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 #1 - 23-01-2013 19:14:37

titoufred
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Le canard et e chat (2)

Le chat est de retour, mais cette fois, énervé par sa récente mésaventure, il court 4,5 fois plus vite que le canard.

Sauriez-vous comment le canard peut faire pour goûter à nouveau cette herbe qui lui fait tant envie ?



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 #2 - 23-01-2013 19:32:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Le canard et lee chat (2)

Cela ne change rien à la solution, non ?

1-(1/4,5) = 0,7777....
ce qui est toujours plus petit que pi/4 = 0,785...

Si cette solution bis va au-delà de 4,65979 fois la vitesse du canard pour le chat, je réfléchis un peu plus....

 #3 - 23-01-2013 20:34:09

Franky1103
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Enigmes résolues : 49
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le canard et le cjat (2)

J'ai déjà vu cette énigme quelquepart (peut-être bien sur ce site), mais je ne me souviens pas du résultat. Tant qu'à faire, allons y directement à la généralisation:
le chat court k fois plus vite que le canard.
Soit R le rayon du disque. Le canard va d'abord courir sur un cercle de rayon R/k.
Ils vont ainsi courir à la même vitesse angulaire et sur un même rayon. Le canard
va ensuite diminuer très légèrement le rayon de son cercle de course: il va donc prendre de l'avance "angulaire". Il arrive un moment où le chat et le canard vont
être en "opposition de phase". Puis brusquement le canard bifurque au plus court
vers le cercle (selon le rayon où il se trouve alors).
Durée mis par le canard = R.(1-1/k)/v
Durée mis par le chat = R.pi/(kv)
Pour que le canard puisse goûter cette herbe (mais très brièvement) sans se faire avaler par le chat, il faut que:
R.(1-1/k)/v < R.pi/(kv) => k < pi+1
Et voilà, avec k=4 ça marche, mais avec k=4,5 ça ne marche plus.

 #4 - 23-01-2013 23:35:30

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
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le canars et le chat (2)

@gwen : pi/4,5 = 0,698...

@Franky : Ok cette stratégie n'est valable que jusqu'à pi+1. Mais peut-être en existe-t-il une autre ?

 #5 - 24-01-2013 01:04:18

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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Le canard et l echat (2)

Bon je rerédige ma solution en éclaircissant les points obscures :

1) la psychologie du chat: il cherche à minimiser la distance angulaire entre lui et le canard par rapport au centre de l'étang pour l'attendre au bord. Il choisit le sens de parcours où l'angle est le plus faible (a ou 2pi-a).

2) la stratégie du canard: quand il est strictement à l'intérieur du cercle de rayon 1/4.5 sa vitesse angulaire est plus rapide que celle du chat (en se déplaçant perpendiculairement aux rayons). Il est libre de se placer sur la frontière de ce cercle en maximisant la distance angulaire=Pi (opposé au chat).

Dès qu'il passe de l'autre côté du cercle, sa vitesse angulaire est toujours plus faible que celle du chat. Donc le chat ne changera pas de direction puisque dans le sens où il s'est lancé la distance angulaire au canard diminuera de plus en plus et est < Pi.

A partir de là on peut proposer des stratégies, voilà la mienne :
http://www.prise2tete.fr/upload/w9Lyl6n-chat_canard_4.5.PNG_ANCIENNE_VERSION_1
distance chat/ vitesse = (pi+Arcos(1/4.5))/4.5 = 0.997...
distance canard/ vitesse = sqrt(1-1/4.5²)/1 = 0.974....

Donc le canard s'en sort de justesse smile

 #6 - 24-01-2013 12:58:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Le cnaard et le chat (2)

Le canard peut aller jusqu'à 0,22222 du rayon sans souci en restant à l'opposé du chat.

Ensuite, le canard part sur "la gauche" .  Le chat est donc obligé de faire de même car le trajet est trop long par la plus grande partie par rapport au point qu'il vise. La canard a une (petite) marge de manoeuvre. Avant d'atteindre cette marge de manoeuvre, il tourne à angle droit vers le bas et la chat est donc obligé de faire demi-tour. Le canard a donc progressé le long du diamètre quand le chat revient à sa position initiale.

