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 #1 - 24-08-2013 17:06:49

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Origakku

Bonjour à tous,

Voici un problème trouvé dans "Sangaku" de Géry Huvent (édition dunod) :

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Origaku.png


Vous pliez une feuille carrée de manière à poser un sommet  sur un côté opposé.
(Ici on a pris le coin A, on l'a posé en F sur le côté BC).

Il faut exprimer le segment en rouge (HG) en fonction de r (le rayon du cercle inscrit du triangle GFC), et le justifier bien sûr smile


Bonne prise de tête ! smile

Indice :
Spoiler : [Afficher le message] Les triangles se suivent, mais ne se ressemblent pas (ou peut-être que si...)
Indice 2:
Spoiler : [Afficher le message] Il est facile d'exprimer le rayon d'un cercle inscrit à un triangle rectangle en fonction de ses côtés.



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Il y a sûrement plus simple.
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 #2 - 25-08-2013 10:12:34

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

oeigaku

En posant b=r/(1-r), je trouve :

HG=[b(b²+1)-2b²]/(1-b²)

Voici un aperçu de ma recherche :

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-origaku.jpg

Pour faire vite, j'ai commencé par définir le carré de côté 1, et la distance AE=a

J'en ai déduit EF, EB et par Pythagore BF que j'ai nommé b, puis par triangles BEF et FGC semblables (angles égaux) de rapport (1-b)/(1-a) les longueurs des côtés du triangle FGC, et enfin la longueur HG.

Ensuite j'ai calculé l'aire de FGC de 2 façons différentes (directement et par la somme des 3 triangles de sommet le centre du cercle), j'ai ainsi obtenu b en fonction de r

Ensuite il n'y a plus eu qu'à remplacer.

J'ai fait ces calculs un peu vite, on est dimanche matin, je ne suis pas à l'abris d'une ou 2 coquilles... hmm

 #3 - 25-08-2013 11:50:36

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

orogaku

Oui golgot59, c'est un excellent début smile
Il y a effectivement une toute petite coquille, dans la dernière ligne de ton calcul de r tu as oublié un carré.

Sinon tu peux encore simplifier l'expression de HG.


Il y a sûrement plus simple.

 #4 - 25-08-2013 23:52:46

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

orihaku

Proposition

J'ai sauvé ma soirée en résolvant ce problème, ce aurait été dommage de ne pas y arriver après avoir annulé une sortie pour ... lol

Je reprends la figure
http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Feuille_pliee.jpg

Notons x=AE.
Supposons AB=BC=BD=AD=1.
Notons enfin par [latex](A,\vec{i},\vec{j})[/latex], un repère orthonormé direct de centre A tel que [latex]\vec{i}=\overrightarrow{AB}[/latex] et [latex]\vec{j}=\overrightarrow{AD}[/latex].

EF=AE=x,
[TeX]EF^2=EB^2+BF^2[/latex] donc [latex]BF^2=x^2-(1-x)^2[/latex] d'où [latex]BF=\sqrt{2x-1}[/TeX][TeX]CF=1-BF=1-\sqrt{2x-1}[/TeX]
Coordonnées de quelques points clés:
A(0;0), B(1;0), E(x;0), F(1;[latex]\sqrt{2x-1}[/latex]), C(1;1), G(XG;1) et D(0;1).

Soient Aef et Afg les coefficient directeurs respectifs des droites (EF) et (FG).
Comme (EF) et (FG) sont perpendiculaires alors Aef*Afg=-1 or [latex]Aef=\frac{\sqrt{2x-1}}{1-x}[/latex] donc [latex]Afg=\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}}[/latex]
L'équation de (FG):
[TeX]Y=\frac{x-1}{\sqrt{2x-1}}*X+\sqrt{2x-1}+\frac{1-x}{\sqrt{2x-1}} (1).[/TeX]
(La droite (FG) passe par F dont on connait les coordonnées smile)

A partir de (1), on détermine XG (abscisse de G) sachant que YG=1:
[TeX]XG=\frac{-x+\sqrt{2x-1}}{x-1}[/TeX]
En déduisons CG:
[TeX]CG=1-XG=\frac{2x-1-\sqrt{2x-1}}{x-1}[/TeX]
On remarque que [latex]CG=CF*\frac{\sqrt{2x-1}}{1-x}[/latex]

Pythagore dans CFG: [latex]FG^2=CG^2+CF^2[/latex]  soit  [latex]FG=\frac{x*CF}{1-x}[/latex] (le développement laissé au lecteur).
[TeX]HG=1-FG=\frac{1-2x+x\sqrt{2x-1}}{1-x}  (2)[/TeX]
Par définition du cercle inscrit dans un triangle:
[TeX]r=\frac{2*S}{p}[/latex]  où S et p sont respectivement l'aire et le périmètre du triangle; r étant le rayon du cercle inscrit.

