Enigme Des zéros, oui mais... @ Prise2Tete

nodgim · #1

Bonjour à tous.
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024

1 zéro dans une puissance de 2 au bout de 10 opérations, c'est plutôt long à trouver...Peut on en trouver 2 consécutifs, ou 3 ou même plus ?

Bonne recherche

enigmatus · #2

Bonjour,
Pas fait à la main, bien sûr…

Code:

 1          0 2**   10
 2         00 2**   53
 3        000 2**  242
 4       0000 2**  377
 5      00000 2** 1491
 6     000000 2** 1492
 7    0000000 2** 6801
 8   00000000 2**14007

Édité :

Code:

9  000000000 2**100823

Pour 10, s'il y a une solution (ce qui est probable), la puissance est supérieure à 500000.

Édité (2) :
À la suite d'un long calcul en python, j'obtiens ceci pour 10 zéros (conforme au lien donné par dhrm77 à la fin du message #5)

Code:

10 0000000000 2**559940

NickoGecko · #3

Bonjour

Après 1024, deux puissances de 2 comportent un zéro
2048, 4096

cela en fait déjà trois d'affilée !

nodgim · #4

@Nicko Gecko : des zéros successifs dans une seule puissance de 2 !
@Enigmatus: il ne te reste plus qu'à cogiter sur ton résultat pour tenter d'en déduire que....

dhrm77 · #5

Trouver des '0' consécutifs:

