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 #1 - 18-09-2012 00:13:10

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Découpage d'uun disque.

On dispose 6 points (distincts) sur un cercle. Puis on trace tous les segments possibles joignant deux points quelconques parmi les 6.  On suppose que les points sont placés de façon à ce que 3 segments donnés ne soient pas concourants.Ces segments délimitent des régions sur le disque. Combien y a-t-il de régions ?



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 #2 - 18-09-2012 00:28:48

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Découpage d'un idsque.

1, 2, 4, 8, 16, 31, 57
La première énigme que j'ai postée. lol

 #3 - 18-09-2012 09:25:36

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Découpae d'un disque.

http://threesixty360.wordpress.com/2008 … omes-next/

Déjà passée une ou deux fois sur le forum smile Et intéressante pour ceux qui sont passés à côté jusqu'ici, un dénombrement intéressant !


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 18-09-2012 14:48:39

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Découpage d'n disque.

Ca fait longtemps que je n'etais pas passé par ici.

Si je me souviens bien, pour n points la réponse est:
[TeX]\binom{n}{4}+\binom{n}{2}+1[/TeX]
Qui pour 6 donne: 15+15+1=31, ce qui est confirmé par la case réponse.

J'essaierai si j'ai le temps de retrouver la démonstration de ce résultat.

Edit: Je viens de trouver:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=8008
Qui lui-même renvoie sur:
http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4959

smile

Très complet:
http://mathenjeans.free.fr/amej/edition … 131132.pdf

 #5 - 18-09-2012 15:28:01

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Découpage d'uun disque.

Déjà, suivant si les trois diagonales sont concourantes ou non , il peut y en avoir 30 ou 31 , je pense.

 #6 - 18-09-2012 16:08:30

Passetemps
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 399

Découpage d'un dique.

Je trouve 30 régions + 1 région centrale formée par un triangle (segments

non concourants)

donc 31 régions

 #7 - 18-09-2012 16:10:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Découpage d'un dique.

Bonjour smile

La formule générale pour [latex]n[/latex] points quand les diagonales ne sont jamais concourantes est [latex]1+C_n^2+C_n^4[/latex] .

Ici 1+15+15=31 .

Vasimolo

 #8 - 18-09-2012 17:32:16

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Décooupage d'un disque.

Il y a 31 régions.

 #9 - 18-09-2012 18:29:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

découpage f'un disque.

Un prolongement amusant au problème de Titoufred :

On place [latex]n[/latex] points sur un cercle de façon à ce que les diagonales ne soient jamais concourantes et on relie tous les sommets .

Combien a-t-on construit de zones triangulaires ?

Vasimolo

 #10 - 18-09-2012 19:22:47

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Découpage d'un disquee.

Alors, comme le font justement remarquer certains, il faut préciser que les points sont placés de manière à ce que 3 segments donnés ne soient pas concourants.

 #11 - 18-09-2012 20:55:49

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

découpage d'un disqur.

Sauf erreur, car j'ai fait ça un peu vite, la formule générale serait:
Si n= nb de points et R nb de régions
R=n(n-1)/2 +C(n+1,4).

 #12 - 18-09-2012 21:46:11

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

Découpage d'un disue.

Si les points sont disposés de sorte que 3 segments donnés ne soient pas concourants, on dénombre 31 régions.
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-decoupedisque.PNG


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #13 - 18-09-2012 22:22:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Découpage d'un idsque.

30 si les 3 segments particuliers sont concourants, et donc 31 (validé par la case-réponse) s'ils ne le sont pas.

 #14 - 19-09-2012 18:53:26

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

décpupage d'un disque.

Bravo à tous pour les réponses et les généralisations à n points.
Ce qui est drôle, c'est effectivement que pour 1, 2, 3, 4 et 5 points, on trouve respectivement 1, 2, 4, 8 et 16 régions, mais pour 6 points, ça fait 31 régions.

 #15 - 19-09-2012 19:02:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

découpage d'yn disque.

Oui c'est piègeant si on conclut trop vite...
La formule peut s'écrire aussi:
C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)

On aurait bien envie de savoir à quel dénombrement correspond la formule
C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)+C(n,8)

 #16 - 19-09-2012 19:04:05

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

découpage d'un disquz.

Au fait, une question idiote: en posant les points au hasard, se peut il qu'on puisse tomber sur 3 segments concourants ?
Attention, la réponse n'est pas simple....

 #17 - 19-09-2012 19:25:06

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Découpaeg d'un disque.

Ayant déjà placé les cinq premiers points, des positions bien précises (pas uniques) du sixième rendent trois segments concourants. Donc cette probabilité est de N/+OO (N étant fini) soit 0.

 #18 - 19-09-2012 19:25:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Découpage d'un disque..

J'avais aussi proposé le prolongement suivant :

On place [latex]n[/latex] points sur un cercle de façon à ce que les diagonales ne soient jamais concourantes et on relie tous les sommets .

Combien a-t-on construit de zones triangulaires ?

Vasimolo

 #19 - 19-09-2012 19:42:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Découpage d'un disue.

n(n-3) je dirais.

 #20 - 19-09-2012 19:43:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

sécoupage d'un disque.

Franky1103 a écrit:

Ayant déjà placé les cinq premiers points, des positions bien précises (pas uniques) du sixième rendent trois segments concourants. Donc cette probabilité est de N/+OO (N étant fini) soit 0.

C'est une excellente réponse.

 #21 - 24-09-2012 22:19:52

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

découpage s'un disque.

Vasimolo a écrit:

Un prolongement amusant au problème de Titoufred :

On place [latex]n[/latex] points sur un cercle de façon à ce que les diagonales ne soient jamais concourantes et on relie tous les sommets .

Combien a-t-on construit de zones triangulaires ?

Pour n=3, il y a un triangle.

Pour n>=3, il y a n triangles avec 2 sommets au bord et n(n-4) triangles avec 1 sommet au bord, donc au total n(n-3) triangles au bord.

Mais il faut également compter les triangles à l'intérieur qui apparaissent pour n>=6 : il y en a 1 pour n=6, et pour n>=7, ???...

En tout cela donne :

pour n=3 : 1 triangle
pour n=4 ou 5 : n(n-3) triangles
pour n=6 : 19 triangles
pour n>=7 : ??? triangles

 #22 - 25-09-2012 16:41:03

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,471E+3

Découpage d'unn disque.

Ca ressemble à une suite connue : celle de la somme des 5 premiers termes à chaque étage d'un triangle de pascal.

En tout cas, ça marche jusqu'à 8. Au dela, j'ai la flemme de compter

 #23 - 25-09-2012 17:30:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

DDécoupage d'un disque.

Pour les triangles intérieurs, j'ai fait des figures et compté à la main :

n=6 : 1 triangle intérieur donc 19 triangles
n=7 : 7 triangles intérieurs donc 35 triangles
n=8 : 12 triangles intérieurs donc 52 triangles
n=9 : 30 triangles intérieurs donc 84 triangles

 #24 - 25-09-2012 17:56:01

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Découpag d'un disque.

Ah oui tiens j'ai totalement négligé les triangles intérieurs, pensant à tort qu'il n'y avait que des polygones d'au moins 4 cotés.
A suivre...

 #25 - 25-09-2012 18:22:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

découpage d'un fisque.

Il y a une astuce machiavélique pour compter les triangles , je vous laisse chercher encore un peu avant de donner un indice smile

Vasimolo

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