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 #1 - 27-05-2011 12:58:21

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

enxadrement de la factorielle

Je commence par vous rappeller une inégalité utile [latex]\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}[/latex].

Vous pouvez la démontrer ou trouver la preuve dans une de mes précédente énigme.

En utilisant cette inégalité et en associant entre eux des termes du produit qu'est [latex]n![/latex] de


façon astucieuse dans le but d'obtenir [latex](n!)^2[/latex], démontrer que

Pour tout [latex]n \geq1[/latex],  [latex]n^{\frac{n}{2}}\leq n!\leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n[/latex].


Bon courage.



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 #2 - 27-05-2011 14:09:15

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

encadrement de la fzctorielle

D'office, ça pue l'astuce gaussienne...



Partie de droite

Gauss enfant, d'après la légende, avait calculé la somme des entiers de 1 à 100 en remarquant :
[TeX]1+100=2+99=3+98= \dots = 101[/TeX]
d'où une somme valant [latex]50 \times 101 = 5050[/latex].

Pareil ici, du moins pour n pair :
[TeX]n! = (1 \times n) \times (2 \times (n-1)) \times \dots \times \left( \frac n2 \times \frac{n+1}2 \right)[/TeX]
D'après la fameuse inégalité utile, chacun de ces [latex]\frac{n}{2}[/latex] sous-produits est inférieur à [latex]\left( \frac{n+1}2 \right)^2[/latex], d'où :
[TeX]n! \le \left( \frac{n+1}2 \right)^n[/TeX]
Avec n impair, le principe est le même, on laisse juste de côté le terme central de la factorielle, qui est [latex]\frac{n+1}2[/latex], et hop.



Partie de gauche

Je pars de la même décomposition par paires d'entiers (pour n pair), et constate que la fonction f définie par [latex]f(x)=x(n+1-x)[/latex] a pour dérivée [latex]f'(x)=n+1-2x[/latex], et donc est strictement croissante pour [latex]x \le \frac{n+1}2[/latex].

Par conséquent, chaque terme du produit, de la forme f(x) pour x entier entre 1 et [latex]\frac n2[/latex], est supérieur à [latex]f(1) = n[/latex]. Il y a [latex]\frac{n}{2}[/latex] termes, donc :
[TeX]n! \ge n^{\frac n2}[/TeX]
Si n est impair, cette technique permet d'obtenir, en formant [latex]\frac{n-1}2[/latex] paires et en laissant l'élément central tout seul :
[TeX]n! \ge n^{\frac {n-1}2} \times \frac{n+1}{2}[/TeX]
Il suffit alors de montrer [latex]\frac{n+1}{2} \ge \sqrt{n}[/latex] soit [latex](n+1)^2 \ge 4 n[/latex] soit [latex](n-1)^2 \ge 0[/latex].


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 #3 - 27-05-2011 14:26:01

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

enczdrement de la factorielle

Gauss quand tu nous tiens ...


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 #4 - 27-05-2011 14:26:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Encadrement d ela factorielle

Un peu tôt pour lâcher ce genre d'indices, non ? smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #5 - 27-05-2011 14:53:20

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

encadrement dz la factorielle

(n+1)/2 est la moyenne des nombres de 1 à n.
Or (m-a).(m+a)= m²-a² <= m² avec m comme moyenne.
Et on a aussi:
(m-a).(m+a).(m-b).(m+c).(m-d).(m+d). ... < m^(6+...)
avec m comme moyenne de facteur de gauche.

D'où la seconde inégalité est vérifiée.

Je cherche la suite...

Pour tout n>=1

Si je ne me troupe pas, la factorielle n'est définie que pour des nombres naturels. Donc c'est un pléonasme. ^^

 #6 - 27-05-2011 15:58:04

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

encadrement de la facyorielle

[TeX]n!=\prod_{k=1}^{k=n} k
n!=\bigg(\prod_{k=1}^{k=n} \sqrt{k}\bigg)^2
n!=\prod_{k=1}^{k=n} \sqrt{k}\cdot \sqrt{n+1-k}
n!\leq \prod_{k=1}^{k=n} \frac{k+(n+1-k)}{2}
n!\leq\big(\frac{n+1}{2}\big)^n
[/TeX]
Pour la deuxième inégalité, on remarque que: [latex]\forall a, b \in [1, +\infty[, a\cdot b \geq a+b-1[/latex].
Et on recommence:
[TeX]n!=\prod_{k=1}^{k=n} k
n!=\sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k^2}
n!=\sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k\cdot (n+1-k)}
n!\geq \sqrt{\prod_{k=1}^{k=n} k+(n+1-k)-1}
n!\geq \sqrt{n^n}

n!\geq n^{\frac{n}{2}}[/TeX]

 #7 - 27-05-2011 16:12:22

Kikuchi
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 91

Encadrement d la factorielle

Tout ce que j'ai retenu d'une de tes précédentes énigmes, c'est que quand tu nous souhaites bon courage, je peux m'attendre à y laisser des neurones. lol


There's no scientific consensus that life is important

 #8 - 27-05-2011 17:37:51

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Encadrement de la factorilele

Pour un nombre pair
rac n!n! = rac (1*n)^2  rac(2*(n-2)¨^2 .... rac(n/2 (n/2 +1))^2
n! < (n+1 /2)^2 (n+1 /2)^2 .....n/2 fois
n! < (n+1)/2 ^n
pour un nombre impair
rac n!n! = rac (1*n)^2  rac(2*(n-2)¨^2 .... rac(n/2 +1)^2 pour un nombre pair
idem donc : n! < (n+1)/2 ^n

Pour la première partie, j'hésite à partir de n^n/2) =rac n^n... à voir.

 #9 - 29-05-2011 10:44:44

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

encadtement de la factorielle

Cet encadrement n'est pas très très fin.....

 #10 - 30-05-2011 13:15:34

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

ncadrement de la factorielle

Je ne crois pas avoir fait de pléonasme...
Quant à la finesse des inégalités, elle n'est pas si mal compte tenu des méthodes employées...

Bravo à tous.


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 #11 - 30-05-2011 13:21:31

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Encadrement de la factrielle

J'oublie la réponse, et bien il suffit de lire la preuve d'irmo.


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