Enigmes

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 #1 - 24-05-2011 21:04:26

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

démonstrayion : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

Montrer que les entiers de la forme 8n+7 NE peuvent PAS être la somme de trois carrés parfaits.



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 #2 - 24-05-2011 21:20:47

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

démonstration : les somme de troiq carrés et les entiers 8n+7

J'avais mal lu l'énoncé, il te faudrait insister sur le NE PAS être somme de 3 carrés parfaits...

Du coup, j'avais répondu n'importe quoi. J'imagine qu'en fin de compte, avec un raisonnement par l'absurde postulant qu'une somme de 3 carrés parfaits peut s'écrire sous la forme 8n+7 nous amène à une contradiction... on doit arriver à conclure. Mais j'ai de sérieux doutes pour l'instant, vu que je n'ai rien posé sur papier...

A suivre.


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #3 - 24-05-2011 23:13:21

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

Démonstration : le somme de trois carrés et les entiers 8n+7

de facon un peu brutale, en calculant toutes les possibilités ?

lets go !

passons quand meme en base 8, pour remarqué que n² en base 8:
0²=0
1²=1
2²=4
3²=11
4²=20
5²=31
6²=44
7²=61
ne peux finir que par : 0,1 ou 4.
et qu'en prenant toutes les combinaisons de trois parmis 0,1 et 4... on peut obtenir
0,1,2,3,4,5,6,8=0,9=1,12=4 ... il nous manque le 7 smile

donc aucune comme de trois carré ne peut donner 8n+7.

 #4 - 25-05-2011 00:25:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

démonqtration : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

Un entier positif peut être exprimé comme la somme d'au plus trois carrés si et seulement s'il n'est pas de la forme [latex]4^k*(8n+7)[/latex].
J'ai trouvé ça par hasard sur wikipédia et je pense que je n'ai pas encore les bagages nécessaire pour le démontrer. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 25-05-2011 09:24:13

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 438

Démonstration : les somme de trois carréés et les entiers 8n+7

[TeX]\forall a, b, c, n \in  \mathbb{N}\\
a^2+b^2+c^2\neq 8n+7[/TeX]
Voilà, je le montre. cool
Maintenant s'il faut aussi le démontrer, c'est une autre histoire.

C'est pas la peine, je suis déjà dehors... loin big_smile

 #6 - 25-05-2011 10:24:23

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1106
Lieu: Jacou

démonsteation : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

Regardons les congruences des carrés des entiers de 0 à 3 modulo 8:
0->0
1->1
2->4
3->1

Ensuite:
[TeX](n+4)^2=n^2+8n+16\equiv n^2 [8][/TeX]
La suite des congruences des carrés des entiers est donc cyclique: 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, ...

La somme de 3 valeurs parmi 0, 1 et 4 permet d'atteindre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 mais pas 7.

La somme de trois carrés ne peut donc être congru à 7 modulo 8 ce qui est équivalent à dire que les nombres de la forme 8n+7 ne peuvent être somme de 3 carrés.

De même les nombres de la forme 4n+3 ne peuvent être la somme de 2 carrés.

Tout nombre entier peut par contre s'écrire comme la somme de (d'au plus) 4 carrés: http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … e_Lagrange

Merci pour cette piqure de rappel smile

 #7 - 25-05-2011 15:17:40

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Démonstration : les somme de trois carrés et les entiiers 8n+7

Trivialement, ça ne peut pas être la somme de carré de 3 entiers si un nombre pair d'entre eux sont impairs.

Si un seul est impair : (2a+1)²+(2b)²+(2c)² = 4k+1 = 1/5 mod 8 => pas de solution

Si les 3 sont impairs : (2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)² = 4*(a(a+1) +b(b+1) +c(c+1)) +3 = 8k+3 car n(n+1) est toujours pair.
Donc impossible aussi

 #8 - 25-05-2011 15:55:41

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1600

Démonstration : les somme de trois carrés te les entiers 8n+7

Modulo 8, un carré est congru à 0, 1 ou 4.
Pour une somme de 3 carrés :
- soit 2 au moins d'entre eux sont congrus à 4 modulo 8
Dans ce cas le résultat est congru au 3ème carré, c'est à dire 0, 1 ou 4
- soit un seul est congru à 4 modulo 8
Dans ce cas, la somme est congrue à 4, 5 ou 6
- soit aucun n'est congru à 4 modulo 8
Dans ce cas, la somme est congrue à 0, 1, 2 ou 3

Conclusion : aucun cas de présente la possibilité d'une somme congrue à 7 modulo 8

 #9 - 25-05-2011 16:13:22

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3857
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

démonstratipn : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

Les entiers de la forme 8N+7 (ou 8N-1) sont impairs, donc ils ne peuvent pas être la somme de 3 carrés pairs, ni de 1 carré pair et 2 carrés impairs.

Étudions la somme [latex]S[/latex] de 2 carrés pairs et 1 carré impair :
[TeX]S = (2a)^2 + (2b)^2 + (2c+1)^2[/TeX]
[TeX]S = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4c + 1[/TeX]
[TeX]S[/latex] est donc un multiple de 4 + 1, c'est-à-dire un multiple de 8 + 1 ou de 8 + 5.

Étudions maintenant la somme [latex]S[/latex] de 3 carrés impairs :
[latex]S = (2a+1)^2 + (2b+1)^2 + (2c+1)^2[/TeX]
[TeX]S = 4a^2 + 4a + 1 + 4b^2 + 4b + 1 + 4c^2 + 4c + 1[/TeX]
[TeX]S = 4 [ a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) ] + 3[/TeX]
Il se trouve que [latex]a(a+1)[/latex] est nécessairement pair, ainsi que [latex]b(b+1)[/latex] et [latex]c(c+1)[/latex]
Donc [latex]S[/latex] est un multiple de 8 + 3.

