Enigmes

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 #1 - 13-06-2016 22:04:50

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

somle de carrés consécutifs

Bonjour,

vous avez sans doute déjà remarqué que 20²+21²=29², c'est une illustration classique du théorème de Pythagore.

Moins évident : 20²+21²+22²+...+43² = 158².

Saurez-vous trouver deux autres valeurs de n (entier > 20) telles que 20²+21²+...+n² soit un carré parfait ?



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 #2 - 13-06-2016 22:32:36

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Sommme de carrés consécutifs

20² + 21² + 22² + ... + 308² = 3128²
Mais je n'ai pas la deuxième valeur sad

 #3 - 13-06-2016 23:41:14

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

somme de carrés consécutufs

@Franky1103 : ok pour la première valeur, c'est un bon début !

 #4 - 14-06-2016 05:52:20

Sydre
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 143

somme de carrés condécutifs

Pour [latex]n < 10^7[/latex] on a :
[TeX]20^2+...+21^2=29^2[/TeX]
[TeX]20^2+...+43^2=158^2[/TeX]
[TeX]20^2+...+308^2=3128^2[/TeX]
[TeX]20^2+...+1221044^2=778998480^2[/TeX]

 #5 - 14-06-2016 07:08:42

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 400

Sommme de carrés consécutifs

Bonjour,

Code:

20^2+...+308^2 = 3128^2 = 9784384
20^2+...+1221044^2 = 778998480^2 = 606838631842310400

 #6 - 14-06-2016 08:32:06

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

somme de varrés consécutifs

Salut !

Avec excel, je trouve pour n=308 qui donne le carré de 3128

Le suivant, c'est après 15770...

 #7 - 14-06-2016 10:06:32

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Soomme de carrés consécutifs

f(n) = 20² + 21² + 22² + ... + n² (doit être un carré parfait)
=> f(n) = 20² + (20+1)² + (20+2)² + ... + [20+(n-20)]²
=> f(n) = 20² + (20² +2.20.1 + 1²) + (20² +2.20.2 + 2²) + ... + [20² +2.20.(n-20) + (n-20)²]
=> f(n) = 20².(n-19) + 2.20.(n-20).(n-19)/2 + (n-20).(n-19).(2n-39)/6
=> f(n) = (n-19).(n²/3 + 41.n/6 + 130)
Mais n²/3 + 41.n/6 + 130 n’est pas factorisable (son déterminant est négatif)
Du coup je suis un peu bloqué et ce n’est surement pas la bonne méthode.

 #8 - 14-06-2016 10:39:09

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Somme de carréés consécutifs

@Sydre & @enigmatus : parfait !
@golgot59 : 50 % résolu.
@Franky1103 : bon courage.

 #9 - 14-06-2016 11:10:14

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

somme de carrés consécutifd

Oui, je saurai. J'en ai même 3.

388
1988
2660

Au-delà, je suis limité par la précision d'EXCEL.

EDIT

@halloduda : heu, non, pas du tout. Vérifie, il doit y avoir une erreur. D'ailleurs, je suis curieux de savoir laquelle car je ne vois pas du tout d'où viennent ces nombres ?

J'ai entré la formule (2n³+3n²+n)/6-2470 et calculé pour tous les n
ce qui donnait un carré.

c'est la somme de 1² à n² - la somme de 1² à 19² = la somme de 20² à n².

n              f(n)                  racine        (f(n) doit être un carré)
19        0                   0
43        24964           158
308        9784384            3128                correct
1988        2620928024    51194.99999    erreur d'arrondi EXCEL
2660        6277234440    79228.99999    idem

Il faudrait travailler en "long integer" ou "variant" dans une macro.

 #10 - 14-06-2016 12:58:44

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Somme de carérs consécutifs

@halloduda : heu, non, pas du tout. Vérifie, il doit y avoir une erreur. D'ailleurs, je suis curieux de savoir laquelle car je ne vois pas du tout d'où viennent ces nombres ?

 #11 - 14-06-2016 13:34:26

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

Somm ede carrés consécutifs

Bonjour
50% résolu avec 308, au delà je suis aux limites d'Excel (côté tableur) !

20²+21²+22²+....+308²=3128²

Je reviens !


La somme des n premiers entiers carrés est [latex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/latex]


jusque 19 elle vaut 2470

donc il faut trouver les entiers n tels que l'expression  [latex]\sqrt\frac{2n^3+3n^2+n-14820}{6}[/latex] soit entière

Je fais tourner une macro VBA, je risque aussi d'arriver aux limites ...
(pour l'instant jusque 1E6 pas mieux que 308)

A+smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 14-06-2016 13:39:08

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Somme de acrrés consécutifs

Excel est mon ami (je ne pensais pas qu'il serait aussi puissant...)

20^2+ .... +308^2 = 3128^2

20^2+ .... + 648489^2 = 301504498^2

Y a il un résolution à chercher avec un papier et un crayon ?

 #13 - 14-06-2016 13:50:52

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Somme de carrés consécuitfs

@NickoGecko & portugal : 50 % bon.

