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 #1 - 29-10-2012 18:59:53

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Echanger les aguilles

Dans ce problème, on considère une horloge ne comportant que deux aiguilles : celle des heures et celle des minutes. Et l'on suppose que ces deux aiguilles se déplacent continument.

La plupart du temps, si l'on échange l'aiguille des heures avec l'aiguille des minutes, cela ne correspond à aucune heure du jour.

Par exemple, à 3 heures pile, l'aiguille des heures est pile sur le 3 et l'aiguille des minutes pile sur le 12. Si l'on échange les aiguilles, on se retrouve avec l'aiguille des heures pile sur le 12 et l'aiguille des minutes pile sur le 3, ce qui ne correspond à aucune heure du jour (A midi et quart, l'aiguille des heures devrait être entre le 12 et le 1).

Cependant, peu de temps après midi, il existe un instant pour lequel l'échange d'aiguilles correspond à une autre heure du jour.

A quelle heure précise cela se produit-il ?

La réponse est attendue sous le format hh:mm:ss (arrondie à la seconde près).



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 #2 - 29-10-2012 21:16:56

Passetemps
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 399

exhanger les aiguilles

Comment peut-on avoir une réponse arrondie à la seconde près alors que l'horloge ne comporte que deux aiguilles, celle des heures et celle des minutes?roll

 #3 - 29-10-2012 23:35:36

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Echangger les aiguilles

Passetemps, j'ai quelque peu modifié l'énoncé en espérant que cela soit plus clair.

 #4 - 30-10-2012 00:31:25

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

Echangre les aiguilles

12:05:02 big_smile

Je raisonne avec les angles, mais on aurait pu simplifier, c'était juste pour mieux visualiser.

Si l'aiguille A des heures forme un angle de y° avec midi, l'aiguille B des minutes doit faire alors 12y. (conversion, 360/30)
Si l'aiguille A est lue comme étant une petite aiguille, l'aiguille B doit se trouver à 30x+y/12 (trentes degrés par heures qui ne changent pas la position de A minute)
On résout l'équation 12y=30x+y/12, en prenant x = 1, pour que y soit le plus petit possible et que l'évènement se produise la première fois.
Soit 12y=30+y/12 qui donne y = 360/143 degrés. On convertit les degrés en minutes puis secondes en prenant en compte le fait que y est l'aiguille des heures.

C'est arrivé à l'instant, j'ai testé !

 #5 - 30-10-2012 07:30:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Echanger les aiguliles

J'avais bien compris le probléme, même sans la modification du texte.
Quand l'aiguille des minutes est sur n (en minutes), celle des heures est sur n/12.
Quand j'inverse, l'aiguille des minutes est donc sur n/12 et celle des heures sur 5N + n/144, N étant un nombre entier (immédiatement inférieur aux heures indiqués).
Donc n = 5N + n/144, ce qui donne n = 720.N/143 et l'heure cherchée est donc:
12 heures, ent(720.N/143) minutes et 60.[(720.N/143) - ent(720.N/143)] secondes
L'horaire 12:05:02 correspondant à N=1 est validée, mais logiquement les suivants (12:10:04, 12:15:06, 12:20:08, 12:25:10, etc) devraient être corrects aussi: qu'en penses tu ?

 #6 - 30-10-2012 09:59:20

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Ehanger les aiguilles

Bonnes réponses de JulesV et Franky1103.

@Franky1103 : oui, tu as parfaitement raison, cela se produit plusieurs fois par jour. La case réponse valide la première fois après midi.

 #7 - 30-10-2012 10:10:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Echnager les aiguilles

A 12 h 5mn et 2s
puis à 12h10mn04s

 #8 - 30-10-2012 15:41:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Echanger ls aiguilles

Bonjour Titoufred

Le temps en minutes est donné par [latex]t=\frac{720k}{143}[/latex] avec [latex]k[/latex] entier naturel .

