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 #1 - 17-05-2011 06:14:45

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

CCalcul différentiel pour les nuls

Voici une méthode pour obtenir les formules de calcul différentiel mais seulement pour les opérations abstraites (et au moins les fonctions analytiques) sans utiliser les limites donc parfaite pour ceux qui n'y connaissent rien.
On introduit un symbole magique [latex]o[/latex] qui vérifie [latex]o^2=0[/latex] et une fonction [latex]f[/latex] est dite dérivable en [latex]x[/latex] si il existe un réel noté [latex]f'(x)[/latex] tel que pour tout [latex]y[/latex] on a [latex]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)[/latex].
Exemple:
On veut calculer la dérivé de [latex]f^2[/latex] en un point [latex]x[/latex] où [latex]f[/latex] est dérivable. Par définition [latex]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)[/latex] d'où [latex]f^2(x+oy)=(f(x)+oyf'(x))^2=f^2(x)+oy2f'(x)f(x)[/latex] donc [latex]f^2[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex] et [latex](f^2)'(x)=2f'(x)f(x)[/latex].
Travail:
Montrer que si deux fonctions sont dérivables en un point alors leur somme et leur produit le sont au même point. Que si une fonction est dérivable en un point la multiplication de cette fonction par une constante l'est également en ce point. Et pour finir que si [latex]f[/latex] est dérivable en [latex]g(x)[/latex] et [latex]g[/latex] dérivable en [latex]x[/latex] alors [latex]f(g(x))[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex].(Et l'inverse d'une fonction non nulle en [latex]x[/latex] pour les courageux)



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 #2 - 18-05-2011 06:54:19

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

aClcul différentiel pour les nuls

[latex]o[/latex] est un symbole qui obéi au lois de l'algèbre par exemple [latex]o^3=o^2o=0[/latex]. C'est juste de simple calcul algébrique, est-ce trop simple? Vous retrouverez toutes les formules classiques [latex](fg)'=...[/latex]  ou les découvrirez sans difficulté!


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #3 - 18-05-2011 16:31:49

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

calcul différenriel pour les nuls

Soit [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] dérivable en [latex]x[/latex] alors :

1) La dérivée d'une somme :
[TeX](f+g)'(x+oy)=f(x+oy)+g(x+oy)[/latex].
De plus on sait que les fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] sont dérivables en [latex]x[/latex] soit [latex](f+g)'(x+oy)=f(x)+oyf'(x)+g(x)+oyg'(x)[/latex] donc [latex](f+g)'[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex] et [latex]\fbox{(f+g)'(x)=f(x)+g(x)}[/TeX]
2) La dérivée d'un produit par un réel [latex]\lambda[/latex] :
[TeX](\lambda f)'(x+oy)=\lambda (x+oy)*f(x+oy)[/TeX]
[TeX]\lambda (x+oy)=\lambda[/latex] (Enfin je pense parce que je ne comprends pas encore tout un dessin ne serait pas de refus) donc :
[latex](\lambda f)'(x+oy)=\lambda (f(x)+oyf'(x))[/TeX]
Donc [latex]f[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex]
et [latex]\fbox{(\lambda f)'=\lambda f'(x)}[/latex]


3) La dérivée d'une fonction composée

Je n'ai presque aucune notion sur les fonctions composées, je sais que l'on peut noter [latex]f(g(x))=f[/latex]o [latex]g[/latex]
[TeX](f[/latex] o [latex]g)'(x+oy)= ? [/TeX]
Shadock, celui qui n'a pas besoin de comprendre pour appliquer wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 18-05-2011 20:57:49

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calcul différentie lpour les nuls

Il ne faut pas se servir des formules connues Shadock!
Pour la somme il faut partir de [latex](f+g)(x+oy)=f(x+oy)+g(x+oy)[/latex] or [latex]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x)[/latex]...


