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 #1 - 07-01-2013 12:32:57

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

glzce carbonique

Une sphère en glace carbonique de diamètre 1 dm est posée dans un récipient cylindrique d’un dm de diamètre.
De l’eau est versée dans le récipient de façon à ce que le niveau atteigne le sommet de la sphère.
On considère que l’eau a pu s’infiltrer par le bord et que donc le volume sous la sphère est entièrement rempli aussi (la densité de la glace carbonique est supérieur à 1 smile).

La sphère commence alors à se sublimer (lentement et) continument de façon homogène (autant de chaque côté à la fois) par son extérieur et reste donc sphérique tout le long de l’opération jusqu’à ce qu’elle ait complètement disparu.
Comme c’est de la glace carbonique, le résidu de sublimation est du CO2 qui s’échappe de l’eau (en bouillant), cela ne change donc ni le volume, ni la densité du liquide (d’où le choix de glace carbonique smile).
A la fin il ne reste que de l’eau dans le récipient.

La question est : la sphère, immergée au début, est-elle restée toujours immergée durant sa sublimation ?

PS: Utiliser de la glace carbonique pour refroidir son apéro sans le diluer avec l'eau d'un glaçon est un peu snob smile



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 #2 - 07-01-2013 18:17:49

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Glace carboniqe

Le niveau d'eau passe de 1 dm à (pi/4-pi/6)/(pi/4)=1/3, mais pas de façon linéaire. Soit h le niveau supérieur de la sphère (passant de 1 dm à 0) et H celui de l'eau.
H = (Vol_ini-Var_vol)/Surf_cyl = (pi/4+h³pi/6-pi/6)/(pi/4) = (2h³+1)/3
Voyons comment varie: H-h = f(h) = (2h³+1)/3 - h
La dérivée: f'(h) = 2h²-1 s'annule pour: h = V2/2 et f(V2/2) = (1-V2)/3 < 0
On en déduit que H-h est, au début de la sublimation, négatif. Puis, pour une certaine valeur (non calculée ici), H-h devient positif pour le rester jusqu'au bout.
A noter que la valeur de H = (2h³+1)/3 n'est valable que tant que H-h > 0 (le niveau supérieur de la sphère est pour H-h < 0 au dessus de celui de l'eau, mais H est alors plus difficile à calculer).
Conclusion: au début de la sublimation, le niveau d'eau passe en dessous du niveau supérieur de la sphère et, "à un moment donné", repasse au dessus (et le reste jusqu'à la fin).

 #3 - 07-01-2013 18:38:56

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Glac carbonique

Bonne réponse de Franky.

 #4 - 07-01-2013 19:24:14

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

glace xarbonique

Je dois chercher compliqué...

La hauteur de la sphère est 2R (R allant de 1 à 0 )

Le volume total est donc 4/3 pi R^3 + 2/3  pi

Si ce volume divisé par 2 pi est supérieur à 2R ça doit passer...

2/3 R^3 - 2R+ 1/3 dans l'intervalle 0 1   s'annule  pour 0,16... Donc, si je ne fais pas d'erreur la sphère va émerger un moment avant de replonger.

Ceci dit, il y a de fortes chances que je me trompe. D'ailleurs, plus je me relis, plus je me dis que c'est incohérent vu qu'elle est immergée au départ et à la fin... je pense plutôt que je vais reprendre ton problème en réfléchissant bien.

 #5 - 07-01-2013 20:15:00

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

glace catbonique

Je dirais oui car au fur et à mesure que l'eau s'infiltre la sphère rétrécit donc, elle reste toujours immergé mais comme c dans la catégorie Énigmes Mathématiques, je pense qu'il faut faire des calculs, je vais essayer ...

 #6 - 07-01-2013 21:49:13

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

glzce carbonique

Je ne comprends pas : Si le récipient est sphérique comme le contenant, aucune eau ne peut entre dans le récipient puisque la sphère en occupe déjà tout le volume...

 #7 - 07-01-2013 23:32:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Glace carboique

Désolé pour l'imprécision: le récipient est cylindrique de même diamètre que la boule de carboglace.

 #8 - 08-01-2013 12:47:01

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

glzce carbonique

La glace cessera d'être immergée dès qu'elle commencera à fondre et restera hors de l'eau au moins jusqu'à ce que la surface de la sphère soit plus petite que le double de la surface initiale de l'eau.
En effet pour une sphère immergée de surface S, quand elle perd dr de rayon son volume diminue de Sdr, son sommet descend de 2dr et le volume de l'eau descend de Sdr/Seau.
Évidemment dès que la sphère sort de l'eau le calcul différentiel se complique, mais au cas où le niveau se rapprocherait du haut de la sphère, alors le principe ci dessus redeviendrait valable.

 #9 - 08-01-2013 22:55:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

lGace carbonique

Je change les données, en partant d'un rayon 1 , on a 8pi/3 de volume d'esu.