La première valeur de [latex]t[/latex] après midi correspond à [latex]k=1[/latex] c'est à dire [latex]t=00:05:02[/latex]

Refusé par la case réponse mad

Vasimolo

Suis-je bête [latex]12:05:02[/latex] est accepté smile

 #9 - 31-10-2012 10:02:28

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 933

EEchanger les aiguilles

Peu après 12h05, l'échange correspond à 13h00 et des poussières.
Les deux heures seront 12h05+x et 13h00+y, x et y en minutes.
y=(5+x)/12 & x=y/12 puisque la petite aiguille tourne 12 fois moins vite que la grande.
12y=5+x avec y=12x
144x=5+x donne x=5/143 en minutes
En secondes : 2,0979021
Il sera donc 12h 05min 02s et 9,8 centièmes environ.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #10 - 31-10-2012 10:44:35

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

echanher les aiguilles

J'aime bien cette énigme aussi. Je l'aime bien parce qu'il faut être précis dans son raisonnement pour ne pas s'embrouiller. Il se trouve que c'est aussi une condition suffisante pour trouver la réponse smile

J'appelle t la durée écoulée depuis midi.
Pour une durée t, je note [latex]\theta_h(t)[/latex] l'angle formé par l'aiguille des heures avec la position des aiguilles à midi et [latex]\theta_m(t)[/latex] celui formé par l'aiguille des minutes.

De façon générale, puisque l'aiguille des heures fait le tour du cadran en 12 heures: [latex]\theta_h(t)=2\pi\dfrac{t}{12}[/latex].

Pour l'aiguilles des minutes, une subtilité s'ajoute: elle fait un tour par heure et repart de la position [latex]\theta_m=0[/latex] à chaque heure.

On a donc: [latex]\theta_m(t)=2\pi(t-E(t))[/latex] où E(x) désigne la partie entière de x.

Une fois posé les bonnes notations, le plus dur de l'exercice est fait, il ne reste qu'à conjuguer...

"peu de temps après midi": je prends pour hypothèse que cela veut dire entre midi et une heure. J'appelle t la durée entre midi et cet instant. Mon hypothèse équivaut à E(t)=0. Et donc: [latex]\theta_m(t)=12\theta_h(t)[/latex].

En inversant les aiguilles, on trouve une heure "valide". Soit t' la durée écoulée depuis midi lors de cette heure.
[TeX]\theta_m(t')=\theta_h(t)[/latex] et [latex]\theta_h(t')=\theta_m(t)[/TeX]
Et donc d'après ce qui précède:
[latex]\theta_h(t')=12\theta_m(t')[/latex].

Et d'après les formules ci-dessus, on a:

[latex]12.2\pi(t'-E(t'))=2\pi\dfrac{t'}{12}[/latex].

Ce qui donne: [latex]t'=(1+\dfrac1{143})E(t')[/latex].

On s'aperçoit qu'il y a donc plusieurs solutions.
Regardons la première qui correspond à E(t')=1.

On a alors [latex]t'=1+\dfrac1{143}[/latex], ce qui correspond à 1h00'25''.

Pour trouver l'heure avant transformation, on se sert de l'échange des aiguilles.
La position (précise) de l'aiguille des heures avant transformation (qui nous permet de trouver l'heure) est celle de l'aiguille des minutes après transformation:

[latex]\theta_h(t)=\theta_m(t')[/latex].

Soit: [latex]2\pi\dfrac{t}{12}=2\pi\dfrac{1}{143}[/latex],

Soit: [latex]t=\dfrac{12}{143}[/latex] ce qui correspond à 12h05'02''.

On trouve de même les autres solutions très facilement pour une heure initiale entre midi et une heure:
[latex]\dfrac{24}{143}[/latex] (12:10:04/2:00:50), [latex]\dfrac{36}{143}[/latex] (12:15:06/3:01:16), ...

Voila j'ai essayé de rédiger proprement et précisemment, ce qui était sans doute la partie la plus délicate de l'exercice. smile
Merci pour cette énigme.

 #11 - 01-11-2012 09:53:57

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

echanger les aiguulles

Ca se produit lorsque les aiguilles ont la même position, vers 01:05...

Exactement, soit h l'heure où ça se produit, alors l'angle formé par l'aiguille des heures avec la verticale est h*30 en degrés, et celui formé par celle des minutes (h-1)*360.

Donc 30h=360h-360,
h=360/330=12/11=1.0909=1h05mn27s environ

Pas validé, normal, erreur de lecture d'énoncé !

En fait, l'heure peut changer, mais doit avoir un sens.

Il s'agit donc plutôt de 12:05 environ qui doit correspondre à 13:01 environ. En écrivant que la somme des angles formés par les deux aiguilles doit être égale :
30h+360h=30k+360k-360
390(k-h)=360
k-h=0.923=0h55mn23s environ

Et la différence aussi :
360h-30h=30k-(360k-360)
330(h+k)=360
h+k=1.0909=1h05mn27s

Donc 2k=2h0mn50s, k=1h0mn25s
et h=1h05mn27s-1h0mn25s=0h5mn2s

Il sera donc 12h05mn02s (qui correspondra à 13h0mn25s)

 

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