Et le canard répète le processus. Le tout est de savoir s'il peut le répéter jusqu'à 0.698 du bord, soit à 0.301... du centre. Il lui suffira alors de suivre le diamètre.

Le détail du calcul pour 0.301 (c'est le même calcul que pour les autres distances :

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-chatcanard2.JPG

 #7 - 24-01-2013 14:06:32

titoufred
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Le canard et le chat (2

@Mathieu : Bravo ! J'ai adopté la même stratégie que toi pour le chat (la meilleure pour lui il me semble) en première lecture. Cependant, certains n'ont pas adopté le même comportement pour le chat et nous allons devoir répondre à leurs questions. Pour être complet, je te propose donc de prouver que le canard peut y arriver, quelle que soit la stratégie employée par le chat. Il va falloir trouver une parade à certains comportements adoptés par le chat au moment où cela lui semble opportun :

1) Le chat se met à l'arrêt et observe le canard pour savoir quoi faire.

2) Le chat analyse le cap que prend le canard pour se rendre directement au point de la berge correspondant.

@gwen : Je n'arrive pas à visualiser. Qu'est-ce que tu appelles "gauche, "bas", etc... Tu n'as pas un dessin ? Il n'y a aucun calcul à faire ?

 #8 - 24-01-2013 17:16:05

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Le canad et le chat (2)

Ca y est, elle passe smile un espace dans le nom de l'image.

EDIT Si j'ai bon, on doit pouvoir aller, avec cette méthode jusqu'à 4,5324949179865.... fois la vitesse du canard. Au delà, le chat peut aller dans le sens qu'il veut il attrapera le canard.

En fait il faut faire ce calcul, non pas depuis 0,301... mais depuis 0,2222 (1/v)

Car si ça passe, ça passe à fortiori pour un diamètre plus grand. A partir d'une vitesse 4,53 fois supérieure, ça ne passe plus dès le début.

 #9 - 24-01-2013 19:01:18

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
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le canard et lz chat (2)

Si le chat anticipe, voilà une stratégie intuitive pour le canard quand il sort du petit cercle de rayon 1/4.5:
_Si le chat est exactement à l'opposé de lui il file droit au bord le plus proche
_Sinon il file perpendiculairement au rayon, droit jusqu'au bord opposé au chat.

  Avec cette stratégie, d'une par le canard s'éloignera toujours du centre et atteindra donc le bord, d'autre part il commencera toujours les déplacements "perpendiculaires" à des moments où le chat est opposé à lui par rapport au centre.

  Considérons le dernier déplacement "perpendiculaire" du canard qui le fera aboutir au bord (si il termine en allant droit au bord, c'est que le chat est immobile de l'autre côté de l'étang smile)
http://www.prise2tete.fr/upload/w9Lyl6n-chat_canard_4.5.PNG
  Au départ de ce dernier déplacement, le chat est donc opposé à lui et part dans le sens opposé du canard. Comme c'est le dernier déplacement, par définition il ne passera plus par l'opposé au canard (même si c'est plus court pour atteindre la destination du canard). Dans ces conditions, le mieux que puisse faire le chat pour attraper le canard, c'est de conserver son élan initiale sans changer de sens .

Le canard est à plus de 1/4.5 du centre, donc l'angle [latex] \theta \in [0,Arcos( \frac{1}{4.5} )][/latex]

  Le rapport entre temps mis par le canard / temps mis par le chat :
[TeX]\frac{4.5sin(\theta)}{\pi+\theta}[/TeX]
  Si on dérive, on trouve que un maximum est atteint pour [latex]tan(\theta)=\pi+\theta[/latex] sur [latex][0,\pi/2][/latex] un peut après [latex] Arcos( \frac{1}{4.5} )[/latex] donc le ratio maximum est bien atteint à 1/4.5 du centre comme pour une stratégie identique à celle de mon post précédent.

