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 #1 - 30-09-2012 12:49:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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cEhecs 15

Un petit problème d'échecs ayant plutôt à voir avec la logique smile

Deux joueurs s'opposent sur un échiquier avec un unique cavalier . Le premier joueur est vertical ( il déplace le cavalier de deux lignes et d'une seule colonne ) , le deuxième est horizontal ( il déplace le cavalier de deux colonnes et d'une ligne ) .

Le premier joueur place le cavalier sur la case de son choix et effectue le premier déplacement . Ensuite chacun joue à tour de rôle avec interdiction de poser le cavalier sur une case déjà utilisée . Le joueur ne pouvant plus déplacer le cavalier est déclaré perdant .

Il est clair qu'il n'y a pas de partie nulle et que le premier joueur a un avantage certain sur son adversaire , mais comment prouver qu'il va gagner à coup sûr si c'est le cas ???

Un exemple de partie où le premier joueur gagne .   

http://imageshack.us/a/img198/676/cavalierbloqu.jpg

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 30-09-2012 13:38:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
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checs 15

ça ne marche pas si ce n'est pas le même joueur qui choisit l'emplacement de départ et le 1er coup (ce qui serait plus juste) ? J'aurais tendance à dire que si,  à cause de la parité du nombre de cases...

 #3 - 30-09-2012 18:50:36

Vasimolo
Le pâtissier
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evhecs 15

Je ne sais pas ce qui se passe si le premier joueur se contente de placer le cavalier avant que le deuxième joueur ne le déplace . Ce problème semble bien plus compliqué que celui que je propose et je ne suis pas sûr qu'il admette une solution simple , mais pourquoi pas smile

Vasimolo

 #4 - 30-09-2012 21:04:53

titoufred
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rchecs 15

Il faut prouver qu'il va gagner à tous les coups même s'il joue n'importe comment ou bien prouver qu'il peut gagner à tous les coups s'il joue bien ?

PS : pourquoi est-il clair que le premier joueur a un avantage ?

 #5 - 30-09-2012 22:50:29

Vasimolo
Le pâtissier
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checs 15

Bien sûr chacun joue dans le but de gagner et il est clair que le choix de la case de départ ainsi que du premier coup sont de véritables atouts même si je n'ai jamais dit qu'ils étaient déterminants smile

Vasimolo

 #6 - 01-10-2012 19:52:03

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Echecs 115

Bon, j'ai trouvé un contre exemple, c'est à dire un blocage après un nombre pair de coups. C'est à dire que le 1er joueur perd. Ma théorie est donc mise en défaut. Il faut bien une stratégie pour gagner à tous les coups.

 #7 - 01-10-2012 22:44:45

Vasimolo
Le pâtissier
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echecq 15

En fait je n'ai pas de stratégie gagnante pour l'un ou pour l'autre , je sais simplement lequel va gagner s'ils jouent au mieux .

Vasimolo

 #8 - 02-10-2012 00:13:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Echeccs 15

NB : quand je parle de position gagnante (ou perdante), il faut comprendre pour le joueur à qui c'est le tour de jouer.

Supposons qu'il y ait une stratégie gagnante pour le deuxième joueur.
Alors, pour les coups 1 et 2 de l'exemple donné par Vasimolo, le deuxième joueur possède un coup n°3 à jouer donnant une position perdante A. Imaginons à présent que le premier joueur applique comme coups 1 et 2, les coups 2 et 3 de la position A, mais avec un quart de tour de l'échiquier. Cela donne (au quart de tour près) une position A' qui est la même que la position A, mais sans la case 1, qui était une case pénalisante pour le joueur venant de jouer. A fortiori, cette position A' est donc perdante. Ceci est contradictoire avec notre hypothèse.
Ceci prouve que le deuxième joueur n'a pas de stratégie gagnante, et donc que c'est le premier joueur qui en possède une.

 #9 - 02-10-2012 12:51:54

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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Echecs 155

Bonjours,
J'ai déja rencontré ce genre de problème.
En raisonnant par l'absurde et en considérant une partie gagné à tout les coup par le deuxième joueur, le premier joueur doit essayer de lui "piquer" sa partie optimale big_smile

Imaginons donc une partie optimale gagné par le deuxième joueur, notons 1,2,3... les positions successives du cavalier.

Déja pour simplifier faisons comme si le premier joueur pouvait choisir en plus son mode de déplacement lors du premiers coup (quitte à pivoter l'échiquier de 90° et les déplacements semblent intervertis).

L'idée est que le premier joueur place le cavalier à la position 2 de la partie optimale, et qu'il déroule la partie comme l'adversaire l'aurait fait, jusqu'à ce qu'il perde.

Mais aïe! la position 1 laissée vacante pourrait être exploiter par le deuxième joueur pour retourner la situation à son aventage. C'est embarrassant...

Sauf si la partie optimale commence dans un coin! Il n'y a que deux point d'accès pour se rendre dans un coin. L'un d'eux est la position 2, l'autre point d'entré implique un déplacement que seul le premier joueur peut effectuer. Si il en a occasion, le premier joueur peut même accélérer sa victoire en retourant danc le coin.


Conclusion : soit le premier joueur a une stratégie optimale partant d'un coin, soit il a une stratégie optimale partant d'un "point d'accès" à un coin.

Mathieu smile

 #10 - 02-10-2012 17:53:04

Vasimolo
Le pâtissier
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Eches 15

@Titoufred : je suis ne suis pas convaincu par ta gestion de la case 1 smile
@Mathieu : c'est bien l'idée mais on peut justifier le gain plus simplement , sans recours à des parcours optimisés .

