. On cherche n le plus petit possible tel que n(n-3) >= 4020.
Résoudre n(n-3)=4020 et prendre l'entier supérieur est le plus fiable mais pas forcément le plus simple. C'est aussi ma méthode mais pour des plus jeunes on peut faire un peu différemment:
n^2 > n(n-3). Donc si on trouve le plus grand n tel que n^2 soit <= 4020 on sait que n(n-3) sera aussi plus petit et ca donne un point de départ pour essayer manuellement un petit nombre de solutions.

sqrt(4020) ~ 63.4. Il suffit donc de commencer à chercher à partir de 64.
Pour 64 on trouve 1952 et pour 65 on trouve 2015.

J'espère que vous avez apprécié cette petite récréation.

 

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