[latex]o[/latex] est un symbole qui obéi au lois de l'algèbre par exemple [latex]o^3=o^2o=0[/latex]. C'est juste de simple calcul algébrique, est-ce trop simple? Vous retrouverez toutes les formules classiques [latex](fg)'=...[/latex]  ou les découvrirez sans difficulté!

Il ne faut pas se servir des formules connues Shadock!
Pour la somme il faut partir de [latex](f+g)(x+oy)=f(x+oy)+g(x+oy)[/latex] or [latex]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)[/latex]...

Shadock: pour la multiplication par un réel il faut distinguer les cas k=0 et se rendre compte que dans le cas contraire  k*y décrit tous les réels (il n'y a pas la relation que tu supposes).
Pour la composé il faut commencer par calculer [latex]f(g(x+oy))[/latex] en sachant que [latex]g(x+oy)=...[/latex] et penser que dans la définition c'est pour tout y réel donc tout y multiplié par quelque chose convient.
Et le produit ? C'est pourtant facile et instructif.

Pas de succès pour cette énigme....Vos commentaires sont les bienvenus.

Un petit exemple: le produit de deux fonctions dérivables en x:
on part de l'éxistence de  [latex]f'(x),g'(x)[/latex] tels que
[TeX]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x) \ g(x+oy)=g(x)+oyg'(x) [/latex] on fait le produit membre à membre et on arrive à

[latex](fg)(x+oy) \\ =f(x+oy)g(x+oy)\\ = (f(x)+oyf'(x))(g(x)+oyg'(x)) \\ =f(x)g(x)+oy(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))[/TeX]
car [latex]o^2=0[/latex]

d'où[latex] fg [/latex] dérivable en [latex] x[/latex] et [latex](fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/latex].



Un peu de rigueur entraîne aux raisonnements corrects.
Rien "d'intuitif", je l’accorde.


Un grand merci à Shadock!

Bien Cédric mais je pensais à l'inverse d'une fonction :1/f mais bravo! Tu nous fais ce dernier calcul (j'accepte la dérivée de x car la définition permet de l'obtenir mais pour 1/x un petit travail). Merci d'avance.

Si ca peut faire plaisir
[TeX]f(x)=\frac{1}{x}[/TeX][TeX]f(x+oy/2)-f(x-oy/2)=oyf^'(x)=\frac{1}{x+oy/2}-\frac{1}{x-oy/2}[/TeX]
d'ou :
[TeX]oyf^'(x)=-\frac{oy}{x^2-o^2y^2/4}[/TeX]
[TeX]f^'(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex] car [latex]o^2=0[/TeX]

Je crains qu'il y ait un problème avec cette définition. En effet, on peut montrer que o=0. Ainsi, la définition se traduit par :
Une fonction [latex]f[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex] s'il existe un réel [latex]f'(x)[/latex] tel que pour tout réel [latex]y[/latex] on a :
[TeX]f(x) = f(x)[/latex] !!! Ce qui est tautologique et ne permet pas de définir une notion non triviale de la dérivabilité.



Montrons que o=0 : par l'absurde , supposons que [latex]o\neq0[/TeX]
D'abord, il est évident que pour cette définition, la fonction  identité f(x)=x est dérivable et que notre hypothèse implique que [latex]f'(x)=1[/latex] quel que soit le réel x.


Ensuite, on a les équivalences suivantes :
[TeX]f(x+oy) = f(x) + oyf'(x) \Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x) + o^2yf'(x)[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x)[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow o(f(x+oy)-f(x)) =0[/TeX]
D'après l'hypothèse, c'est équivalent à dire que :
[TeX] f(x+oy) - f(x) = 0[/TeX]
ou encore que [latex]f(x+oy)=f(x)[/latex]

On vient de montrer que dans l'hypothèse ou [latex]o\neq0[/latex] la définition peut s'énoncer de la façon suivante  :
[latex]f[/latex] dérivable [latex]\Longleftrightarrow f(x+oy)=f(x)[/latex] pour tout y.
                  [latex]\Longleftrightarrow[/latex] il existe un réel [latex] f'(x)[/latex] tel que [latex]oyf'(x)=0[/latex] pour tout y.   
                  [latex]\Longleftrightarrow f'(x)=0[/latex] pour tout y.   

Absurde !!! (relire le cas où [latex]f=Id[/latex]).


Bref, formellement cette définition qui peut sembler élégante, n'a pas de consistance mathématique, car elle contient une contradiction.

"c'est pas faux"

Merci à toi aussi

©

!!
On travaillait dans R[X]/(X²) !!!
Mon discours n'avait pour but que de montrer que l'on ne pouvait pas travailler dans le plus petit corps (donc intègre) contenant R et un symbole magique o vérifiant o²=0.