Vasimolo

 #11 - 02-10-2012 18:48:56

titoufred
Elite de Prise2Tete
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Ecchecs 15

L'idée est assez simple. Supposons que les coups 1,2,3 de ton exemple donnent une position perdante A à rouge. Alors je dis que si on "retire" le coup 1 (c'est-à-dire qu'on autorise à nouveau la case 1), puisque la case est noire, ceci ne peut qu'être favorable au joueur bleu et donc a fortiori cette position A' va être perdante pour le joueur rouge à qui c'est le tour de jouer. Ensuite vient le coup du quart de tour et du décalage de coups qui fait que le premier joueur peut refiler cette position perdante A' à l'autre joueur.

 #12 - 02-10-2012 19:20:33

Vasimolo
Le pâtissier
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Echces 15

D'accord la case 1 n'est accessible que par l'un des joueurs , mais si tu inverses les joueurs elle peut jouer un rôle stratégique pour le deuxième . Bref je ne 'ai pas compris comment tu l'élimines smile

Vasimolo

 #13 - 02-10-2012 20:22:59

titoufred
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Echecs 1

Supposons que les coups 1,2,3 de ton exemple donnent une position perdante A à rouge. Quoi que fasse rouge, bleu va trouver une suite de coups qui le mèneront à la victoire. Imaginons, qu'après le coup 3, on donne en plus la possibilité au joueur bleu de jouer une fois sur la case 1. Ceci ne peut lui nuire. Pour t'en convaincre, tu n'as qu'à te dire qu'il ignore cet avantage et qu'il s'interdit d'y jouer. Il est clair que cette situation A' est encore perdante pour rouge. Quoi qu'il fasse, bleu va trouver une suite de coups qui le mèneront à la victoire : disons qu'il fait les mêmes coups que ceux qu'il ferait à la suite de la position A. Cette position A' où la case 1 a été libérée est donc encore perdante pour le joueur rouge.

Maintenant en tournant l'échiquier et en considérant que c'est le premier joueur qui a joué les coups 2 et 3 de la position A, le deuxième joueur se retrouve exactement dans la position A'. Mais les rôles sont inversés. C'est à lui de jouer et il est dans une situation perdante.

 #14 - 03-10-2012 13:20:34

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 1

En effet ça marche car la case initialement numérotée 1 ne peut être atteinte que par le 1er joueur même si celui-ci commence par jouer 2-3 ( après rotation de l'échiquier ) .

Vasimolo

 #15 - 03-10-2012 19:03:45

Vasimolo
Le pâtissier
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Eches 15

Pour résumer :

Le premier joueur va gagner à chaque fois . En effet il n'y a pas de partie nulle et comme le jeu est parfaitement symétrique , si le deuxième joueur avait une stratégie gagnante le premier n'aurait qu'à la copier .

Que peut-on dire si le premier  joueur choisit uniquement la case de départ avant de laisser jouer le deuxième ?

Vasimolo

 #16 - 03-10-2012 19:11:35

nodgim
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Echeecs 15

A part que j'ai bien compris qu'il y aura un gagnant, je n'ai pas bien compris la stratégie à adopter pour y parvenir....

 #17 - 03-10-2012 19:29:08

Vasimolo
Le pâtissier
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zchecs 15

C'est un peu frustrant mais on ne dit rien sur la stratégie gagnante , on sait simplement qu'elle existe ce qui est déjà beaucoup smile

Vasimolo

 #18 - 03-10-2012 20:19:09

nodgim
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cEhecs 15

Ben à quoi ça sert que je me suis décarcassé en vain pour trouver le graal ?
Comme tu dis, oui, c'est frustrant.

 #19 - 03-10-2012 20:55:05

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecss 15

Sûrement frustrant , mais si tu relis bien le problème tu verras qu'on ne demande pas de décrire une stratégie gagnante mais simplement de savoir si elle existe smile

Tu peux essayer d'expliciter une stratégie gagnante et une autre pour le deuxième problème mais je crains que ce soit un peu difficile hmm

Vasimolo

 #20 - 04-10-2012 18:40:10

nodgim
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Echec s15

Je n'ai rien dit contre l'énoncé, Vasimolo. Je n'arrive pas à me décider pour ta seconde question...

 #21 - 04-10-2012 19:43:22

nodgim
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Echeecs 15

Bon, après réflexion, je ne vois pas trop pourquoi on ferait une différence entre le 1er scénario (A pose et joue) et le second scénario (A pose seulement).
La démo de titoufred s'applique aussi dans ce cas, il me semble.

 #22 - 04-10-2012 20:46:48

titoufred
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EEchecs 15

Non elle ne s'applique pas car retirer le coup 1, c'est donner un avantage à celui qui va jouer. La position perdante peut alors devenir gagnante.

 #23 - 04-10-2012 23:23:26

gwen27
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Ehecs 15

Sauf si avec tes trucs de graphe, il est possible de poser le pion sur une case "perdante" big_smile

Autrement dit si la stratégie gagnante dépend de la case de départ , on se fiche de l'option, sinon, tu as raison.

 #24 - 05-10-2012 18:31:19

titoufred
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ecjecs 15

Vasimolo a écrit:

Que peut-on dire si le premier  joueur choisit uniquement la case de départ avant de laisser jouer le deuxième ?
Vasimolo

J'ai trouvé qui a une stratégie gagnante dans ce cas là. Je la pose en énigme (dans une version légèrement différente, ici : http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=10706) parce que je trouve la solution assez intéressante.

Notons au passage que la stratégie proposée offre une preuve constructive pour la réponse donnée au premier problème posé sur ce fil : le premier joueur (qui pose et joue) possède une stratégie gagnante.

 #25 - 05-10-2012 18:32:11

nodgim
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Echcs 15

Exact, ça reste incertain. Le graphe d'une case et celui de sa suivante peuvent être différents, en plus (à cause de l'occupation ou de la libération de la 1ère case).

 

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