@portugal : en effet, Excel n'est pas aussi puissant... Ta deuxième égalité est fausse, si tu raisonnes modulo 5, le membre de gauche fait 0 et le membre de droite, 4. Les valeurs exactes sont 90904962314481895 et 90904962314232004. Pour ta question : je ne sais pas le faire... ce qui ne veut pas dire que ce n'est pas possible.

 #14 - 14-06-2016 13:58:13

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Somme de carrés consécutiifs

Effectivement, j'aurais du mettre un test "modulo" pour assurer statistiquement si ma réponse était bonne...

Pour la résolution, préconises tu un outil plus adapté (python avec entier longs par exemple )  ou bien une vraie méthodologie astucieuse ?

Je me suis plongé un peu vite dans le copy paste...

 #15 - 14-06-2016 14:23:28

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Somme de carés consécutifs

@portugal : pour ma part, la première solution. Mais je ne cracherais pas sur quelqu'un qui se présenterait avec la deuxième, bien au contraire.

 #16 - 16-06-2016 10:22:03

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Somme de carréés consécutifs

Refait l'exercice avec une macro EXCEL (plus de précision que le tableur) :

Les premières valeurs sont:

n                              carré de :

308                    3128
1 221 044            778998480
2 542 690            2340882545
3 108 049            3163524943
5 988 346            8460572575
6 471 528            9504946458
7 050 120            10807722436
etc...

EDIT

En java, on pourrait avoir plus de précision

 #17 - 16-06-2016 10:56:43

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

somme de xarrés consécutifs

@halloduda, c'est bon pour les deux premières valeurs, et le problème est résolu, bravo !

En revanche, les valeurs suivantes sont fausses, du fait d'erreurs d'arrondi.

 #18 - 16-06-2016 12:39:43

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

somme de carrés cinsécutifs

Voici les n  qu'un programme python me donne pour la résolution. Ca a tourné toute la nuit car j'avais été trop loin je savais pas comment l’arrêter (sur trinket.io)

En rerun jusqu'au prochain nombre je trouve :
1221044

Cependant j'ai un gros doute car la somme des carrés est alors égale à 606838631842310400
et comme ca se termine par 00 j'ai bien peur d'un arrondi.... ;=)

Cependant, comme la somme 0^2+1^2+...+4^2=0+1+4+9+6= 0 [5] tous les espoirs sont permis...(et que la somme des carrés 0,1,2,...,9 =0[5] donc il suffit de prendre ce qui dépasse..

 #19 - 16-06-2016 13:01:41

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Somme de carrés conssécutifs

@portugal : comme Ève, tu devrais faire un peu plus confiance aux serpents, car c'est la bonne réponse !

 #20 - 16-06-2016 13:31:33

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Somm de carrés consécutifs

yes !!!

bêtement j'ai effacé les suivants (une dizaine jusqu'à 10 000 000) car je n'avais pas print la somme donc ne pouvait pas vérifier et et refait tourner le script juste jusqu'à celui ci

 #21 - 16-06-2016 17:31:12

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Sommee de carrés consécutifs

Ca marche pour 20 21 43 308 puis 1221044 smile

Merci suite OEIS A184743 lol

https://oeis.org/A184763/a184763.txt

 #22 - 16-06-2016 17:52:36

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

somme de carrés xonsécutifs

@gwen27 : bien joué !

 #23 - 16-06-2016 19:44:57

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

somme de czrrés consécutifs

J'ai relancé le serpentin...le suivant :
n=6 471 528
somme de carré = 90 344 007 169 446 733 494
dont la racine est 9 504 946 458

n se terminant par 8 la somme des carrés doit finir par 4[5] de par la régle du poste précédent...pas impossible que ca soit bon...;=)

Mon script tout bete pour ceux qui ont de la puissance de calcul et veulent s'amuser ce dessous. Je ne connais pas les précisions par défaut de python et à partir de quand le résultat trouvé sera faux. Un avis ?

Intéressé d'avoir des critiques sur le code car c'est mon premier...;=)

edit : code modifié pour contrôle de la racine à 99.99999%

a=20
c=0
from math import sqrt
while a<=100000000 :
b=a**2
c=c+b
d=sqrt(c)
if d==round(d):
     cbis=c%10000000
     dbis=d%10000000
     dbiscarre=dbis**2
     lastdigdbiscarre=dbiscarre%10000000
     if lastdigdbiscarre==cbis:
          print (a)
          print (c)
          print (d)
          print ("next")
a=a+1
print("end")

et avec ce test je ne trouve plus de réponse au dessus de 1221044

 #24 - 16-06-2016 20:06:12

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

SSomme de carrés consécutifs

@portugal : 58*58=3364 ne se termine pas par 94 : pas possible que ce soit bon.

Ne pythonnant pas, je ne peux pas vraiment t'aider, mais la racine carrée de ton nombre faisait 9504946457,99999935...

 #25 - 16-06-2016 20:09:40

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Somme de acrrés consécutifs

Bien vu ... ;=) pas mal de petits test à faire pour assurer la coherence. Je faisais les test pour la somme mais plus interessant de les faire pour la racine en effet...

Bon j'ai donc touché des limites la... merci en tout cas pour m'avoir poussé à écrire un peu de code... je vais essayer de m'y mettre dorénavant...

edit : en intégrant un test "exigent je ne trouve pas de plus grande valeur avec python finalement...

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