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 #1 - 27-06-2010 23:49:08

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

contre la montre en côye

Terrible étape sur le Tour de France : il s'agit d'escalader un col contre la montre.

Les écarts sont importants puisque le dernier de l'étape, Allan Ternerouj, a mis exactement 50% de plus que le premier, John Mayo, pour boucler l'étape.

Cependant, les commissaires ont dû pénaliser plusieurs participants pour un ravitaillement non autorisé. Ainsi, nos deux concurrents ont tous les deux été pénalisés d'une minute et 30 secondes. Et là, curieux hasard, les nombres de minutes et de secondes des deux cyclistes Allan et John sont les mêmes, mais échangés. Autrement dit, John est crédité de ab min cd sec et Allan de cd min ab sec.

Saurez-vous retrouver les temps corrigés de ces deux forçats de la route ?



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 #2 - 28-06-2010 11:28:15

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Contre l montre en côte

La traduction de l'énoncé est de résoudre l'équation :

60m+s-90 = 150/100*(60s+m-90)  où m est le nombre final de minutes du temps du plus lent et s le nombre final de secondes du temps du plus lent.

soit 178 s - 117m = 90.

Les solutions de l'équation 178 s - 117m = 90 est l'ensemble [latex] \left\{(-2070+ k*117, -3150 + k* 178), k \in Z\right\} [/latex]


Pour [latex] k = 18 = \left\lceil{\frac{2070}{117}} \right\rceil [/latex] on obtient le couple solution (36, 54).

Les temps corrigés sont donc 36'54 et 54'36

 #3 - 28-06-2010 18:10:10

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

contre la montee en côte

En notant x = ab et y = cd,

la première égalité se traduit par :
y * 60 + x - 90 = (x * 60 + y - 90) * 1.5, donc
x + 60 y - 90 = 90 x + 1.5 y - 135, donc
58.5 y -  89 x = -45 , donc

117 y - 178 x = -90                     (*)
avec 117= 3*3*13, et 178 = 2*89, premiers entre eux.

Tout consiste a trouver la solution parmi toutes celles qui vérifient ça, qui soit entre 0 et 59.

Cherchons donc les coefficients de l'identité de bezout pour ces nombres :

117 X + 178 Y = 1   (**)      (attention inversion de X et Y par rapport a x et y, plus le signe...)

On applique l'algorithme d'Euclide étendu :

Tout d'abord celui d'Ecuclide donne :
178 / 117 = 1 reste 61
117 / 61  = 1 reste 56
61 / 56 = 1 reste 5
56 / 5 = 11 reste 1 (ce qui prouve qu'ils sont premiers)

Donc on a en remontant l'algorithme :
1 = 56 - 5 * 11                                      (1 : derniere ligne)
   = 56 - (61 - 56) * 11                            (5 : avant derniere ligne)
   = 12 * 56 - 61 * 11
   = 12 * (117 - 61)  - 61 * 11                 (56 : deuxieme ligne)
   = 12 * 117 - 23 * 61
   = 12 * 117 - 23 * (178 - 117)                     (61 : premiere ligne)
1 = 35 * 117 - 23 * 178

Donc X = 35 et Y = -23 est solution de (**).

Donc y = - 90 * 35 =  - 3150 et x = 90 * -23 = - 2070 est une solution de  (*) (rappel de (*) : 117 y - 178 x = -90)

et toutes les solutions de (*) sont du type
( y = - 3150 + 178 k , x = -2070 + 117 k ), avec k entier...

il faut donc prendre un k tel que les deux soient entre 0 et 59, k valant vraissemblablement autour de 20 (un peu moins, si on regarde l'expression de x)

ca marche avec k=18 :

y=54     et      x=36.


---------------------------------------
verification :                                       
       avec la minute et demie rajoutée  |    sans la mintue et demie rajoutée
le plus lent -         54min 36s = 3276s   |              =3186s   
le plus rapide -     36min 54s = 2214s   |              =2124s
et 3186 / 2124 = 1.5...

 #4 - 28-06-2010 18:42:45

schaff60
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 175

CContre la montre en côte

36'54" et donc 54'36" pour l'autre smile

Résolu via Excel, j'ai cherché à mettre en équation mais je n'ai pas trouvé de moyen simple de le faire.sad


Un truisme inepte, chamarré d'une phraséologie spécieuse, se diapre subséquemment des apparats d'un apophtegme

 #5 - 28-06-2010 19:01:09

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Contr ela montre en côte

On tient le podium. Gratifié de la prime du plus rigoureux et du plus prolixe, McFlambi sera classé premier par le jury des commissaires, jury souverain en la matière. Nicouj et schaff60 ont aussi franchi la ligne d'arrivée wink
Bravo aux trois !