Conclusion :
1) avec cette stratégie, quoi que fasse le chat, le canard s'en sort.
2) la solution n'était pas totalement intuitive

 #10 - 25-01-2013 16:25:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
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Le canard et le cchat (2)

Come pour la première énigme, mais quand le canard décide de quitter le cercle de rayon E/4.5, il observe le chat.
Si le chat part d'un côté, la canard oblique "quelque peu" vers l'autre côté.
On peut supposer qu'en toute logique le chat va garder sa direction, car en angle il commence à rattraper le canard, ce qui serait faux s'il change.

Tout est dans le "quelque peu".
Existe-t-il un point sur le bord (à rejoindre en ligne droite) tel que le canard puisse l'atteindre avant le chat ?

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-canard3.png

Si la chat court x fois plus vite que le canard (ici, x=4.5)
Le chat doit parcourir [latex]\theta R[/latex]
Le carré de la distance parcourue par le canard en un temps moindre est
[TeX]d²=R²sin²\theta+R²(-cos\theta-\frac 1 x)²<\frac{R²\theta²}{x²}[/TeX]
ce qui ramène à [latex]x²+2xcos\theta<\theta²-1[/latex]

A pour x=4.5 une racine en [latex]\Theta [/latex]= 3.673 radians [latex]\approx [/latex]210.45°, disons 211°.

Question : quelle la valeur maximale de x ? Ce n'est pas simple.
[latex]\cos\theta <-\frac 1 x[/latex] soit [latex]\theta[/latex]<257° environ
On trouve par tâtonnements xmax compris entre 4.60 et 4.61.

 #11 - 25-01-2013 19:51:27

golgot59
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Le canard et le chatt (2)

Bon, je pense avoir trouvé, c'est beaucoup moins simple.

Pour simplifier les calculs, je suppose que le rayon de l'étang fait 9 unités.

Comme dans l'autre énigme, le canard démarre comme sur le dessin à (1-1/4.5)xR du bord, c'est à dire à 7. Le lapin est diamétralement opposé.

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-canard1.jpg

Dès que le canard démarre vers le bord opposé, le lapin fonce dans un sens ou dans l'autre. Sur le dessin, le canard démarre vers le haut, le lapin décide de faire le tour dans le sens trigonométrique (anti-horaire). Le canard change alors tout de suite de cap, et part perpendiculairement au rayon de l'étang, de l'autre côté de celui vers lequel le lapin est parti. (Vers la gauche donc sur mon dessin).

Les calculs se trouvent sur le dessin.

Si le lapin décide de faire demi-tour en comprenant le point d'arrivée du canard, alors dès qu'il change de direction, le canard part dans "l'autre sens", mais toujours de façon perpendiculaire au rayon. On observe sur le schéma ci-dessous qu'au moment ou le canard et le lapin sont de nouveau "diamétralement" opposés, le canard a gagné un peu de distance !

http://www.prise2tete.fr/upload/golgot59-canard2.jpg

conclusion, le canard parviendra à nouveau à goûter l'herbe du bord smile

 #12 - 25-01-2013 20:20:42

titoufred
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Le cnaard et le chat (2)

@gwen : j'avoue que j'ai du mal à comprendre le rapport entre ton texte et le dessin. Peut-être que demain, je serai moins fatigué...

@Mathieu : Oui, re-bravo ! Tu as bien résumé la stratégie gagnante de façon complète.

@halloduda : Oui, tu es sur la bonne voie, mais n'oublie pas que le plus court chemin entre 2 points, c'est la ligne droite.

@golgot : Oui bravo ! Tu as même dégotté un lapin tueur rofl !

 #13 - 25-01-2013 20:49:13

gwen27
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le canard et le cgat (2)

Bah pas grave...  le chat est rouge et le canard est vert. Si le canard bouge comme illustré, le chat doit faire de même .  Et juste avant la limite, le canard peut changer d'avis (aller en bas) et le chat doit faire de même (aller à droite) . Et tout ce petit monde se retrouve aligné avec le centre mais le canard a progressé.

