Heu, je peux me tromper, mais il me semble qu'un problème similaire a été posé il y a moins de 6 mois (avec 4 valeurs si mes souvenirs sont bons !)

J'ai retrouvé :

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=10743

J'ai trouvé 722 après une longue recherche sur excel, ce doit être bon... (J'ai listé toutes les sommes possibles avec ces 3 pièces).

Golgot59 c'est OK pour toi, mais comment aurais tu fait sans le tableur ?

Oui masab. Méthode employée ?

Voici la justification de ma réponse !
Soient a,b entiers naturels premiers entre eux.
Il est connu que tout entier n>=(a-1)*(b-1) peut s'écrire sous la forme n=u*a+v*b où u et v sont des entiers naturels.
On applique ce résultat à a=31, b=73.
On obtient que tout entier n>=30*72=2160 peut s'écrire sous la forme n=31*u+73*v où u et v sont des entiers naturels.
A fortiori tout entier n>=2160 peut s'écrire sous la forme n=31*u+73*v+97*w où u, v et w sont des entiers naturels.
Il reste à étudier les entiers n<2160.
S'il existe u,v,w tels que n=31*u+73*v+97*w, alors on a u<=69, v<=29, w<=22. On est donc ramené à étudier un nombre fini de triplets (u,v,w) et à voir pour chacun d'eux si la relation n=31*u+73*v+97*w est vraie ou non.
Un petit programme informatique montre alors que la plus grande somme que l'on ne peut pas obtenir est 722.

La première séquence de 31 nombres consécutifs s'écrivant comme combinaison linéaire entière (CLE) de 31, 73 et 97 se trouve de 723 à 753 (inclus). A partir de là, il suffit d'ajouter les multiples successifs de 31 pour avoir tous les nombres.
722, lui ne peut pas s'écrire comme CLE de 31, 73 et 97, donc c'est la plus grand somme que l'on ne peut pas faire.

Je n'ai pas trouvé de formule vraiment générale à 3 nombres (pour 2 nombres premiers entre eux, je rappelle que la formule est pq-p-q).

Je n'ai pas trouvé de démonstration simple à l'aide de Bezout ou du résultat à 2 nombres sans devoir faire au moins un partie de recherche systématique (comme masab).
Il n'est pas facile de prévoir les "trous" dans les CLE de 31 et 73 pour voir comment par congruence module 97 les boucher...

J'attends donc avec impatience la solution de nodgim et en particulier s'il existe une formule générale pour 3 nombres...

Comme rivas, j'attends avec impatience la solution de nodgim, même s'il n'existe à priori pas de formule générale pour 3 nombres, car j'ai aussi cherché sans succès du côté de chez Bezout.

J'ai écrit la moitié de ce que j'avais en tête, désolé...

En fait, ce nombre existe toujours pour n nombres premiers entre eux dans leur ensemble, sans nécessairement qu'ils soient premiers entre eux 2 à 2.

Je suis flatté de constater que cette question éveille quelque intérêt.
Je n'ai pas trouvé de solution générale, mais la méthode proposée ci dessous permet, puisque la question se pose, de conclure..qu'il ne peut y avoir de solution toute faite.

Ma méthode:
On recherche dans l'expression 73a+97b les couples (a,b) tels que chacun d'eux donnent un résultat différent modulo 31.
On choisit 31 pour rechercher tous ses restes car 31 est le plus petit, il y a moins de restes à calculer par rapport à 73 ou 97.
Quand on aura trouvé les 31 couples (a,b), toutes les sommes seront disponibles, car à partir du couple (a,b) correspondant au nombre modulo 31, il suffira d'ajouter autant de 31 que nécessaires pour obtenir un nombre voulu.   
Pour trouver les (a,b), on établit un petit tableau d'additions a\b modulo 31. On n'est pas obligé de faire un tableau 31*31, heureusement: comme il y a 31 résultats différents, on commence par un tableau le plus près de 31 en nombre de cases, soit (6,5) quitte à trouver les restes manquants à la main. On choisit pour a une valeur plus forte que pour b, car 73 est plus petit que 97, car on recherche avant tout un 73a+97b minimum.

Soit ce tableau 6\5:
a\b  0    1     2     3      4
0    0    4     8    12     16
1   11  15   19    23     27
2   22  26   30     3      7
3   2    6     10    14    18
4   13  17    21   25     29
5   24  28     1    5       9

Ce tableau se construit rapidement par addition une fois qu'on a rempli les colonnes (a,0) et (0,b).

On a ici de la chance, toutes les valeurs sont différentes et il ne manque que le 20.
On l'obtient facilement en regardant le tableau et en cherchant la valeur min pour laquelle on l'obtient: (0,5)

La valeur maximale pour laquelle on obtient tous les restes modulo 31 est représentée par le couple (5,4) qui vaut
5*73+4*97=753=9 modulo31.
Toutes les autres valeurs modulo 31 sont obtenues avec des nombres plus petits.
Le 2ème nombre le plus grand après 753 est (4,4)=4(73+97)=680.
Tous les nombres compris entre 753 et 753 -30 sont donc aussi représentés.
Car 752=8 mod31=0*73+2*97+31k (cf tableau)
car 751=7 mod31=2*73+4*97+31j
.....
Le premier nombre non constructible est donc 753-31=722.

Comme je l'ai dit, le tableau d'addition modulo 31 s'est idéalement présenté (bien que les  3 nombres premiers aient été choisis au hasard). Mais ce ne sera pas toujours aussi facile: imaginons qu'on choisisse 31, 31+8=39, 3*31+8=101. En construisant le tableau d'addition, on aura pour (39k,0):8,16,24,...
et pour (0,101k)=8,16,24,...Donc c'est mal parti pour trouver les 31 restes différents de la division par 31. Il faudra aller chercher plus loin dans le tableau pour les trouver tous. On peut même se demander si on n'est pas ramené au même résultat qu'avec 31 et 39 seuls...
Donc impossible d'établir de règle.

Si on a plus de 3 nombres, aligner les restes modulo le plus petit et faire son "marché" par addition pour trouver toutes les valeurs.


Merci aux participants qui ont permis de confirmer  le nombre que j'avais obtenu.