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 #5 - 19-05-2011 23:10:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

calcul différentiel poir les nuls

Je ne pense pas pouvoir aller plus loin smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #6 - 20-05-2011 07:41:45

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

calcul difdérentiel pour les nuls

Shadock: pour la multiplication par un réel il faut distinguer les cas k=0 et se rendre compte que dans le cas contraire  k*y décrit tous les réels (il n'y a pas la relation que tu supposes).
Pour la composé il faut commencer par calculer [latex]f(g(x+oy))[/latex] en sachant que [latex]g(x+oy)=...[/latex] et penser que dans la définition c'est pour tout y réel donc tout y multiplié par quelque chose convient.
Et le produit ? C'est pourtant facile et instructif.


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 #7 - 20-05-2011 07:47:39

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calcul diffférentiel pour les nuls

J'insiste sur le fait que c'est juste des calculs algébriques (mis à part pour l'inverse) et qu'il n'y a rien a connaitre sur les dérivées. J'aurai  appeler cela la o-ification c'était pareil mais les résultats sont ceux de la dérivation classique, c'est cela qui est sympa!


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 #8 - 21-05-2011 01:08:46

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calcul diférentiel pour les nuls

Pas de succès pour cette énigme....Vos commentaires sont les bienvenus.

Un petit exemple: le produit de deux fonctions dérivables en x:
on part de l'éxistence de  [latex]f'(x),g'(x)[/latex] tels que
[TeX]f(x+oy)=f(x)+oyf'(x) \ g(x+oy)=g(x)+oyg'(x) [/latex] on fait le produit membre à membre et on arrive à

[latex](fg)(x+oy) \\ =f(x+oy)g(x+oy)\\ = (f(x)+oyf'(x))(g(x)+oyg'(x)) \\ =f(x)g(x)+oy(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))[/TeX]
car [latex]o^2=0[/latex]

d'où[latex] fg [/latex] dérivable en [latex] x[/latex] et [latex](fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/latex].



Un peu de rigueur entraîne aux raisonnements corrects.
Rien "d'intuitif", je l’accorde.


Un grand merci à Shadock!


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 #9 - 21-05-2011 12:56:44

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 17

calcul dofférentiel pour les nuls

La suite pour Shadock:
[TeX]c(x)=f(g(x))[/TeX]
[TeX]c(x+oy)=c(x)+oyc^'(x)=f(g(x+oy)) =f(g(x)+oyg^'(x))[/TeX]
[TeX]c(x)+oyc^'(x) = f(g(x))+oyg^'(x)f^'(g(x))[/TeX]
On se permet de passer de l'avant derniere ligne  a la derniere car si o est un symbole magique, [latex]og^'(x)[/latex] en est également un (g dérivable).

donc
[TeX] oyc^'(x)= oyg^'(x)f^'(g(x))[/latex] car  [latex]c(x)=f(g(x))[/TeX]
on en conclut
[TeX] c^'(x)= g^'(x)f^'(g(x))[/TeX]
par application pour l'inverse [latex]c(x) = x[/latex] et [latex]g(x)=f^{-1}(x)[/latex]

on obtient [latex]f^{-1'}(x)=1/f^'(f^{-1}(x))[/latex]

 #10 - 21-05-2011 13:09:53

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

calcul différentiel pour leq nuls

Bien Cédric mais je pensais à l'inverse d'une fonction :1/f mais bravo! Tu nous fais ce dernier calcul (j'accepte la dérivée de x car la définition permet de l'obtenir mais pour 1/x un petit travail). Merci d'avance.


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 #11 - 21-05-2011 13:19:12

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Calcl différentiel pour les nuls

Pas de succès pour cette énigme...

Je fais partie des nombreux lecteurs-non posteurs pour ce genre de problème.

Je t'ai même référencé pour le PK 15 smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #12 - 21-05-2011 13:42:29

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 17

calcul difféeentiel pour les nuls

Si ca peut faire plaisir smile
[TeX]f(x)=\frac{1}{x}[/TeX][TeX]f(x+oy/2)-f(x-oy/2)=oyf^'(x)=\frac{1}{x+oy/2}-\frac{1}{x-oy/2}[/TeX]
d'ou :
[TeX]oyf^'(x)=-\frac{oy}{x^2-o^2y^2/4}[/TeX]
[TeX]f^'(x)=-\frac{1}{x^2}[/latex] car [latex]o^2=0[/TeX]

 #13 - 21-05-2011 13:50:33

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

calcul différentiel pour kes nuls

Joli...


