2015 et 2079!

ps: pour trouver le nombre de diagonale d'un polygone a N côtés
(N*(N-3))/2
suffit d'essayer des chiffres, comme a la bataille navale, et on trouve!

C'est à cette énigme que tu fais référence, non ?

Reprenons là où on en était, donc : il y a [latex]\frac{N(N-3)}{2}[/latex] diagonales dans un polygone à [latex]N[/latex] sommets. On veut donc trouver le plus petit N tel que ce nombre soit supérieur à 2010. Nous allons résoudre :
[TeX]\frac{N(N-3)}{2} = 2010 \Leftrightarrow N^2 - 3N -4020 = 0[/TeX]
Bienvenue en Terminale S (ou C pour les vieux de la vieille )
[TeX]\Delta = 9 + 4 \times 4020 = 16089[/TeX]
La seule solution positive est [latex]N_0 = \frac{\sqrt{16089}+3}{2} \approx 64,92[/latex].

On va donc prendre 65 et 66 comme valeurs de N, et on trouve 2015 et 2079.


PS : désolé, je n'ai pas les super-pouvoirs de super-modo, il faut attendre qu'un EfCeBa débarque dans le coin

La question fait suite à cette énigme
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=7394

pour laquelle une intéressante relation fut établie:

avec d, le nombre de diagonales, c le nb de cotes,
d=c(c-3)/2   ;  le nombre de diagonales distinctes

la prochaine année diagonale est donc 2015 (65 sommets) puis 2079 avec 66 sommets.

on peut noter [latex]d_{c+1}=d_c +(c-1)[/latex]

Bonne réponse de tous pour le moment. Félicitations.

Considérons un polygone à N sommets. Pour chaque sommet, on peut tracer une diagonale vers N-3 autres sommets (on ne compte pas en effet le sommet lui-même ni ses deux voisins, avec lesquels on ne peut pas tracer de diagonale). Ce qui nous donne un total de n(n-3)/2 diagonales (chaque diagonale étant comptée 2 fois).
Posons n(n-3)/2 = 2010+p
On peut calculer le déterminant: 16089 +8p
La question devient alors: quelles sont les plus petites valeurs de p qui donnent un déterminant carré.
La première réponse est p=5, le déterminant vaut alors 127² et le polygone comporte 65 sommets (an 2015)
La seconde valeur possible est 9=69, le déterminant vaut alors 129² et le polygone comporte 66 sommets (an 2079)

On considère 2 nombres impairs successifs 2p-1 et 2p+1. La différence entre leur deux carrés est 8p, soit toujours un multiple de 8. On trouvera donc une valeur qui marche pour des déterminants valant 131² (p=134), 133² (p=200), ...
On peut aussi remarquer que l'écart entre 2 années augmente de 1 à chaque fois (2079-2015 = 64, 2144 - 2079 = 65, 2210 - 2144 = 66, 2277 -2210 = 67, ...)

Bonne réponse de tout le monde.
Avec de belles démonstrations en prime, il n'y a donc pas grand chose à ajouter.

Une petite chose quand même. On cherche n le plus petit possible tel que n(n-3) >= 4020.
Résoudre n(n-3)=4020 et prendre l'entier supérieur est le plus fiable mais pas forcément le plus simple. C'est aussi ma méthode mais pour des plus jeunes on peut faire un peu différemment:
n^2 > n(n-3). Donc si on trouve le plus grand n tel que n^2 soit <= 4020 on sait que n(n-3) sera aussi plus petit et ca donne un point de départ pour essayer manuellement un petit nombre de solutions.

sqrt(4020) ~ 63.4. Il suffit donc de commencer à chercher à partir de 64.
Pour 64 on trouve 1952 et pour 65 on trouve 2015.

J'espère que vous avez apprécié cette petite récréation.