Est-ce un devoir à rendre ? car j'ai la réponse mais si c'est pour les devoirs je ne peut pas vous la donner.

Un indice : pensez à factoriser.

mais c'est pas très sympa ...

Si six scies scient ici six saucissons, six cent six scies scient aussi six cent six saucissons.

Bonjour,

Il ne s'agit pas d'un devoir à rendre. Je suis simplement un amateur de mathématiques qui aime résoudre les problèmes un peu originaux et celui ci me fait obstacle. Je fréquente votre site depuis déjà un moment à la recherche de problèmes de ce genre alors je me suis décidé à m'inscrire pour solliciter votre aide.

Pour cité mes sources, j'ai trouvé ce problème dans le sujet du concours d'entrée de l'Euria de 2009.

Quand au signe T.B.M, cela n'a rien à voir avec les maths.

golgot59 a écrit:

Il manque "scies" après le 4ème six

Bien vu. J'en suis scié ici.

Proposition de réponse

Une première intuition qui m'a amené à la réponse à la portée de toutes les méninges.
En décomposant notre fameux nombre N2009 dans la base 10 (notre base de tous les jours) on aura:
[TeX]N2009=4*10^{2*2009-1}+4*10^{2*2009-2}+...+4*10^{2010}+4*10^{2009}[/TeX]
[TeX]+1*10^{2008}+1*10^{2007}+...+1*10^1[/TeX]
[TeX]+1*10^0-(5*10^{2008}+5*10^{2007}+...+5*10^1+5*10^0)[/TeX]
En mettant 4 et 5 en facteur et en enlevant les "1*" que j'ai mis pour la clarté, on a:
[TeX]N2009=4*(10^{2*2009-1}+10^{2*2009-2}+...+10^{2010}+10^{2009})[/TeX]
[TeX]+(10^{2008}+10^{2007}+...+10^1+10^0)[/TeX]
[TeX]-5*(10^{2008}+10^{2007}+...+10^1+10^0)[/TeX]
Le terme du milieu se simplifie avec celui de droite et on a:
[TeX]N2009=4*(10^{2*2009-1}+10^{2*2009-2}+...+10^{2010}+10^{2009})[/TeX]
[TeX]-4*(10^{2008}+10^{2007}+...+10^1+10^0)[/TeX]
Il apparaît dans chaque paire de parenthèses, la somme de 2009 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q=10 ([latex]U_{n+1}=10*U_n[/latex]), cette somme va s'écrire de manière générale sous la forme suivante[latex]S_{2009}=U_{premier terme}*\frac{q^{nombre de termes}-1}{q-1}[/latex].

J'ai donc:
[TeX](10^{2*2009-1}+10^{2*2009-2}+...+10^{2010}+10^{2009})=10^{2009}*\frac{10^{2009}-1}{9}[/TeX][TeX](10^{2008}+10^{2007}+...+10^{1}+10^{0})=10^{0}*\frac{10^{2009}-1}{9}[/TeX]
Finalement :[latex]N2009=4*10^{2009}*\frac{10^{2009}-1}{9}-4*10^{0}*\frac{10^{2009}-1}{9}[/latex]
[TeX]=4*\frac{10^{2009}-1}{9}*(10^{2009}-10^0)[/TeX]
[TeX]=\frac{9}{4}*(10^{2009}-1)^2[/TeX]
D'où [latex]\sqrt{N2009}=\frac{3}{2}*(10^{2009}-1)[/latex], comme on dit; CQFD. Signé Kossi


EDIT MthS-MlndN : le bouton "Prévisualiser" n'est pas là pour la déco, attention de ne pas laisser de formules trop longues pour ne pas détruire la mise en page du site, scrogneugneu.

salut.

en raccourcissant ce nombre 2009  à 5 uniquement pour l'écriture on se propose en guise d'un petit calcul mental d'extraire la racine carrée de ce nombre :
[TeX]\sqrt{4444411111 - 55555}[/TeX]
on s'aperçoit tout de suite qu'il peut s'écrire aussi [latex]\sqrt{4444400000 - 44444}[/latex]


en posant : [latex]X = 4444400000 - 44444[/latex]   (1)
[TeX]Y = 44444 = \frac49\times{99999}= \frac49\times{(10^{5} - 1)} [/latex]  (2)

alors en reportant (2) dans (1)

[latex]X = Y \times{(10^5 - 1)}= \frac49\times{(10^5 - 1)^2}[/TeX]
et [latex]\sqrt{X} = \sqrt{\frac49\times{(10^5 - 1)^2}} = \frac23\times{(10^5 - 1)} = \frac23\times{99999} = 66666[/latex]