premier nombre avec 1 '0' consecutifs:
2^10 = 1024
premier nombre avec 2 '0' consecutifs:
2^53 = 9007199254740992
premier nombre avec 3 '0' consecutifs:
2^242 = 7067388259113537318333190002971674063309935587502475832486424805170479104
premier nombre avec 4 '0' consecutifs:
2^377 = 307828173409331868845930000782371982852185463050511302093346042220669701339821957901673955116288403443801781174272
premier nombre avec 5 '0' consecutifs:
2^1491 = 6850519943444148192896013273492355076860159351627115004702304301716985127063148867901773610661126808916630938827233890
1170497165901308515144865310386727931343535071260408393094700786546061451067454457391289333260647178629423723325244889
8816197557825091114307651395358115415022917209577261642767771202747545194418168313629832668491420566499087408538908860
83405397212467377035143021587233073571308500000341901085017693125848012770286553757194752360448
premier nombre avec 6 '0' consecutifs:
2^1492 = 1370103988688829638579202654698471015372031870325423000940460860343397025412629773580354722132225361783326187765446778
0234099433180261703028973062077345586268707014252081678618940157309212290213490891478257866652129435725884744665048977
9763239511565018222861530279071623083004583441915452328553554240549509038883633662725966533698284113299817481707781772
166810794424934754070286043174466147142617000000683802170035386251696025540573107514389504720896
premier nombre avec 7 '0' consecutifs:
2^6801 = 2018368737308746034960670787049517427932715714677963571025956328789914244630744939655319437664954954473218980545396494
1287117332349807961845968987094082205638820641985274601075228798194408385586863775758130249661043124404047205369979402
1012450900678592159202221067186018047489680554937424241508712624330347244331542109592399661196138756880171019739578885
6762006715423184997216663959935738965349992022396029669476515909241032357927107773201668849648641513488181281212059709
0085238779436577328561310427633376701455170723679984261424409086813882789134901238252835879089500000007784845918211269
8765851998864687735370679164225536379420842961803152279096676335263086221604539067745540399774188775781982254536179073
9802923787029215199521697215348963993824382436245999955592207735077828635740776610779380459289732074279249241674089600
9983541060820246839826616223053856187254570389115926024902986297769772302368801962559817563044001521890924099176706363
7206206142133371517905248972371848199178904029181997615380773873319531937795374200905125970849680493687902175931238434
3385363348087635317606942523799754522748363067328093980965170154587917064165748691133914573471242449819558571165600837
2280817082865363124660104419656697341283961100806007920483877587997931599671628439148801310673164340829308511104223422
1365442091381207554918041221818429587004526390359495998554035274892435693154091288942367542222501335837587073979185632
0272074068519178563577189678537498800642450780364143696775877226940342631421193851774733710111794408533664885891275054
0490583941341768853329676606213106781004672766478536906008349915911804677716923749055270103849737828740300022172530983
8377458645395269029802127818256217492473685467008121796090793979868062532342326656709441565648488784528939408665002870
8001251452522919443498484087853732856139266612539256584609329469478143847118157468341549543546016378221618728937408483
2475761258142086557995564565457558432688561937282780877502673308818669274021195789490383594360483708898503857927341665
254697222189001784070888784966164259274752
premier nombre avec 8 '0' consecutifs:
2^14007 = 3366272470176399078898356855604123292451547586024616748225321619179440438646293915455822251957083168790275365058169103
2990479072799318696666237709341257264839835242929110949669174137364243469311460992127696470643143756317740303484788330
4862665396223126187712911974214375780492344162612814319919488309017974134538846604708366214641268412319787462658878392
7450887432153639999725945493781697303149082382654003048113089720225755325735832037769262242304660122785117498467777414
7733075916511439807221461359073816036944080183143324847649511019232969846355328518957775425194152798871284518737227609
2051959084574118596748644838259820645499314214542369733390812009307673613200659560870763343764286818531635193824058385
8899725716834212411134434967779940895753422898489029945346615895377783840097924417252643116512471362377442057882828953
6740819845163536234252243790373191315831410686976589520358257120642067873508197576308895881769257696692225143327131149
8418615488069936562976613062548306662179850433749725717960076000335096950043953089723847477487951304870993382425564482
8908475535692390574185596520249563832096720735438185633320714803484210853577788398757540772579922379036611562950494902
4423462714994678260166485662451281221484552628252933912156726887458639863215683826892908038855588184290296919412061281
3017668176055733030852938962785375814257676382545605570175109866401680631746354382943764908578351235377904957117321240
1005663476936028743496843533852588728653024171999199367764054505090286277362984305095825561795016780443117510377279218
5843201947553633141014209013075411674367080160943054330273434386885889137984357028029178764198808339104123914518842825
2390476852990153797373055905466153704770036858433428611568324723236009137899409128328788556601645653446518245912651859
2693119644449085012256355113681854264441459954678508942819958334588895868531966170942165602606723860186190556240220532
0713933051688627769755037093026916953693267238918393033938985982357071756801119765376591242114584551141304178345121338
5106972486502058269569293904734297788779763912721180225093019437706455451364423326669224665482810369799756807523222571
7693981025632648766668276377822916199926332080408831513188244053866647996142542382716577490340823581048791287094226656
9611001950423829471861912889720958429519410877005525092263139551775876460244721275301760850001796608410911546094490032
7527614098144077656587717499683965276799934504941473643646035684923111708468958971472181398403577007446693186413621728
6041866608188000843078788274891853988171934613966449874151195028429580342970945144678995009651834646617961593702873935
7484696814425322336239612113923325330847946073081496234993152251179378322007361257399204233807479430257082454414739899
1888908460165122087322152268011581207773560390206282835787700467591128228637730175174058379844803659249317442480204561
2419268539014644683622171644817154504316308234178846562258880603156185154979041473468867250657250660041334263976080502
4820686310843892813094162438647666356980251921593995673049964899409519027505674330894696167111286042855672147955648618
4443505975896750889095178318114219775773317661362512063125798427036687272593771037047595886528826680408800644298634426
6907053894560793929690067357517861646226248747301028658965934924293208414477418555899020569200202180262965313450159938
0378207377925537090373625309930859400469941205004292010189639672282673042889881215331609558146147924611385253494236473
6786121375989926988693905519462217107569342178420328791660300000000321396608757682208184786718550580089193781283154953
8122104163682429846144721261843802987168829011175663949629210240359315700197105178081537261525640875038407448819325651
3383736924327969966671551502540547351930865182318552076674539068213023609537826732224448324661367487992819750139629325
1605674916319891085983406510940406816471127584952761699174164506467584576601690050350169071842586723235217338581323493
7724375296476337758834631167125502249848717287052323868823727498857925543131093451510974704355504314452780680173499643
6116124684615079621857900466989218371159762912644942617389369626802994855326768788247937341632109249492575848180947430
156437831245815185340839376921637308770763013748956540802880891289897190564060230320128

Voir séquence A006889 sur OEIS... On n'invente plus rien...!

dhrm77 · #6

Pourquoi se limiter aux zeros?

