Enigme Calcul différentiel pour les nuls @ Prise2Tete

Yanyan · #1

Voici une méthode pour obtenir les formules de calcul différentiel mais seulement pour les opérations abstraites (et au moins les fonctions analytiques) sans utiliser les limites donc parfaite pour ceux qui n'y connaissent rien.
On introduit un symbole magique $Formule LaTeX : o$ qui vérifie $Formule LaTeX : o^2=0$ et une fonction $Formule LaTeX : f$ est dite dérivable en $Formule LaTeX : x$ si il existe un réel noté $Formule LaTeX : f'(x)$ tel que pour tout $Formule LaTeX : y$ on a $Formule LaTeX : f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)$ .
Exemple:
On veut calculer la dérivé de $Formule LaTeX : f^2$ en un point $Formule LaTeX : x$ où $Formule LaTeX : f$ est dérivable. Par définition $Formule LaTeX : f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)$ d'où $Formule LaTeX : f^2(x+oy)=(f(x)+oyf'(x))^2=f^2(x)+oy2f'(x)f(x)$ donc $Formule LaTeX : f^2$ est dérivable en $Formule LaTeX : x$ et $Formule LaTeX : (f^2)'(x)=2f'(x)f(x)$ .
Travail:
Montrer que si deux fonctions sont dérivables en un point alors leur somme et leur produit le sont au même point. Que si une fonction est dérivable en un point la multiplication de cette fonction par une constante l'est également en ce point. Et pour finir que si $Formule LaTeX : f$ est dérivable en $Formule LaTeX : g(x)$ et $Formule LaTeX : g$ dérivable en $Formule LaTeX : x$ alors $Formule LaTeX : f(g(x))$ est dérivable en $Formule LaTeX : x$ .(Et l'inverse d'une fonction non nulle en $Formule LaTeX : x$ pour les courageux)

Yanyan · #2

$Formule LaTeX : o$ est un symbole qui obéi au lois de l'algèbre par exemple $Formule LaTeX : o^3=o^2o=0$ . C'est juste de simple calcul algébrique, est-ce trop simple? Vous retrouverez toutes les formules classiques $Formule LaTeX : (fg)'=...$ ou les découvrirez sans difficulté!

shadock · #3

Soit $Formule LaTeX : f$ et $Formule LaTeX : g$ dérivable en $Formule LaTeX : x$ alors :

1) La dérivée d'une somme :

$Formule LaTeX : (f+g)'(x+oy)=f(x+oy)+g(x+oy)$ .
De plus on sait que les fonctions $Formule LaTeX : f$ et $Formule LaTeX : g$ sont dérivables en $Formule LaTeX : x$ soit $Formule LaTeX : (f+g)'(x+oy)=f(x)+oyf'(x)+g(x)+oyg'(x)$ donc $Formule LaTeX : (f+g)'$ est dérivable en $Formule LaTeX : x$ et $Formule LaTeX : \fbox{(f+g)'(x)=f(x)+g(x)}$

2) La dérivée d'un produit par un réel $Formule LaTeX : \lambda$ :

$Formule LaTeX : (\lambda f)'(x+oy)=\lambda (x+oy)*f(x+oy)$
$Formule LaTeX : \lambda (x+oy)=\lambda$ (Enfin je pense parce que je ne comprends pas encore tout un dessin ne serait pas de refus) donc :
$Formule LaTeX : (\lambda f)'(x+oy)=\lambda (f(x)+oyf'(x))$
Donc $Formule LaTeX : f$ est dérivable en $Formule LaTeX : x$
et $Formule LaTeX : \fbox{(\lambda f)'=\lambda f'(x)}$

3) La dérivée d'une fonction composée

Je n'ai presque aucune notion sur les fonctions composées, je sais que l'on peut noter $Formule LaTeX : f(g(x))=f$ o $Formule LaTeX : g$

$Formule LaTeX : (f$ o $Formule LaTeX : g)'(x+oy)= ?$

Shadock, celui qui n'a pas besoin de comprendre pour appliquer

Yanyan · #4

Il ne faut pas se servir des formules connues Shadock!
Pour la somme il faut partir de $Formule LaTeX : (f+g)(x+oy)=f(x+oy)+g(x+oy)$ or $Formule LaTeX : f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)$ ...

shadock · #5

Je ne pense pas pouvoir aller plus loin

Yanyan · #6

Shadock: pour la multiplication par un réel il faut distinguer les cas k=0 et se rendre compte que dans le cas contraire k*y décrit tous les réels (il n'y a pas la relation que tu supposes).
Pour la composé il faut commencer par calculer $Formule LaTeX : f(g(x+oy))$ en sachant que $Formule LaTeX : g(x+oy)=...$ et penser que dans la définition c'est pour tout y réel donc tout y multiplié par quelque chose convient.
Et le produit ? C'est pourtant facile et instructif.

Yanyan · #7

J'insiste sur le fait que c'est juste des calculs algébriques (mis à part pour l'inverse) et qu'il n'y a rien a connaitre sur les dérivées. J'aurai appeler cela la o-ification c'était pareil mais les résultats sont ceux de la dérivation classique, c'est cela qui est sympa!

Yanyan · #8

Pas de succès pour cette énigme....Vos commentaires sont les bienvenus.

Un petit exemple: le produit de deux fonctions dérivables en x:
on part de l'éxistence de $Formule LaTeX : f'(x),g'(x)$ tels que

$Formule LaTeX : f(x+oy)=f(x)+oyf'(x) \ g(x+oy)=g(x)+oyg'(x)$ on fait le produit membre à membre et on arrive à

$Formule LaTeX : (fg)(x+oy) \\ =f(x+oy)g(x+oy)\\ = (f(x)+oyf'(x))(g(x)+oyg'(x)) \\ =f(x)g(x)+oy(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))$

car $Formule LaTeX : o^2=0$

d'où $Formule LaTeX : fg$ dérivable en $Formule LaTeX : x$ et $Formule LaTeX : (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ .

Un peu de rigueur entraîne aux raisonnements corrects.
Rien "d'intuitif", je l’accorde.

Un grand merci à Shadock!

Cédric-29 · #9

La suite pour Shadock:

$Formule LaTeX : c(x)=f(g(x))$
$Formule LaTeX : c(x+oy)=c(x)+oyc^'(x)=f(g(x+oy)) =f(g(x)+oyg^'(x))$
$Formule LaTeX : c(x)+oyc^'(x) = f(g(x))+oyg^'(x)f^'(g(x))$
On se permet de passer de l'avant derniere ligne a la derniere car si o est un symbole magique, $Formule LaTeX : og^'(x)$ en est également un (g dérivable).

donc
$Formule LaTeX : oyc^'(x)= oyg^'(x)f^'(g(x))$ car $Formule LaTeX : c(x)=f(g(x))$

on en conclut
$Formule LaTeX : c^'(x)= g^'(x)f^'(g(x))$

par application pour l'inverse $Formule LaTeX : c(x) = x$ et $Formule LaTeX : g(x)=f^{-1}(x)$

on obtient $Formule LaTeX : f^{-1'}(x)=1/f^'(f^{-1}(x))$

Yanyan · #10

Bien Cédric mais je pensais à l'inverse d'une fonction :1/f mais bravo! Tu nous fais ce dernier calcul (j'accepte la dérivée de x car la définition permet de l'obtenir mais pour 1/x un petit travail). Merci d'avance.

kosmogol · #11

Pas de succès pour cette énigme...

Je fais partie des nombreux lecteurs-non posteurs pour ce genre de problème.

Je t'ai même référencé pour le PK 15

Cédric-29 · #12

Si ca peut faire plaisir
$Formule LaTeX : f(x)=\frac{1}{x}$

$Formule LaTeX : f(x+oy/2)-f(x-oy/2)=oyf^'(x)=\frac{1}{x+oy/2}-\frac{1}{x-oy/2}$

d'ou :
$Formule LaTeX : oyf^'(x)=-\frac{oy}{x^2-o^2y^2/4}$
$Formule LaTeX : f^'(x)=-\frac{1}{x^2}$ car $Formule LaTeX : o^2=0$

Yanyan · #13

Joli...

ksavier · #14

Je crains qu'il y ait un problème avec cette définition. En effet, on peut montrer que o=0. Ainsi, la définition se traduit par :
Une fonction $Formule LaTeX : f$ est dérivable en $Formule LaTeX : x$ s'il existe un réel $Formule LaTeX : f'(x)$ tel que pour tout réel $Formule LaTeX : y$ on a :
$Formule LaTeX : f(x) = f(x)$ !!! Ce qui est tautologique et ne permet pas de définir une notion non triviale de la dérivabilité.

Montrons que o=0 : par l'absurde , supposons que $Formule LaTeX : o\neq0$

D'abord, il est évident que pour cette définition, la fonction identité f(x)=x est dérivable et que notre hypothèse implique que $Formule LaTeX : f'(x)=1$ quel que soit le réel x.

Ensuite, on a les équivalences suivantes :
$Formule LaTeX : f(x+oy) = f(x) + oyf'(x) \Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x) + o^2yf'(x)$
$Formule LaTeX : \Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x)$
$Formule LaTeX : \Longleftrightarrow o(f(x+oy)-f(x)) =0$

D'après l'hypothèse, c'est équivalent à dire que :
$Formule LaTeX : f(x+oy) - f(x) = 0$
ou encore que $Formule LaTeX : f(x+oy)=f(x)$

On vient de montrer que dans l'hypothèse ou $Formule LaTeX : o\neq0$ la définition peut s'énoncer de la façon suivante :
$Formule LaTeX : f$ dérivable $Formule LaTeX : \Longleftrightarrow f(x+oy)=f(x)$ pour tout y.
$Formule LaTeX : \Longleftrightarrow$ il existe un réel $Formule LaTeX : f'(x)$ tel que $Formule LaTeX : oyf'(x)=0$ pour tout y.
$Formule LaTeX : \Longleftrightarrow f'(x)=0$ pour tout y.

Absurde !!! (relire le cas où $Formule LaTeX : f=Id$ ).

Bref, formellement cette définition qui peut sembler élégante, n'a pas de consistance mathématique, car elle contient une contradiction.

Yanyan · #15

Pour ceux qui veulent de la consistance mathématique en voici:
Nos nombres sont simplement le quotient de l'anneau R[X] par l'idéal (X²) et o est la classe de X. Ta preuve suppose que c'est anneau quotient est intègre ce qui n'est pas le cas car (X²) n'est pas un idéal premier, en effet X² est dans (X²) mais pas X. Donc on ne peut pas dire qu'un produit est nul implique que l'un au moins des facteurs est nul!

kosmogol · #16

"c'est pas faux"

Yanyan · #17

Merci à Perceval-Kosmogol pour son aide!

shadock · #18

Merci à toi aussi

kosmogol · #19

Dans le forum, tu es celui qui a eu un surnom le plus rapidement, bravo "ArithmetikMan"

L00ping007 · #20

©

Yanyan · #21

Oui merci à L00ping!

ksavier · #22

!!
On travaillait dans R[X]/(X²) !!!
Mon discours n'avait pour but que de montrer que l'on ne pouvait pas travailler dans le plus petit corps (donc intègre) contenant R et un symbole magique o vérifiant o²=0.

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