En base b, 11121 vaut 1+2b+b^2+b^3+b^4

1+2b+b^2+b^3+b^4 = (b+1)(b^3+b+1)

Du coup, en base b, le nombre 11121 est un multiple de (b+1).
Comme ni (b+1), ni (b^3+b+1) ne peut valoir 1, alors 11121 en base b est forcément un nombre composé.

Hello,

Amusant, ton petit problème !

En base [latex]n[/latex], le nombre [latex]11121[/latex] vaut [latex]n^4 + n^3 + n^2 + 2n + 1[/latex],
soit [latex]n^3(n+1) + (n+1)^2[/latex], donc [latex](n^3 +n+1)(n+1)[/latex].

On voit donc que quelle que soit la base [latex]n[/latex], le nombre [latex]11121[/latex] est divisible par [latex]n+1[/latex] et donc ne peut pas être premier.

Klim.

Soit [latex]a[/latex] la base recherchée, avec [latex]a \geq 3[/latex].
[TeX] 11121_{(a)} = a+ \sum_{i=0}^{4} a^{i} = (1+a)+ (a+a^2+a^3+a^4)[/TeX]
Or [latex]a+a^2+a^3+a^4[/latex] est un polynôme divisible par [latex]a[/latex]
mais le 1er membre [latex](1+a)[/latex] n'est pas divisible par [latex]a[/latex]

Par contre, [latex]a+a^2+a^3+a^4 = (1+a)(a+a^3)[/latex], donc
[latex] 11121_{(a)}[/latex] est toujours divisible par [latex](a+1)[/latex], donc il ne sera jamais premier.

Merci Mathias pour cette micro P²T, moi j'ai jamais autant joué avec Latex

En base [latex]a[/latex] ,  [latex]\bar{11121}=1+2a+a^2+a^3+a^4=(1+a)(1+a+a^3)[/latex] .

C'est mal barré pour faire un nombre premier

Vasimolo

en base b >2, 11121 = 1 + 2b + b^2 + b^3 + b^4 = (1+b) + (b+b^2) + (b^3 + b^4) = (1+b) *( 1 +b + b^3).
Toujours divisible par 1+b>1 et 1 +b + b^3>1.

Enfin dans une base entière en tout cas.

@bidipe : en base 3, 11121 n'est pas un multiple de 3... sinon il finirait par un zéro.
@shadock : laconique

Revenez à la définition même de ce qu'est une base. Ca peut vous aider

@franky : pourquoi te limites-tu à la base dix, alors que tout ce que tu écris ensuite est valable pour toute base entière a ? Le calcul est juste, mais la première phrase est foireuse

@rivas : il y a un "au moins" en trop dans ta réponse le reste est bon !

Bravo à tous les autres, une avalanche de réponses parfaites

Parce qu'on ne peut pas écrire le nombre 11121 en base 2, je crois ^^

[TeX]11121_n = n^4+n^3+n^2+2n+1 = (n+1)(n^3+n+1)[/TeX]
Si le nombre est premier alors ses deux seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Donc [latex](n+1) = 1[/latex] ou [latex](n^3+n+1) = 1[/latex].

La seule solution réelle pour chacune des équations est [latex]n = 0[/latex].

La base [latex]0[/latex] n'a pas de sens, [latex]11121_n[/latex] ne peut donc pas être premier.

Dans la base b,
11121 vaut [latex]b^4+b^3+b^2+2b+1[/latex] qui se factorise en [latex](b+1)(b^3+b+1)[/latex]
C'est rapé pour avoir un nombre premier

Bonjour,
11121 = 11 x 1011
Cette écriture est valable dans toute base strictement supérieure à 2: j'en déduis que 11121 n'est jamais premier, et ce quelle que soit la base.
Il était donc inutile de passer par la base 10, comme je l'ai fait dans ma première réponse. A noter que je ne m'étais pas limité à la base 10, mais que j'avais transformée le nombre en base 10 pour en faciliter le traitement.
Bonne journée.
Frank

Encore une avalanche de bonnes réponses, une jolie correction de rivas, et un passage "éclair" de annadivx2011 qui n'a plus qu'à s'inscrire, si elle apprécie l'ambiance enjouay de pédeutay !

11121 en base n= [latex]1+2n+n^2+n^3+n^4=1+n+n(1+n)+n^3(1+n)=(1+n)(1+n+n^3)[/latex]
donc cela ne sera jamais un nombre premier