k est-il bien le plus grand entier tel que (3n+1)/2^k soit entier aussi ?

Personnellement, je ne me suis intéressé qu'aux rangs où il y avait égalité.
Le résultat est plutôt surprenant: l'égalité intervient aux rangs (4^k-1)/3:
1,5,21,85,...on obtient aussi les rangs successifs en mutipliant par 4 et en ajoutant 1 au dernier rang connu: 4*85+1=341.
Il y a donc aussi égalité par groupe:1, de 2 à 5, de 6 à 21,...
Chaque groupe comprend exactement 4^k nombres.

Cette égalité aussi régulièrement répartie reste à prouver. Qu'il y ait égalité moyenne entre les 2 séries est plutôt normal, car pour un nombre impair donné n, on peut prouver que le résutat moyen après l'opération (3n+1)2^k sera...n.

Cette régularité qui obéit à la règle des rangs successifs "4n+1" est la même que pour les nombres de la suite de Syracuse:
si n impair Sy(n)=Sy(4n+1)

Si l'on s'intéresse à la suite jumelle n--->(3n-1)/2^k, l'égalité intervient également tout aussi régulièrement: 1,3,11,43.... on obtient les rangs successifs en multipliant le dernier rang par 4 et en ôtant 1.

Parvenir à prouver cette propriété permettrait sans doute de mieux comprendre la suite de Syracuse.