premier nombre avec 2 '5' consecutifs: 2^16 = 65536
premier nombre avec 3 '7' consecutifs: 2^24 = 16777216
premier nombre avec 4 '5' consecutifs: 2^41 = 2199023255552

premier nombre avec 5 '6' consecutifs: 2^220
= 1684996666696914987166688442938726917102321526408785780068975640576

premier nombre avec 6 '8' consecutifs: 2^971
= 19958403095347198116563727130368385660674512604354575415025472424372118918689640657849
57965492635701089342446844192495243972437988393593660739171798284831420320005672951085
67651753772144436298718265335674454392399333081045512087038888885526844804415750712090
68757560416423584952303440099278848

premier nombre avec 7 '7' consecutifs: 2^972
= 39916806190694396233127454260736771321349025208709150830050944848744237837379281315699
15930985271402178684893688384990487944875976787187321478343596569662840640011345902171
35303507544288872597436530671348908784798666162091024174077777771053689608831501424181
37515120832847169904606880198557696

premier nombre avec 8 '1' consecutifs: 2^8554
premier nombre avec 9 '9' consecutifs: 2^42485
premier nombre avec 10 '9' consecutifs: 2^42486

NickoGecko · #7

ah ! bien sûr

unecoudée · #8

salut.
[TeX]2^{204}=A\times 10^4 + 2016[/TeX]
ce nombre se termine par 2016 , normal puisque 2016 est au moins divisible par 16
de même pour 1008 , 504 lui , est divisible par [latex] 2^3 = 8[/latex]

donc j'ai pour l'instant 5 puissances de 2 successives avec:
[TeX]2^{202} ,2^{203} , 2^{204} , 2^{205} , 2^{206} [/TeX]
ces 5 puissances se terminant par : 504 , 1008 , 2016 , 4032 & 8064

Franky1103 · #9

2^53 = 9 007 199 254 740 992 semble être la première puissance de deux avec deux zéros consécutifs. Affaire à suivre ...

shadock · #10

2^53 = 9007199254740992 donc c'est possible.

gwen27 · #11

La suite des puissances de 2 formant un nombre univers, oui, autant de zéros que l'on veut.

Vasimolo · #12

Bonjour Nodgim

Voilà deux exemples avec deux zéros consécutifs :

D'après wiki 0,1248163264.... est un nombre univers , on peut donc trouver des suites de zéros de la longueur que l'on veut .

Vasimolo

nodgim · #13

Pas de réponse nette pour l'instant.

Des algos montrent qu'on peut trouver des zéros consécutifs dans une puissance de 2. Et apparemment, sans autre limitation que la puissance de calcul...

Il est dit aussi que la suite des puissances de 2 écrites à la queue leu leu forme un nombre univers. Peut être, mais il faudrait prouver cette assertion....

Je donne un indice qui devrait relancer la recherche: Fermat !

nodgim · #14

Pour l'instant tout de même, une réponse intéressante de Unecoudée qui m'avait échappée. Unecoudée est sur la bonne voie, il faut creuser un peu, même s'il doit revoir l'énoncé qu'il n'a pas compris parfaitement.

unecoudée · #15

salut.

ce serait donc : trouver un puissance de 2 ayant 2 , 3 ..n zéros consécutifs .

nodgim · #16

@ Unecoudée: oui.

masab · #17

2 exemples
[TeX]2^{53} = 9007199254740992[/TeX]
[TeX]2^{242} = 7067388259113537318333190002971674063309935587502475832486424805170479104[/TeX]

nodgim · #18

Oui, masab, des exemples, j'en ai eu beaucoup déja. Pourtant, et là je donne un gros indice, quel que soit n, il existe 1 puissance de 2, supérieure à 2^n, qui vaut 2^n modulo 10^n.

Agid1915 · #19

Il existe une formule donnant exactement de zeros consecutifs pour les puissances de 7 (Art of Problem Solving).
Je pense que pour les puissances de 2 on peut trouver de meme une formule sans faire fonctionner un programme.
Cela demande de se briser les neurones bien sur.

unecoudée · #20

salut.

une puissance de 2 peut se terminer par un nombre A de n chiffres si et seulement si
ce nombre A est divisible par [latex]2^n[/latex]

par exemple une puissance de 2 peut se terminer par 0000000008192
puisque [latex]8192 = 2^{13}[/latex]

1024 se termine par 024 puisque 24 est divisible par [latex]8 = 2^3[/latex]

je confirme donc ma réponse #8 , à savoir que le nombre de zéro successifs sur
une puissance de 2 peut être très grand.

nodgim · #21

Unecoudée, je suis d'accord avec toi, c'est un peu ce que j'ai écrit comme gros indice. Il reste à le prouver.
Sinon, si quelqu'un sait pourquoi la suite des puissances de 2 est un nombre univers, ça fera également une bonne réponse. Je viens de comprendre pourquoi, et ce n'est pas compliqué.

