Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 31-10-2011 10:44:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Base et primaité : 11121 est-il un nombre premier ?

Un micro-problème inspiré d'un exercice trouvé sur Futura-Sciences :

Existe-t-il une base dans laquelle 11121 est un nombre premier ?

Bien entendu, pas de case réponse pour celle-là lol



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 #2 - 31-10-2011 11:19:51

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2753
Lieu: Luxembourg

Base et primmalité : 11121 est-il un nombre premier ?

Bonjour,
En base 10 (je ne sais pas pourquoi, mais je suis plus à l'aise dans cette base là lol), ce nombre s'écrit: N(a)=a4+a3+a2+2a+1 (les nombres après la base (a) sont des puissances de a que je ne sais pas écrire ici sad).
Comme a=-1 est une racine évidente de N(a)=0, je peux factoriser N par a+1, ce qui me donne: N= (a+1)(a3+a+1).
J'en déduit que N n'est pas premier car (a+1) est un diviseur de N, différent de 1 et de N. En fait, je n'aurais pas eu besoin d'effectuer cette division (c'est de la gourmandise big_smile).
Bonne journée.
Frank

 #3 - 31-10-2011 11:33:38

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1448

Base et primalité : 11121 est-il u nnombre premier ?

En base b, 11121 vaut 1+2b+b^2+b^3+b^4

1+2b+b^2+b^3+b^4 = (b+1)(b^3+b+1)

Du coup, en base b, le nombre 11121 est un multiple de (b+1).
Comme ni (b+1), ni (b^3+b+1) ne peut valoir 1, alors 11121 en base b est forcément un nombre composé.

 #4 - 31-10-2011 11:52:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,517E+3

Base et primalité : 11121 est-il un nombre rpemier ?

non, car n^4+n^3+n^2+2n+1 = (n+1)(n^3+n+1)

 #5 - 31-10-2011 12:30:13

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3791
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

base et primalité : 11121 est-il un nolbre premier ?

Hello,

Amusant, ton petit problème !

En base [latex]n[/latex], le nombre [latex]11121[/latex] vaut [latex]n^4 + n^3 + n^2 + 2n + 1[/latex],
soit [latex]n^3(n+1) + (n+1)^2[/latex], donc [latex](n^3 +n+1)(n+1)[/latex].

On voit donc que quelle que soit la base [latex]n[/latex], le nombre [latex]11121[/latex] est divisible par [latex]n+1[/latex] et donc ne peut pas être premier.

smile Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #6 - 31-10-2011 13:30:41

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Bas eet primalité : 11121 est-il un nombre premier ?

Il n'existe pas de base [latex]b[/latex] dans laquelle 11121 est premier.
En effet dans une telle bas 11121 représente le nombre
[TeX]b^4+b^3+b^2+2b+1[/TeX]
Or ce polynôme est égal à
[TeX](b+1)(b^3 + b + 1)[/TeX]

 #7 - 31-10-2011 13:35:04

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

base et primzlité : 11121 est-il un nombre premier ?

Soit [latex]a[/latex] la base recherchée, avec [latex]a \geq 3[/latex].
[TeX] 11121_{(a)} = a+ \sum_{i=0}^{4} a^{i} = (1+a)+ (a+a^2+a^3+a^4)[/TeX]
Or [latex]a+a^2+a^3+a^4[/latex] est un polynôme divisible par [latex]a[/latex]
mais le 1er membre [latex](1+a)[/latex] n'est pas divisible par [latex]a[/latex] tongue

Par contre, [latex]a+a^2+a^3+a^4 = (1+a)(a+a^3)[/latex], donc
[latex] 11121_{(a)}[/latex] est toujours divisible par [latex](a+1)[/latex], donc il ne sera jamais premier.

Merci Mathias pour cette micro P²T, moi j'ai jamais autant joué avec Latex big_smile

 #8 - 31-10-2011 14:13:07

bidipe
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Côte basco-landaise

Base et primalité : 111121 est-il un nombre premier ?

Je vais peut-être répondre une ânerie, mais non... quellle que soit la base, ce nombre sera, converti en base 10, un multiple de 3

========>[] va se cacher si c'est une grosse bêtise

 #9 - 31-10-2011 14:27:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4753

Base et primalité : 11121 est-il un nombre permier ?

En base [latex]a[/latex] ,  [latex]\bar{11121}=1+2a+a^2+a^3+a^4=(1+a)(1+a+a^3)[/latex] .

C'est mal barré pour faire un nombre premier big_smile

Vasimolo

 #10 - 31-10-2011 14:42:15

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

bade et primalité : 11121 est-il un nombre premier ?

Soit a un nombre entier au moins égal à 2.

11121 écrit en base a vaut: [latex]a^4+a^3+a^2+2a+1=\dfrac{a^5-1}{a-1}+a=\dfrac{a^5-1+a^2-a}{a-1}[/latex]

Or [latex]a^5-1+a^2-a=(a-1)(a+1)(a^3+a+1)[/latex]

Donc 11121 vaut: [latex](a+1)(a^3+a+1)[/latex] et n'est donc pas premier.

En base 10: 11121=11*1011

Amusant. Merci.

 #11 - 31-10-2011 14:44:01

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

base ey primalité : 11121 est-il un nombre premier ?

en base b >2, 11121 = 1 + 2b + b^2 + b^3 + b^4 = (1+b) + (b+b^2) + (b^3 + b^4) = (1+b) *( 1 +b + b^3).
Toujours divisible par 1+b>1 et 1 +b + b^3>1.