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #6 - 29-06-2010 13:31:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Contre la montre en côtte

Plutôt amusant smile

On note : A = 60x + y et J = 60y + x les temps corrigés et en minutes des deux affamés alors :

A - 90 = 1,5 ( J - 90 ) c'est à dire que 178 y - 117 x = 90 .

117 et 178 sont premier entre eux et Bézout donne :

117 X 35 - 178 = 1 donc 117 X 3150 - 178 X 2070 = 90

On égalise avec l'égalité au dessus et :

178 ( y + 2070 ) = 117 ( x + 3150 ) .

Comme 178 et 117 sont encre et toujours premiers entre eux :

x = k X 178 - 3150 et y = k X 117 - 2070 .

X et y sont des entiers compris entre 0 et 60 :

k = 18 , x = 54 et y = 36 .

A : 54 min 36 secondes et B : 36 min 54 secondes .

J'aime beaucoup smile

Vasimolo

 #7 - 29-06-2010 17:47:04

2tension
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 11

Contre l montre en côte

Hello,

Seconde de Allan Ternerouj = a
Seconde de John Mayo = j

Chronomètre final de Allan Ternerouj:
F=a+60j
Chronomètre final de John Mayo:
S=j+60a

1er chronomètre de a:
F-80=a+60j-80
1er chronomètre de j:
S-80=j+60a-80

j+60a-80=2(a+60j-80)
j+60a-80=2a+120j-160
58a=129j-80
a=(129j-80)/58

On sait que a et j sont inférieur à 60 et que j est pair.

Es-ce juste ? pour l'instant

 #8 - 29-06-2010 19:18:52

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Contr ela montre en côte

Bravo à Vasimolo (en plus, si tu as aimé, c'est idéal !).
2tension, tu n'as pas bien lu l'énoncé...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #9 - 30-06-2010 10:54:12

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

contre lz montre en côte

J'étais en retard au départ de l'étape mais je vais essayer de me rattraper.

Tout d'abord vu la rédaction de l'énoncé (les secondes s'écrivent cd ou ab), je vais supposer que les temps sont des nombres entiers de secondes (sinon je ne vois pas tellement comment résoudre le problème smile).

J'appelle t le temps de John, avant la pénalité, exprimé en secondes.
Après pénalité, John est donc crédité d'un temps de t+90 et Allan de 1,5t+90.
Si je note x le nombre de minutes du temps de John après pénalité et y le nombre de secondes de son temps, j'ai:
t+90=60x+y (E) et
1,5t+90=60y+x
avec x et y entiers de l'intervalle [0, 59] et y >=x puisque Allan arrive après John.

Par soustraction, j'arrive à t/2=59(y-x) soit t = 118(y-x)
Je note k = y-x, k est un entier de l'intervalle [0, 59] lui aussi.

J'ai maintenant t = 118k et y=x+k.
L'équation (E) s'écrit: 118k+90=60x+x+k soit [latex]x=\dfrac{117k+90}{61}[/latex]
Avec x et k entiers de l'intervalle [0,59].

Je n'ai pas vraiment cherché de façon de réduire les candidats 'k' par congruence, mais après quelques essais on trouve que k = 18 convient, ce qui donne x = 36 et y = 54. A noter que pour que x soit < 60, k doit etre < 31 et il n'y a pas d'autre solution.

Les temps corrigés de John et d'Allan sont donc de 36'54 et 54'36 et les temps non-corrigés de 35'24 et 53'06 (et on vérifie bien que le temps d'Allan est bien de 50% supérieur à celui de John).

Merci pour cette énigme.
Ca sent le tour de France smile

 #10 - 01-07-2010 00:52:22

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Contre lla montre en côte

Si Allan a monté en 53mn06s et John en 35mn24s, on a bien 53+6/60 = 150% (35+24/60) et après pénalisation de 1mn30s, le temps de Allan devient 54mn36s et celui de John 36mn54s.

C'est Derek Teursportif qui doit faire la tronche d'avoir 2 courreurs pénalisés wink

 #11 - 02-07-2010 00:09:36

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Contre laa montre en côte

Merci pour votre participation et un bravo quasi général.
La première étape consiste à obtenir l'équation 178 y - 117 x = 90.
La résolution est moins simple, actuellement du niveau Terminale S, spécialité Maths...
Il y a aussi un bon lien : http://www.wolframalpha.com/input/?i=17 … 90+integer
Il suffit d'y faire n=0.


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.
 

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