[latex]2*S=CG*FC=FC^2*\frac{\sqrt{2x-1}}{1-x}=\frac{-2(2x-1)+2x\sqrt{2x-1}}{1-x}[/TeX][TeX]p=FC+CG+FG=2[/latex] (après tout développement bien fait, les expressions de FC, CG et FG en fonction de x sont données; bon calcul si vous voulez vérifier smile)

[latex]r=\frac{2*S}{p}=\frac{1-2x+x\sqrt{2x-1}}{1-x}  (3)[/TeX]
On déduit le rapport recherché:
[TeX]\frac{r}{HG}=\frac{(3)}{(2)}=1[/TeX]
Merci pour ce problème qui m'a fait gagner quelques connexions de neurones lol

 #5 - 26-08-2013 20:22:42

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

orifaku

Félicitation kossi_tg ! smile
Par la méthode bulldozer, mais ça marche ! smile


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 27-08-2013 18:15:13

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

orihaku

Une autre méthode plus astucieuse smile

J'ai la flemme de tout réécrire en tapuscrit; donc je mets une photo du manuscrit hmm

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-feuille.JPG

 #7 - 27-08-2013 21:17:29

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Origak

kossi_tg : cool


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 29-08-2013 15:18:34

JJohn
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5

Origaaku

Bonjour,

Je passe par le point O, intersection du cercle et de FG.

OC=(1+racine(2))r (l'angle CDO vaut 45°)
OF=OG=1-x=OC (l'angle CFO vaut 45°)

D'où x=1-2(1+racine(2))r, 1 étant le coté du carré.

C'est tout simple où il y a un truc qui m'échappe ?

 #9 - 29-08-2013 19:46:47

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

orihaku

JJohn, je n'ai pas bien compris comment tu obtiens les mesures que tu donnes, mais elles sont fausses. Ou peut-être que si, mon dessin est peut-être trompeur,
mais le pliage montré sur la figure n'est qu'un exemple, le point F pourrait se trouver n'importe-où sur le segment CB.

@tous : je rajoute un indice


Il y a sûrement plus simple.

 #10 - 30-08-2013 14:19:59

JJohn
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5

Oriaku

cogito, très joli problème en effet.

M'était complétement fourvoyé et j'avais aligné l'intersection O entre le cercle et FG avec le centre du cercle et le point C, ce qui est tout à fait faux si on fait un schéma plus général.

La solution est GH=r, j'y suis arrivé en forçant beaucoup et en passant par de l'Analyse roll, ce qui n'est pas une belle démonstration (mais je suis nul en géométrie).

En résumé, en notant x=AE/AB, 1-x=EB/AB, on trouve comment exprimer le rayon en fonction de x, avec L=AB
r=L/(1-x)(1-2x+x*racine(2x-1))

Il faut se servir du triangle FCG et montrer que le coté FG vaut FC+CG-2r, ce qui se fait simplement avec les propriétés du cercle inscrit.

En tenant compte du fait que FH est égal à AB, le segment FG vaut (L-y) où y est la valeur que que l'on cherche y=GH

En développant, on obtient aussi, après moultes simplifications,
y=L/(1-x)(1-2x+x*racine(2x-1))

Je n'ai pas tenu compte des propriétés du triangle GHI, il doit mener à une démonstration plus géométrique sans passer par la variable x.

J'attends de voir la belle solution géométrique ! Joli casse tête wink

 #11 - 30-08-2013 19:40:49

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

origzku

Bravo JJohn, c'est la bonne réponse ! smile
Dans tous les cas la solution nécessite un peu de calcul quand même.

Pour tout le monde, je rajoute un deuxième indice.


Il y a sûrement plus simple.

 #12 - 31-08-2013 17:27:29

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

origaju

Le temps de l'énigme arrive a sa fin.
Bravo à tous, et plus particulièrement à kossi_tg qui a sacrifié une soirée pour ce problème, et qui a donné deux démonstrations wink

Voici une solution :

Pour le début je vais reprendre l'explication de golgot59 :
Supposons que le coté du carré soit égal à 1.
Soit a = EF et b = BF.

Alors on a :
  -EB = 1 - a.
  -En utilisant Pythagore dans le triangle EFB on obtient :
     a² = (1-a)² + b ² <->  a² = 1 -2a + a² + b²
       <-> b² = 2a - 1      (1)
       <-> a = (b² + 1)/2   (2).
   
  -Les triangle EFB et FCG sont semblables et de rapport FC/EB = (1-b)/(1-a), donc :
       -FC = 1-b = (1-a)(1-b)/(1-a)
       -FG = EF * (1-b)/(1-a) = a(1-b)/(1-a)
       -CG = BF * (1-b)/(1-a) = b(1-b)/(1-a)

Dans tous les calculs qui suivent, nous utiliserons (1), (2).
Maintenant on peut calculer d'une part HG :
   HG = 1 - FG = ((1-a) - a(1-b))/(1-a)  = ((1-2a) + ab)/(1-a) 
        = -2b² + (b²+1)b/(2(1-a)) = b(-2b + b² + 1)/(2(1-a))
        = b(1-b)²/(2(1-a)).

d'autre part on peut calculer r :
  comme CFG est rectangle en C on a :
   r = (1/2)*(CG + FC - FG) = (b(1-b) + (1 - a)(1-b) - a (1-b))/(2(1-a))
     = (b + (1 - 2a)) (1 - b)/(2(1-a)) = b(1-b)²/(2(1-a)).

On remarque ainsi que HG = r.

Bon, c'est vrai ça fait beaucoup de calcul.

C'est dommage que golgot59 se soit arrêté juste devant la ligne d'arrivé, mais
c'est un peu de ma faute, dans l'énoncé j'aurai du garder la question sous la forme : "démontrer que HG = r" plutôt que simplement "exprimer HG en fonction de r" hmm


Il y a sûrement plus simple.
 

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