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#1 - 27-05-2011 12:58:21
nEcadrement de la factorielleJe commence par vous rappeller une inégalité utile √ab≤a+b2. Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
#0 Pub#2 - 27-05-2011 14:09:15
Enacdrement de la factorielleD'office, ça pue l'astuce gaussienne... d'où une somme valant 50×101=5050. Pareil ici, du moins pour n pair : n!=(1×n)×(2×(n−1))×⋯×(n2×n+12) D'après la fameuse inégalité utile, chacun de ces n2 sous-produits est inférieur à (n+12)2, d'où : n!≤(n+12)n Avec n impair, le principe est le même, on laisse juste de côté le terme central de la factorielle, qui est n+12, et hop. Partie de gauche Je pars de la même décomposition par paires d'entiers (pour n pair), et constate que la fonction f définie par f(x)=x(n+1−x) a pour dérivée f′(x)=n+1−2x, et donc est strictement croissante pour x≤n+12. Par conséquent, chaque terme du produit, de la forme f(x) pour x entier entre 1 et n2, est supérieur à f(1)=n. Il y a n2 termes, donc : n!≥nn2 Si n est impair, cette technique permet d'obtenir, en formant n−12 paires et en laissant l'élément central tout seul : n!≥nn−12×n+12 Il suffit alors de montrer n+12≥√n soit (n+1)2≥4n soit (n−1)2≥0. Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 #3 - 27-05-2011 14:26:01#4 - 27-05-2011 14:26:33
Encadrement de la factoielleUn peu tôt pour lâcher ce genre d'indices, non ? Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 #5 - 27-05-2011 14:53:20
Encadrement de la factoriele(n+1)/2 est la moyenne des nombres de 1 à n.
Si je ne me troupe pas, la factorielle n'est définie que pour des nombres naturels. Donc c'est un pléonasme. ^^ #6 - 27-05-2011 15:58:04
Encadrment de la factoriellen!=k=n∏k=1kn!=(k=n∏k=1√k)2n!=k=n∏k=1√k⋅√n+1−kn!≤k=n∏k=1k+(n+1−k)2n!≤(n+12)n Pour la deuxième inégalité, on remarque que: ∀a,b∈[1,+∞[,a⋅b≥a+b−1. Et on recommence: n!=k=n∏k=1kn!=√k=n∏k=1k2n!=√k=n∏k=1k⋅(n+1−k)n!≥√k=n∏k=1k+(n+1−k)−1n!≥√nnn!≥nn2 #7 - 27-05-2011 16:12:22
Encadremen tde la factorielleTout ce que j'ai retenu d'une de tes précédentes énigmes, c'est que quand tu nous souhaites bon courage, je peux m'attendre à y laisser des neurones. There's no scientific consensus that life is important #8 - 27-05-2011 17:37:51
Encadrment de la factoriellePour un nombre pair #9 - 29-05-2011 10:44:44#10 - 30-05-2011 13:15:34
Encadrement de la factorrielleJe ne crois pas avoir fait de pléonasme... Un mathématicien complet est topologiquement fermé! #11 - 30-05-2011 13:21:31
Encadremeent de la factorielleJ'oublie la réponse, et bien il suffit de lire la preuve d'irmo. Un mathématicien complet est topologiquement fermé! Réponse rapideSujets similaires
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