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 #1 - 17-10-2010 18:47:02

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

sznta griego 3 - géométrie d'une tête de chat

Le chat de grigo est bizarre.

Ses yeux sont tangents à sa bouche et sont nez. Ce sont des cercles. Le rayon des deux yeux est 4cm.

Quel sera le rayon du nez, au centre?

http://img694.imageshack.us/img694/216/griego3.png

sur 6 points.



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 #2 - 17-10-2010 19:52:42

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Santa Griego 3- Géométrie d'une tête de chat

On appelle [latex]r_B[/latex] le rayon de la bouche, et [latex]r_N[/latex] le rayon du nez.



Je calcule d'abord [latex]r_B[/latex]. En reliant le centre de la bouche, le centre d'un des yeux et le centre de la tête, j'obtiens un triangle rectangle (en le centre de la tête) dans lequel je peux appliquer le théorème de Pythagore :
[TeX](4+r_B)^2 = 4^2 + (8-r_B)^2[/TeX]
Je développe, je réduis, je vire les [latex]r_B^2[/latex] qui traînent des deux côtés, et j'obtiens :
[TeX]r_B = \frac{8}{3}[/TeX]
Le fait que ce cercle sépare le rayon "vertical bas" du cercle en trois segments égaux ne m'étonne pas, d'ailleurs smile



Maintenant, [latex]r_N[/latex], d'une façon similaire : on applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle reliant le centre de la tête, le centre d'un des yeux, et le centre du nez :
[TeX](4+r_N)^2 = 4^2 + \left( \frac{8}{3} - r_N \right)^2[/TeX]
On continue : développement, simplification, réduction, et résultat :



[latex]r_N = \frac{8}{15}[/latex] (en cm, soit environ 0,533 cm).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 17-10-2010 22:47:39

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

santa griego 3 - géométrie d'une tête fe chat

rayon du cercle tangent extérieur est 8cm
rayon des deux cercle des yeux 4cm
le théorème de descartes nous dit:
[TeX]k_4=-(k_1+k_2+k_3)+2sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3}[/latex] avec [latex]k_i={1\over r_i}[/TeX]
en remplaçant et on trouve que le rayon de courbure de la bouche est [latex]3 \over 8[/latex]
et donc le raton de courbure du nez est [latex]k_5=k_1+k_2+k_3+2sqrt{k_1k_2+k_1k_3+k_2k_3}[/latex]
et donc [latex]k_5={15\over 8} [/latex]d'où le rayon du nez est [latex]8\over 15[/latex]

 #4 - 18-10-2010 07:00:12

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

Santa Griego 3 - Géométrie d'un tête de chat


Lol^^
Griego ne le traite pas comme ca heureusement.


Un promath- actif dans un forum actif

 #5 - 18-10-2010 11:07:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

SSanta Griego 3 - Géométrie d'une tête de chat

J'appelle [latex]r_1[/latex] le rayon de la bouche et [latex]r_2[/latex] celui du nez.

J'applique ensuite le Théorème de Descartes ou plutôt la formule de Soddy qui en découle.

Tout d'abord je l'applique à la bouche, aux 2 yeux et à la tête:
[TeX]\dfrac1{r_1}=\dfrac14+\dfrac14-\dfrac18\pm2\sqrt{\dfrac1{16}-\dfrac1{32}-\dfrac1{32}}=\dfrac38[/TeX]
Ensuite je l'applique à la bouche, aux 2 yeux et au nez:
[TeX]\dfrac1{r_2}=\dfrac14+\dfrac14+\dfrac38\pm2\sqrt{\dfrac1{16}+2.\dfrac38.\dfrac14}=\dfrac78\pm1=\dfrac{15}{8}[/TeX]
On ne garde que la valeur positive ci-dessus car le cercle solution que l'on cherche est tangent extérieurement.

La solution est donc: [latex]\dfrac{8}{15}[/latex]

Merci pour cette énigme.

 #6 - 18-10-2010 12:29:56

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1612

Santa Griego 3 - Géométrie d'une tête ed chat

On pose O le point de contact entre la bouche et la tête et x la distance entre O et le centre de la bouche, on a, d'après Pythagore:
(8-x)²+4² = (x+4)²
(8-x) est la distance "centre de la bouche - centre de la tête", 4 la distance "centre de la tête - centre d'un oeil" et (x+4) la distance "centre d'un oeil-centre de la bouche"
On trouve x = 8/3, le rayon de la bouche.

On pose ensuite y le rayon du nez.
La distance entre le centre du nez et le centre de la tête vaut 8 - 2x -y
On applique Pythagore de la même manière:
(8-2x-y)² + 4² = (y+4)²
On trouve alors y=8/15

Le rayon du nez est donc 8/15 cm

 #7 - 18-10-2010 14:16:48

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Santa Griego 3 - Géomérie d'une tête de chat

Le rayon du petit cercle est [latex]r=\frac 8{15}~cm[/latex]

* Soit R le rayon de la bouche. Dans le triangle rectangle formé du centre de la tête, du centre de l'oeil gauche et du centre de la bouche :

(8-R)²+4²=(4+R)² d'où R=8/3

* Soit r le rayon du nez. Dans le triangle rectangle formé du centre de la tête, du centre de l'oeil gauche et du centre de la nez :

(4+r)²=(8-2R-r)²+4² d'où r=8/15

 

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