En résumé :
somme de 3 carrés pairs = 8k ou 8k+4
somme de 2 carrés pairs et 1 carré impair = 8k+1 ou 8k+5
somme de 1 carré pair et 2 carrés impairs = 8k+2 ou 8k+6
somme de 3 carrés impairs = 8k+3
8k+7 : impossible d'avoir la somme de 3 carrés.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #10 - 25-05-2011 17:42:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,174E+3

Démonstration : les somme de troi scarrés et les entiers 8n+7

Les carrés modulo 8 sont dans {0,1,4} donc la somme de trois carrés dans {0,1,2,3,4,5,6} smile

Vasimolo

 #11 - 27-05-2011 20:48:48

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,852E+3

Démonstratino : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

x^2 + y^2 + z^2 = 7 mod 8
Pour les modulo
impair : (2x+1)^2 = 4(x^2+x)+1 = 4(nombre pair) +1 donc 1
pair : (2x)^2 = multiple de 4 donc 0 ou 4

la somme des 3 carrés étant impaire, 1 ou 3 des nombres sont impairs.

x^2 mod 8 + y^2 mod8 + z^2 mod 8 = 7 (ou 15)
si l'un d'entre eux est impair, son carré mod8  est 1

Si les deux autres sont impairs, on arrive à  3

Si les deux autres sont pairs ( de modulo 0 ou 4 ) on arrive à 1, 5, ou 9 ( donc 1)
C'est donc impossible.

 #12 - 27-05-2011 22:45:23

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

Démonsttration : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

bravo pour toutes vos réponses.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #13 - 27-05-2011 23:05:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

démonstration : les somme de troiq carrés et les entiers 8n+7

Vasimolo a écrit:

Les carrés modulo 8 sont dans {0,1,4} donc la somme de trois carrés dans {0,1,2,3,4,5,6} smile

Simple, efficace, redoutable.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 27-05-2011 23:21:39

franck9525
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Messages : 1932
Lieu: UK

démonstration : les somme de troiq carrés et les entiers 8n+7

La démonstration par congruence était particulièrement congrue !
Vasimolo brille d'un feu de plus !

Une énigme à noter dans les annales ! smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #15 - 27-05-2011 23:42:47

rivas
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1106
Lieu: Jacou

Démonstration : less somme de trois carrés et les entiers 8n+7

Sans vouloir être rabat-joie, ça manque quand même un peu de démonstration...
Je trouve appréciable l'effort de certains pour cette énigme ou pour d'autres pour rédiger et détailler (suffisamment) la démonstration (Vasimolo y compris dans la plupart des cas, mais pas ici smile).
On ne veut tout de même pas organiser une course à la concision.
D'autant plus que très souvent, le diable est dans les détails...

 #16 - 27-05-2011 23:45:05

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 5,174E+3

démonstration : mes somme de trois carrés et les entiers 8n+7

Scarta a dit pratiquement la même chose mais comme il a détaillé il est moins impressionnant big_smile

Règle numéro 1 ( pour briller en maths  : faire très court en ne donnant que quelques points clés .

Règle numéro 2 : pour enfoncer le clou on peut conclure avec une petit rituel ( toujours le même sinon on perd toute crédibilité ) :

CQFD ( QED pour les horribles bilingues )
Bonne digestion smile
Il suffisait d'y penser roll
Et hop ( clin d'oeil amical )

Vasimolo ( c'est mon rituel auquel à peu près tout le monde s'est habitué )

 #17 - 27-05-2011 23:59:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Démonstration : les somme de trois carrés et lse entiers 8n+7

@Rivas

Nous allions dans le même sens mais nos messages se sont croisés smile Quand c'est limite question de cours on doit pouvoir quand même s'autoriser à abréger smile

Vasimolo

 #18 - 28-05-2011 00:05:02

rivas
Elite de Prise2Tete
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Démonstrtaion : les somme de trois carrés et les entiers 8n+7

smile

A propos d'abréger je ne sais pas. Je suis d'accord mais je vois aussi une raison de ne pas abréger.

J'ai tout d'abord pensé à n'écrire que ça moi aussi (pour flamber un peu smile).
Et puis je me suis dit que même sur une question de cours, certains jeunes lecteurs (style RAB volontaire) pourraient profiter des idées clés de la démo avant d'accéder un jour au cours lui-même.

En même temps ça ne change rien au résultat smile

 #19 - 28-05-2011 00:09:57

Vasimolo
Le pâtissier
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démonstration : les somme de trois carréd et les entiers 8n+7

Nous avons tous ( et heureusement ) des sensibilités différentes , chacun place le curseur là où il le sent et c'est bien comme ça smile

Vasimolo

 #20 - 28-05-2011 00:32:16

rivas
Elite de Prise2Tete
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démonstration : les somle de trois carrés et les entiers 8n+7

Je l'aurai un jour (le dernier mot), je l'aurai smile

 #21 - 28-05-2011 19:46:42

Yanyan
Expert de Prise2Tete
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Lieu: Lille si j'y suis

Démonstration : els somme de trois carrés et les entiers 8n+7

je tiens juste à donner une petite explication :

n est congru à     0,1,2,3,4,5,6 ou 7 modulo 8 donc
n² est congru à   0,1,4,1,0,1,4 ou 1 modulo 8.

Sinon j'avais la même preuve que Vasimolo et d'autres...


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