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 #14 - 21-05-2011 15:41:01

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Calcul différentiel pour les nulls

Je crains qu'il y ait un problème avec cette définition. En effet, on peut montrer que o=0. Ainsi, la définition se traduit par :
Une fonction [latex]f[/latex] est dérivable en [latex]x[/latex] s'il existe un réel [latex]f'(x)[/latex] tel que pour tout réel [latex]y[/latex] on a :
[TeX]f(x) = f(x)[/latex] !!! Ce qui est tautologique et ne permet pas de définir une notion non triviale de la dérivabilité.



Montrons que o=0 : par l'absurde , supposons que [latex]o\neq0[/TeX]
D'abord, il est évident que pour cette définition, la fonction  identité f(x)=x est dérivable et que notre hypothèse implique que [latex]f'(x)=1[/latex] quel que soit le réel x.


Ensuite, on a les équivalences suivantes :
[TeX]f(x+oy) = f(x) + oyf'(x) \Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x) + o^2yf'(x)[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow of(x+oy) = of(x)[/TeX]
[TeX]\Longleftrightarrow o(f(x+oy)-f(x)) =0[/TeX]
D'après l'hypothèse, c'est équivalent à dire que :
[TeX] f(x+oy) - f(x) = 0[/TeX]
ou encore que [latex]f(x+oy)=f(x)[/latex]

On vient de montrer que dans l'hypothèse ou [latex]o\neq0[/latex] la définition peut s'énoncer de la façon suivante  :
[latex]f[/latex] dérivable [latex]\Longleftrightarrow f(x+oy)=f(x)[/latex] pour tout y.
                  [latex]\Longleftrightarrow[/latex] il existe un réel [latex] f'(x)[/latex] tel que [latex]oyf'(x)=0[/latex] pour tout y.   
                  [latex]\Longleftrightarrow f'(x)=0[/latex] pour tout y.   

Absurde !!! (relire le cas où [latex]f=Id[/latex]).


Bref, formellement cette définition qui peut sembler élégante, n'a pas de consistance mathématique, car elle contient une contradiction.

 #15 - 21-05-2011 16:01:38

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Calcul différetiel pour les nuls

Pour ceux qui veulent de la consistance mathématique en voici:
Nos nombres sont simplement le quotient de l'anneau R[X] par l'idéal (X²) et o est la classe de X. Ta preuve suppose que c'est anneau quotient est intègre ce qui n'est pas le cas car (X²) n'est pas un idéal premier, en effet X² est dans (X²) mais pas X. Donc on ne peut pas dire qu'un produit est nul implique que l'un au moins des facteurs est nul!


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 #16 - 21-05-2011 16:13:41

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Calcul différentiel pour les nlus

"c'est pas faux"


http://enigmusique.blogspot.com/

 #17 - 21-05-2011 16:25:17

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

calcul difféeentiel pour les nuls

Merci à Perceval-Kosmogol pour son aide!


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 #18 - 21-05-2011 16:28:06

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Calcul différentiel ppour les nuls

Merci à toi aussi smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #19 - 21-05-2011 16:32:11

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

calcul différrntiel pour les nuls

Dans le forum, tu es celui qui a eu un surnom le plus rapidement, bravo "ArithmetikMan" big_smile


http://enigmusique.blogspot.com/

 #20 - 21-05-2011 17:11:57

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2010
Lieu: Paris

Calcul différentiel puor les nuls

© yikes

 #21 - 21-05-2011 17:19:10

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

calcyl différentiel pour les nuls

Oui merci à L00ping!


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 #22 - 21-05-2011 18:30:26

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Calcul difféerntiel pour les nuls

big_smile !!
On travaillait dans R[X]/(X²) !!!
Mon discours n'avait pour but que de montrer que l'on ne pouvait pas travailler dans le plus petit corps (donc intègre) contenant R et un symbole magique o vérifiant o²=0.lol

 

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