Je ferai une réponse complète bientôt si ça reste en l'état.

unecoudée · #22

bonsoir.

On veut démontrer que le nombre [latex]000000abcd [/latex] termine une puissance de 2 par exemple le nombre [latex]2^n[/latex]
mais pour l'instant on ignore si abcd est un multiple d'une puissance de 2
alors :
[TeX]2^n = A \times 5^{10} \times 2^{10} + abcd[/TeX]
Alors [latex]abcd = 2^n - 2^{10}\times A.10^{10} = 2^{10} \times \left[2^{n-10} - A.10^{10}\right][/latex]

abcd doit donc être au moins un multiple de [latex]2^{10}[/latex]

et c'est le cas pour 000000abcd = 0000001024

Il existe donc une puissance de 2 se terminant par 0000001024
mais aussi par 0000000008192 puisque [latex]8192 = m.2^{13}[/latex]
avec m = 1 dans ce cas .
Mais une puissance de 2 peut se terminer par 1024 , 01024 , 001024 ,.., 000001024 (6 zéros au maximum) , 9 zéros au maximum pour 8192 ..

Franky1103 · #23

dhrm77 a écrit:
Voir séquence A006889 sur OEIS... On n'invente plus rien...!

J'avais effectivement vu ça aussi: OEIS est vraiment partout !

gwen27 · #24

On peut trouver une puissance de 2 qui commence par n'importe quel nombre.

Pour un nombre N à k chiffres, il suffit que :

N 10^k' < 2^m < (N+1) 10^k' avec k'>k

Avec les logarithmes :

log (N) + k' < m log (2) < log(N+1) + k'
Je ne sais pas le prouver , mais je pense qu'avec m et k' suffisamment grands, ça doit toujours être possible.

nodgim · #25

Oui Francky, mais OEIS trouvera t'il une puissance de 2 avec 1000 zéros consécutifs ?

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#1 - 13-08-2016 14:13:26

des zéros, ouu mais...

#0 Pub

#2 - 13-08-2016 17:38:17

Des zéros, oui mais..

Code:

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#3 - 13-08-2016 17:55:09

Des zéors, oui mais...

#4 - 13-08-2016 18:48:01

Des zéros, oui mas...

#5 - 13-08-2016 19:35:56

des zétos, oui mais...

#6 - 13-08-2016 20:02:14

drs zéros, oui mais...

#7 - 13-08-2016 20:19:29

des zéros, oui lais...

#8 - 13-08-2016 20:26:46

des zéros, oui lais...

#9 - 13-08-2016 21:54:45

Des zéros, oui mais..

#10 - 13-08-2016 22:34:21

Des zéros, oiu mais...

#11 - 14-08-2016 07:25:33

des zérod, oui mais...

#12 - 14-08-2016 10:03:07

des zéros, oui lais...

#13 - 14-08-2016 12:08:06

Des zéroos, oui mais...

#14 - 14-08-2016 12:37:37

dzs zéros, oui mais...

#15 - 14-08-2016 20:20:06

des zéros, oui mzis...

#16 - 15-08-2016 08:24:32

des zéros, oii mais...

#17 - 15-08-2016 08:59:56

Des zéros, oui mai.s..

#18 - 15-08-2016 10:55:55

Des zéros, ou mais...

#19 - 16-08-2016 03:01:49

Des zérs, oui mais...

#20 - 16-08-2016 13:34:32

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#21 - 16-08-2016 17:21:40

Des zéros, oui mais..

#22 - 16-08-2016 18:59:25

Des zéros, ui mais...

#23 - 16-08-2016 20:22:56

Des zéros, oui maiss...

dhrm77 a écrit:

#24 - 17-08-2016 07:58:11

des zérod, oui mais...

#25 - 17-08-2016 08:01:38

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