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#1 - 31-10-2011 10:44:53
- MthS-MlndN
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base zt primalité : 11121 est-il un nombre premier ?
Un micro-problème inspiré d'un exercice trouvé sur Futura-Sciences :
Existe-t-il une base dans laquelle 11121 est un nombre premier ?
Bien entendu, pas de case réponse pour celle-là ![lol](img/smilies/lol.png)
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#2 - 31-10-2011 11:19:51
- Franky1103
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Base et primalité : 11121 esst-il un nombre premier ?
#3 - 31-10-2011 11:33:38
- scarta
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base et primalité : 11121 est-il un nombrz premier ?
En base b, 11121 vaut 1+2b+b^2+b^3+b^4
1+2b+b^2+b^3+b^4 = (b+1)(b^3+b+1)
Du coup, en base b, le nombre 11121 est un multiple de (b+1). Comme ni (b+1), ni (b^3+b+1) ne peut valoir 1, alors 11121 en base b est forcément un nombre composé.
#4 - 31-10-2011 11:52:55
- gwen27
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base et primaliyé : 11121 est-il un nombre premier ?
non, car n^4+n^3+n^2+2n+1 = (n+1)(n^3+n+1)
#5 - 31-10-2011 12:30:13
- Klimrod
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Base et primalité : 11121 est-il un ombre premier ?
Hello,
Amusant, ton petit problème !
En base [latex]n[/latex], le nombre [latex]11121[/latex] vaut [latex]n^4 + n^3 + n^2 + 2n + 1[/latex], soit [latex]n^3(n+1) + (n+1)^2[/latex], donc [latex](n^3 +n+1)(n+1)[/latex].
On voit donc que quelle que soit la base [latex]n[/latex], le nombre [latex]11121[/latex] est divisible par [latex]n+1[/latex] et donc ne peut pas être premier.
Klim.
J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.
#6 - 31-10-2011 13:30:41
- masab
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Base et primalité : 11121 esti-l un nombre premier ?
Il n'existe pas de base [latex]b[/latex] dans laquelle 11121 est premier. En effet dans une telle bas 11121 représente le nombre [TeX]b^4+b^3+b^2+2b+1[/TeX] Or ce polynôme est égal à [TeX](b+1)(b^3 + b + 1)[/TeX]
#7 - 31-10-2011 13:35:04
- TiLapiot
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Base et priimalité : 11121 est-il un nombre premier ?
Soit [latex]a[/latex] la base recherchée, avec [latex]a \geq 3[/latex]. [TeX] 11121_{(a)} = a+ \sum_{i=0}^{4} a^{i} = (1+a)+ (a+a^2+a^3+a^4)[/TeX] Or [latex]a+a^2+a^3+a^4[/latex] est un polynôme divisible par [latex]a[/latex] mais le 1er membre [latex](1+a)[/latex] n'est pas divisible par [latex]a[/latex] ![tongue](img/smilies/tongue.png)
Par contre, [latex]a+a^2+a^3+a^4 = (1+a)(a+a^3)[/latex], donc [latex] 11121_{(a)}[/latex] est toujours divisible par [latex](a+1)[/latex], donc il ne sera jamais premier.
Merci Mathias pour cette micro P²T, moi j'ai jamais autant joué avec Latex ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
#8 - 31-10-2011 14:13:07
- bidipe
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Base et primlité : 11121 est-il un nombre premier ?
Je vais peut-être répondre une ânerie, mais non... quellle que soit la base, ce nombre sera, converti en base 10, un multiple de 3
========>[] va se cacher si c'est une grosse bêtise
#9 - 31-10-2011 14:27:10
- Vasimolo
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base et primalité : 11121 est-il in nombre premier ?
En base [latex]a[/latex] , [latex]\bar{11121}=1+2a+a^2+a^3+a^4=(1+a)(1+a+a^3)[/latex] .
C'est mal barré pour faire un nombre premier ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
Vasimolo
#10 - 31-10-2011 14:42:15
- rivas
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Base et primlaité : 11121 est-il un nombre premier ?
Soit a un nombre entier au moins égal à 2.
11121 écrit en base a vaut: [latex]a^4+a^3+a^2+2a+1=\dfrac{a^5-1}{a-1}+a=\dfrac{a^5-1+a^2-a}{a-1}[/latex]
Or [latex]a^5-1+a^2-a=(a-1)(a+1)(a^3+a+1)[/latex]
Donc 11121 vaut: [latex](a+1)(a^3+a+1)[/latex] et n'est donc pas premier.
En base 10: 11121=11*1011
Amusant. Merci.