Cela aboutit à l'équation : 4/3 + 2r^3/3-2r =0

Strictement positive pour 0<r<1 (la prochaine racine étant -2)

La sphère est donc toujours immergée.


Le détail en images demain...

 #10 - 08-01-2013 23:25:29

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

gmace carbonique

Je pense que l'eau autour de la sphère doit rapidement geler et la sphère restera donc sous la surface mais en contact avec elle jusqu'à ce qu'elle ait complètement disparue...

 #11 - 09-01-2013 10:46:28

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Glac carbonique

@gwen: ta première réponse était plus proche de la solution (même si la valeur numérique ne correspond pas à ce que j'ai)

@SabanSuresh: Tu as raison. Si c'est présenté comme un énigme c'est bien qu'il se passe quelque chose de pas totalement intuitif smile

@golgot59: Je ne suis pas sûr que l'eau puisse geler au contact de la sphère (le dégagement de bulles entraine une agitation de l'eau et celle-ci contenait de l'alcool smile) mais si c'était le cas, on dirait que non comme ça on pourrait faire l'enigme mathématique proposée smile

@w9Lyl6n: Qualitativement la réponse est correcte. J'ai par contre un peu de mal à comprendre la dernière partie de la réponse.

 #12 - 11-01-2013 15:17:42

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Glace carboniqe

Soit R le rayon du cylindre (et de la boule de carboglace au début) et r le rayon de la boule à un moment donné. r varie de R à 0. R vaut 0,5 dm mais je garde la variable pour les calculs (vérification de l'homogénéité des unités plus facile).

Je note V(r) le volume nécessaire d'eau pour que celle-ci recouvre tout juste la boule, c'est-à-dire que celle-ci soit tout juste immergée.
[TeX]V(r)=2r \pi (R^2-r^2)[/latex] (couronne cylindrique de hauteur 2r autour de la boule)

[latex] + \pi r^2.2r - \dfrac43 \pi r^3[/latex] (eau au dessus et et au dessous à la verticale de la boule dans un cylindre de rayon r et de hauteur 2r).

D'où en simplifiant: [latex]V(r)=2{\pi}(r.R^2 - \dfrac23 r^3) [/TeX]
On trouve bien que:
[TeX]V(R)=2\pi R^3-\dfrac43\pi R^3[/latex] et [latex]V(0)=0[/TeX]
Au début de l'expérience, le cylindre contient une quantité V(R) d'eau et comme la quantité d'eau reste constante, il y a toujours cette quantité d'eau tout au long de l'expérience.

Lorsque le rayon vaut 'r' il faut V(r) eau pour recouvrir la boule. Donc si [latex] V(R) \geqslant  V(r) [/latex] la boule est recouverte d'eau mais si [latex] V(r) > V(R) [/latex] la boule dépasse du niveau de l'eau.

Cherchons donc la condition sur r pour que la boule ne soit pas immergée:
[TeX] V(r)>V(R) \Leftrightarrow 2 \pi (rR^2 - \dfrac23 r^3) > 2 \pi (R^3 - \dfrac23 R^3) [/TeX][TeX] \Leftrightarrow 3rR^2-2r^3 > 3R^3-2R^3 [/TeX][TeX] \Leftrightarrow 2r^3-3R^2r+R^3 < 0 [/TeX]
Or on connait la racine évidente r=R donc:
[TeX] \Leftrightarrow (r-R)(2r^2+2rR-R^2) < 0 [/TeX]
Or r<R (on ne cherche pas la solution r=R que l'on connait déjà) donc:
[TeX] \Leftrightarrow 2r^2 + 2rR - R^2 > 0 [/TeX]
Polynôme du second degré en r à coefficient dominant positif: il est positif à l'extérieur des racines.
Celles-ci se trouvent très simplement:
[TeX]R\dfrac{\pm\sqrt2-1}2[/TeX]
Donc finalement, pour r variant de [latex]R[/latex] à [latex] R \dfrac{ \sqrt2-1}2 [/latex] la boule de glace dépasse du niveau de l'eau.
Donc dès que la boule se met à se sublimer et jusqu'à atteindre un diamètre d'environ 0,2 dm elle dépasse du niveau de l'eau et ensuite elle est recouverte d'eau jusqu'à avoir entièrement disparu.

J'ai trouvé cette énigme intéressante voire paradoxale qu'une boule recouverte d'eau et diminuant de volume se mette à dépasser le niveau de l'eau.

J'espère que vous l'avez aussi apprécié. Ne vous fiez pas toujours à vos intuitions smile

PS: J'ai pas mal galéré avec le nouvel interpréteur LaTeX. Il est très sensible...

 #13 - 11-01-2013 17:43:27

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

Glace carboniqque

La solution de w9Lyl6n m'épate vraiment.
Mais où est-il allé chercher ce pseudo ? lol

 

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