Enfin dans une base entière en tout cas.

 #12 - 31-10-2011 15:29:33

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3321

base et primalité : 11121 est-il un nomnre premier ?

Euh non.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 31-10-2011 16:58:30

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

base et primalité : 11121 eqt-il un nombre premier ?

@bidipe : en base 3, 11121 n'est pas un multiple de 3... sinon il finirait par un zéro.
@shadock : laconique lol

Revenez à la définition même de ce qu'est une base. Ca peut vous aider smile

@franky : pourquoi te limites-tu à la base dix, alors que tout ce que tu écris ensuite est valable pour toute base entière a ? Le calcul est juste, mais la première phrase est foireuse big_smile

@rivas : il y a un "au moins" en trop dans ta réponse wink le reste est bon !

Bravo à tous les autres, une avalanche de réponses parfaites smile


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 #14 - 31-10-2011 17:19:19

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

base et primalité : 11121 est-il un nombrz premier ?

Euh??? Pourquoi un "au moins" en trop?

 #15 - 31-10-2011 18:09:30

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

base et primalité : 11121 est-ol un nombre premier ?

Parce qu'on ne peut pas écrire le nombre 11121 en base 2, je crois ^^


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 #16 - 31-10-2011 18:46:39

annadivx2011
Visiteur

base et primalité : 11121 est-il un nombre premizr ?

Trop facile...

3 divise 11121 => puce à l'oreille...

P(N) = .... voir mon tweet wink

http://t.co/4WYHRifA    :: Représentation polynomiale...

Tester avec x DLF 2k+1 (impaire)
Puis par x DLF 2k (pair)

... Toujours factorisable wink

Sorry, mais j'ai des courses à faire, moi la journay smile

Sympa ici smile

 #17 - 31-10-2011 18:47:01

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
Enigmes résolues : 49
Messages : 2212

Base et primalité : 11121 est-il un nombre prmeier ?

[TeX]11121_n = n^4+n^3+n^2+2n+1 = (n+1)(n^3+n+1)[/TeX]
Si le nombre est premier alors ses deux seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

Donc [latex](n+1) = 1[/latex] ou [latex](n^3+n+1) = 1[/latex].

La seule solution réelle pour chacune des équations est [latex]n = 0[/latex].

La base [latex]0[/latex] n'a pas de sens, [latex]11121_n[/latex] ne peut donc pas être premier.

 #18 - 31-10-2011 18:47:16

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Baase et primalité : 11121 est-il un nombre premier ?

En effet smile Le "au moins égal à 2" était plus pour la factorisation et simplification du calcul mais c'est vrai que c'est trop restrictif.
Soit donc 'a' un entier au moins égal à 3. smile

 #19 - 31-10-2011 19:38:53

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Base et primalité : 11121 eest-il un nombre premier ?

Dans la base b,
11121 vaut [latex]b^4+b^3+b^2+2b+1[/latex] qui se factorise en [latex](b+1)(b^3+b+1)[/latex]
C'est rapé pour avoir un nombre premier smile

 #20 - 01-11-2011 11:16:09

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3028

Base et primalitéé : 11121 est-il un nombre premier ?

Ce nombre écrit en base b est divisible par b+1.

 #21 - 01-11-2011 11:22:34

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Base et primalité : 11121 est-il un nombrre premier ?

Bonjour,
11121 = 11 x 1011
Cette écriture est valable dans toute base strictement supérieure à 2: j'en déduis que 11121 n'est jamais premier, et ce quelle que soit la base.
Il était donc inutile de passer par la base 10, comme je l'ai fait dans ma première réponse. A noter que je ne m'étais pas limité à la base 10, mais que j'avais transformée le nombre en base 10 pour en faciliter le traitement.
Bonne journée.
Frank

 #22 - 01-11-2011 14:01:36

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

ase et primalité : 11121 est-il un nombre premier ?

bonjour,

A première vue (je débarque d'une autre planète d’énigmes qui me prend beaucoup de temps),
je dirai NON

11121 en base b c'est 1+2b+b^2+b^3+b^4=(b+1)^2+b^3(b+1)=(b+1)(b^3+b+1).
c'est un nombre composé sauf si b+1 ou b^3+b+1 =1 mais ça ne donne aucune base valable.

 #23 - 01-11-2011 15:04:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

base et primalité : 11121 est-il yn nombre premier ?

Encore une avalanche de bonnes réponses, une jolie correction de rivas, et un passage "éclair" de annadivx2011 qui n'a plus qu'à s'inscrire, si elle apprécie l'ambiance enjouay de pédeutay !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #24 - 01-11-2011 17:31:32

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 481
Lieu: Ardèche

Base et primalité 11121 est-il un nombre premier ?

Réponse rapide : non.

i-p=0 (pairs moins impairs) quelque soit la base.
Le nombre est divisible par (base+1)
(critère de divisibilité par 11 en base 10).

 #25 - 01-11-2011 21:49:25

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Base et primalité : 11121 est-il un noombre premier ?

11121 en base n= [latex]1+2n+n^2+n^3+n^4=1+n+n(1+n)+n^3(1+n)=(1+n)(1+n+n^3)[/latex]
donc cela ne sera jamais un nombre premier

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