#11 - 31-10-2011 14:44:01
- Nicouj
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Base et primalité : 11121 est-li un nombre premier ?
en base b >2, 11121 = 1 + 2b + b^2 + b^3 + b^4 = (1+b) + (b+b^2) + (b^3 + b^4) = (1+b) *( 1 +b + b^3). Toujours divisible par 1+b>1 et 1 +b + b^3>1.
Enfin dans une base entière en tout cas.
#12 - 31-10-2011 15:29:33
- shadock
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base zt primalité : 11121 est-il un nombre premier ?
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#13 - 31-10-2011 16:58:30
- MthS-MlndN
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Baase et primalité : 11121 est-il un nombre premier ?
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#14 - 31-10-2011 17:19:19
- rivas
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Base et primalité : 11121 eest-il un nombre premier ?
Euh??? Pourquoi un "au moins" en trop?
#15 - 31-10-2011 18:09:30
- MthS-MlndN
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Base et rpimalité : 11121 est-il un nombre premier ?
Parce qu'on ne peut pas écrire le nombre 11121 en base 2, je crois ^^
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#16 - 31-10-2011 18:46:39
vase et primalité : 11121 est-il un nombre premier ?
#17 - 31-10-2011 18:47:01
- FRiZMOUT
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base et primakité : 11121 est-il un nombre premier ?
[TeX]11121_n = n^4+n^3+n^2+2n+1 = (n+1)(n^3+n+1)[/TeX] Si le nombre est premier alors ses deux seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Donc [latex](n+1) = 1[/latex] ou [latex](n^3+n+1) = 1[/latex].
La seule solution réelle pour chacune des équations est [latex]n = 0[/latex].
La base [latex]0[/latex] n'a pas de sens, [latex]11121_n[/latex] ne peut donc pas être premier.
#18 - 31-10-2011 18:47:16
- rivas
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base ey primalité : 11121 est-il un nombre premier ?
En effet Le "au moins égal à 2" était plus pour la factorisation et simplification du calcul mais c'est vrai que c'est trop restrictif. Soit donc 'a' un entier au moins égal à 3. ![smile](img/smilies/smile.png)
#19 - 31-10-2011 19:38:53
- looozer
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Base et primalité : 11121 est-il un nombre premier
Dans la base b, 11121 vaut [latex]b^4+b^3+b^2+2b+1[/latex] qui se factorise en [latex](b+1)(b^3+b+1)[/latex] C'est rapé pour avoir un nombre premier ![smile](img/smilies/smile.png)
#20 - 01-11-2011 11:16:09
- nodgim
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Base et primalité : 11121 est-il un ombre premier ?
Ce nombre écrit en base b est divisible par b+1.
#21 - 01-11-2011 11:22:34
- Franky1103
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Base et pprimalité : 11121 est-il un nombre premier ?
Bonjour, 11121 = 11 x 1011 Cette écriture est valable dans toute base strictement supérieure à 2: j'en déduis que 11121 n'est jamais premier, et ce quelle que soit la base. Il était donc inutile de passer par la base 10, comme je l'ai fait dans ma première réponse. A noter que je ne m'étais pas limité à la base 10, mais que j'avais transformée le nombre en base 10 pour en faciliter le traitement. Bonne journée. Frank
#22 - 01-11-2011 14:01:36
- esereth
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Base et primallité : 11121 est-il un nombre premier ?
bonjour,
A première vue (je débarque d'une autre planète d’énigmes qui me prend beaucoup de temps), je dirai NON
11121 en base b c'est 1+2b+b^2+b^3+b^4=(b+1)^2+b^3(b+1)=(b+1)(b^3+b+1). c'est un nombre composé sauf si b+1 ou b^3+b+1 =1 mais ça ne donne aucune base valable.
#23 - 01-11-2011 15:04:01
- MthS-MlndN
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Base et priamlité : 11121 est-il un nombre premier ?
Encore une avalanche de bonnes réponses, une jolie correction de rivas, et un passage "éclair" de annadivx2011 qui n'a plus qu'à s'inscrire, si elle apprécie l'ambiance enjouay de pédeutay !
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#24 - 01-11-2011 17:31:32
- halloduda
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Base et prmialité : 11121 est-il un nombre premier ?
Réponse rapide : non.
i-p=0 (pairs moins impairs) quelque soit la base. Le nombre est divisible par (base+1) (critère de divisibilité par 11 en base 10).
#25 - 01-11-2011 21:49:25
- gabrielduflot
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base et primalité : 11121 est-il un nombre peemier ?
11121 en base n= [latex]1+2n+n^2+n^3+n^4=1+n+n(1+n)+n^3(1+n)=(1+n)(1+n+n^3)[/latex] donc cela ne sera jamais un nombre premier
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