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 #1 - 16-03-2013 16:02:12

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2583
Lieu: Île de France

Café ua lait [RESOLU]

Deux amis se rencontrent dans un café.

Le premier, Matthieu, prend un café et le deuxième, Etienne, prend un verre de lait.
Les 2 boissons ont exactement la même contenance.

Matthieu remplit sa cuillère avec son café et la verse en entier dans le lait d'Etienne.

Etienne fait de même avec sa cuillère et verse le lait mélangé dans la tasse de café de Matthieu.

Matthieu objecte alors:
- "Je crois bien que j'ai moins de lait dans mon café que tu n'as de café dans ton lait, car je t'ai donné une cuillère pleine de café et tu m'as donné une cuillère de café au lait !"

Etes-vous d'accord avec cette affirmation (justifiez votre réponse)?



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 #2 - 16-03-2013 16:35:52

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Café aau lait [RESOLU]

Non, il y'a autant de café dans le lait que de lait dans le café.

Démo : Soit X la quantité de liquide dans une tasse et Y dans une cuillère et l et c, respectivement le lait et le café et M (Matthieu) et E (Etienne) les deux tasses qui contiennent respectivement c et l. Donc, E : Xl et M : Xc

Transaction n°1 : E : Xl + Cc et M : X-Y c. Dans le verre E, on a X/(X+Y) l et Y/(X+Y) c, soit XY/(X+Y) l et Y²/(X+Y) c qu'on met dans M.

Transaction n°2 : E : (X-XY)/(X+Y) l et (Y-Y²)/(X+Y) c soit X²/(X+Y) l et XY/(X+Y) c.
Et M : X-Y + Y²/(X+Y) c et XY/(X+Y) l soit X²(X+Y) c et XY/(X+Y) l.

Donc les deux liquides sont, en proportions exactement inverses dans les deux verres.

Voilà.

 #3 - 16-03-2013 18:54:25

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

czfé au lait [resolu]

Étrangement, non !

Puisque les verres sont remplis autant l'un que l'autre avant et après d'un Volume V de liquide, alors après échange, si le buveur de lait se retrouve avec un volume x de café dans son lait, puisque le volume total n'a pas changé, c'est qu'il s'est séparé lui aussi d'un volume x de lait !

La proportion de chacun est donc de x/V...

En chiffres : Supposons un volume de 99cL et une cuillère contenant 1cL. (ils avaient tous les deux très très soif !)

Alors Matthieu garde 98cL de café pur et en donne en 1cL à Etienne qui se retrouve avec 99cL de lait et 1cL de café, soit 100 cL au total
Ce dernier remplit sa cuillère qui contient 0.99cL de lait et 0.01cL de café.

Finalement :
Matthieu se retrouve ainsi avec 98+0.01=98.01cL de café et 0.99cL de lait
Etienne lui conserve 99-0.99=98.01cL de lait et 1-0.01=0.99cL de café !

 #4 - 16-03-2013 19:49:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Café au lait [RESLU]

A volume égaux au final, ce qui manque de café dans un est ce qui a été rajouté en lait et inversement.

 #5 - 16-03-2013 19:57:54

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2583
Lieu: Île de France

Café au lait R[ESOLU]

Déjà quatre bonnes répones:
- Saban et golgoth avec équations
- gwen et Franky avec explications

Bravo à tous!

 #6 - 16-03-2013 19:59:30

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Cfé au lait [RESOLU]

Les transferts successifs n'ont pas pu augmenter ou diminuer l'une ou l'autre des quantités initiales de café et de lait. Les quantités de lait dans le café et de café
dans le lait sont donc exactement les mêmes.

 #7 - 16-03-2013 20:37:28

elpafio
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 42
Messages : 828

café ai lait [resolu]

L'affirmation de Matthieu est inexacte.

Exemple:
http://www.prise2tete.fr/upload/elpafio-Rep-CafeAuLait.PNG

Lors du premier transfert, Matthieu donne 0.5 cl de café à Etienne.
Lors du second transfert, Etienne rend un peu de café à Matthieu:
   ( 0.5 / (20 + 0.5) ) * 0.5 = 0.012 cl de café
et le reste du contenu de la cuillère contient du lait, soit: 0.5 - 0.012 = 0.488 cl de lait.

Au final, Matthieu a dans son verre:
   20 - 0.5 + 0.012 = 19.512 cl de café
   et 0.488 cl de lait.
Etienne a dans son verre:
   20 - 0.488 = 19.512 cl de lait
   et 0.5 - 0.012 = 0.488 cl de café.


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #8 - 16-03-2013 20:47:49

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2583
Lieu: Île de France

afé au lait [RESOLU]

elpafio a rejoint les ganants !smile

 #9 - 16-03-2013 23:07:08

engine
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 37
Messages : 351

Café au lait [RESOL]U

Bonjour, bon si il faut des équations bye bye:D
Mais bon l'énoncé suggère que Etienne remplit sa cuillère après Matthieu a déjà versé son café dans le lait d'Etienne.... le lait est totalement miscible dans le café en principe donc il n'y a pas de raison que l'affirmation soit fausse à moins que ce soit une énigme piège:(


plouf

 #10 - 17-03-2013 09:08:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

café au laut [resolu]

Cette fonction d'échange est une exponentielle.
Question subsidiaire: au bout de combien d'échanges aura t on un mélange parfaitement identique dans les 2 verres ( 50% lait-50%café) ?

 #11 - 17-03-2013 09:35:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

café ai lait [resolu]

C'est clairement symétrique smile

Si on note q la quantité de café et de lait et e la quantité de lait que Matthieu a récupéré . Matthieu a (q-e) de café et e de lait , il reste alors (q-e) de lait et e de café pour Etienne .