Pour faire simple mais sans calculs car ils me dépassent :

Le canard progresse le long du diamètre "chat-canard" si le chat bouge dans un sens , le canard le contre verticalement ou horizontalement (la meilleure option)

Si le chat persiste, le canard aussi et il broute.
Si le chat renonce, le canard aussi et ils se retrouvent sur le même axe avec une progression du canard.

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-chatcanard3.jpg

 #14 - 25-01-2013 21:03:26

golgot59
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LLe canard et le chat (2)

lol

Mais... un lapin tueur ? Pourquoi ? hmm

 #15 - 26-01-2013 05:10:37

dhrm77
L'exilé
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Le canard et le caht (2)

En fait c'est juste une variation du probleme precedent.
Le canard voyage en spirale du centre jusqu'a un cercle de rayon 1/4.5 (ou encore 2/9) en restant continuellement a l'opposé du chat pendant ce trajet, de telle sorte que en atteignant le cercle de rayon 2/9 le canard est a l'opposé du chat par rapport au centre. La spirale se termine en se confondant avec le cercle.
Ensuite, au lieu de continuer sur le chemin le plus court vers le bord completement a l'opposé du chat, s'il se deplace vers un point qui se trouve a un angle d'environ 65° par rapport au centre, le chemin est un tout petit peu plus long pour le canard, mais beaucoup plus long pour le chat, donnant ainsi plein de temps au canard d'arriver au bord avant le chat.

A l'extreme, le chat peut meme etre jusqu'a 4.603 fois plus rapide que le canard.  Et dans ce cas l'angle optimal est de 77.4° par rapport au centre ou encore de 90° par rapport a un point sur le cercle de diametre 1/4.603, ou encore en continuant en ligne droite sur la tangente a ce cercle.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #16 - 26-01-2013 10:55:46

nodgim
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le canard er le chat (2)

Ce problème étant connu, je joins le lien de la solution complète:
http://www.diophante.fr/problemes-par-t … vais-genie

 #17 - 26-01-2013 19:36:28

Vasimolo
Le pâtissier
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le canard ey le chat (2)

C'est la réponse que j'avais smile

Vasimolo

 #18 - 27-01-2013 09:05:49

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

Le canrd et le chat (2)

Bon sang, mais c'est bien sûr: une trajectoire tangentielle sera plus optimale qu'une radiale. Si le chat court k fois plus vite que le canard, pour que cela fonctionne, il faut que: arcsin(1/k) + V(k²-1) - 3.pi/2 = 0, ce qui donne k=4,6033 environ pour cette trajectoire tangentielle (au lieu de pi+1 = 4,1416 pour ma trajectoire radiale initiale).

@titoufred: Faut-il vraiment que je mange le chien ? (engagement stupide de ma part si on trouvait mieux).

 #19 - 27-01-2013 13:02:03

racine
Elite de Prise2Tete
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Le canard e tle chat (2)

Vasimolo a écrit:

C'est la réponse que j'avais smile

Vasimolo

C'est marrant, y'a des gens, on les croit pas quand ils écrivent ça et puis y'en a d'autres, on les croit. lol

 #20 - 27-01-2013 13:16:18

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Le canard eet le chat (2)

En fait j'avais déjà proposé le même problème il y a six ans sur un autre site ( avant même qu'il n'apparaisse sur Diophante ) .

Ce n'est pas une critique à Titou , je sais combien il est difficile de créer un problème à la fois original et intéressant smile

Vasimolo

 #21 - 27-01-2013 14:45:33

titoufred
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Messages : 1746

Le canard e le chat (2)

Bravo à tous les participants.

Je vous laisse regarder la solution simple et complète proposée par Mathieu w9Lyl6n (complétée dans son 2ème message).
La solution donnée sur le site Diophante complique inutilement avec ses arcs de cardioïde il me semble.

@Franky : Oui, il faut manger le chien. Il en va de ton honneur ! smile

 

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