Vasimolo

 #12 - 17-03-2013 11:58:22

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2583
Lieu: Île de France

Café au lait [RESOL]

Vasimolo a trouvé. smile

nodgim a fonctionnalisé... et propose une question subsidiaire que je vous livre:
au bout de combien d'échanges aura-t-on 50/50 de café/lait dans chaque récipient? A vos cuillères ! wink

 #13 - 17-03-2013 12:15:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Café au lait [ERSOLU]

Je crois que la cuillère va être usée car c'est une limite que l'on ne peut pas atteindre. (sauf si le café tient dans une seule cuillère lol)

 #14 - 17-03-2013 14:14:16

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2583
Lieu: Île de France

Café au lait [RESOLLU]

Pour que vous en profitiez, réponse de gwen à la question subsidiaire de godgim:

Je crois que la cuillère va être usée car c'est une limite que l'on ne peut pas atteindre. (sauf si le café tient dans une seule cuillère lol)

 #15 - 17-03-2013 18:51:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

afé au lait [RESOLU]

ben ouais, le café risque de refroidir...

 #16 - 17-03-2013 20:14:53

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Café au laiit [RESOLU]

Pour la question subsidiaire, intuitivement, si cette proportion de 50/50 était atteinte, alors tout transvasement supplémentaire ne changerait rien à cette proportion, alors bloquée à 50/50. Cette proportion serait donc atteinte de façon asymptotique et donc après une infinité de transvasements, sauf dans le cas d'une grosse cuillère de la taille du verre. Je me méfie de ce type d'intuitions en mathématiques, mais les calculs sont rapidement assez lourds et j'y ai renoncé.

 #17 - 17-03-2013 21:31:57

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Café a ulait [RESOLU]

Pour précision en partant du fait que la concentration n'est pas équilibrée (je me dédouane à l'avance de toute erreur, le raisonnement est intuitif et j'ai pris les calculs qui le confirmaient)

vc=volume cuillere    vt=volume total(d'un verre)     pc1=proportion de café au départ       
               
        pc2 = proportion de café après échange       
               
               
               
volume de café 2 = (pc1 x vt + volume de café rajouté)               
volume de café rajouté= (1-pc1) x vc               
               
Volume 2 de café  =pc1 x vt + volume rajouté = vt x pc1 +(1-pc1 )x vc               
               
pc2=v2/(vt+vc)= pc1 vt/( vt+vc)  + (1-pc1)vc /(vt+vc)               
               
Pc2 =( pc1 vt + vc -pc1 vc ) / (vt+vc)               
               
1/2<pc1<1               
               
Pc2 > (vt/2 +vc -vc/2)/ (vt+vc)               
pc2> (vt+vc)/2(vt+vc)               
Pc2>1/2

 #18 - 17-03-2013 21:34:33

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Café au lait [RESOLU]]

Je suis d'accord avec Gwen...

 #19 - 18-03-2013 00:33:37

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Café au lait [RESOUL]

NON, je ne suis pas d'accord avec Mathieu; ci-après mon point de vue:

Soient x et y les contenances respectives d'une cuillère et d'une boisson.
Les quantités échangées:
Mathieu à Etienne:
(concentration de la boisson de Mathieu au moment de l'échange: 100% de café et 0% de lait)
     - café: x*100% = x,
     - lait: 0*100% = 0.
Etienne à Mathieu:
(concentration de la boisson d'Etienne au moment de l'échange: [latex]\frac{y}{x+y}\[/latex]*100% de lait et  [latex]\frac{x}{x+y}\[/latex]*100% de café)
    - lait: [latex]\frac{y}{x+y}\[/latex]*x*100%= [latex]\frac{x*y}{x+y}\[/latex],
     - café:  [latex]\frac{x}{x+y}\[/latex]*x*100%= [latex]\frac{x^2}{x+y}\[/latex].

Bilan des quantités dont dispose chacun
     - lait chez Mathieu: [latex]\frac{x*y}{x+y}\[/latex] (voir ce qui lui est donné ci-dessus),
     - café chez Etienne: x- [latex]\frac{x^2}{x+y}\[/latex] (ce que Mathieu lui a filé moins ce qu'il lui a retourné) soit [latex]\frac{x*y}{x+y}\[/latex].

CONCLUSION
Mathieu a autant de lait dans son café qu'Etienne n'a de café dans son lait!

 #20 - 18-03-2013 08:11:16

Lui-meme
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2583
Lieu: Île de France

Café ua lait [RESOLU]

Bravo à tous ceux qui ont trouvé et merci à tous ceux qui ont participé !

Réponse:
A première vue cela pourrait sembler exact, mais il faut considérer que la tasse de Matthieu n'est plus pleine après avoir vidé sa cuillère dans le verre d'Etienne.

A cette étape dans le verre d'Etienne le pourcentage de café est de x/(x+y) où x représente le volume de la cuillère et y le volume du verre.
Le pourcentage de lait est y/(x+y). Le pourcentage ne bouge pas quand on passe le mélange lait au café d'Etienne dans le café de Matthieu.

Il suffit maintenant de calculer le pourcentage de lait dans la tasse de Matthieu. Pour cela on multiplie le pourcentage de lait de la tasse d'Etienne par x le volume de la cuillère que l'on divise par le volume de la tasse de café y.
On trouve alors: x*(y/(x+y))/y = x/(x+y)

Soit le même pourcentage de café dans la tasse d'Etienne. CQFD smile

 

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