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 #1 - 01-04-2013 01:00:30

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

racine carrée f'un nombre très long

Bonjour, pour ma première énigme je vous propose une question que j'ai pu trouver dans un vieux sujet d'examen de concours. allons y !

Sois N2009, le nombre formé par 2009 fois le chiffre 4 suivis de 2009 fois le chiffre 1, suite de chiffres à laquelle on soustrait le nombre formé par 2009 fois le chiffre 5

Déterminez la racine carré de l'entier N2009.



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 #2 - 01-04-2013 10:06:08

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

racine carrée d'un nombre rrès long

Est-ce un devoir à rendre ? car j'ai la réponse mais si c'est pour les devoirs je ne peut pas vous la donner.

Un indice : pensez à factoriser.

 #3 - 01-04-2013 10:07:57

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Raacine carrée d'un nombre très long

Encore un TBM qui n'est pas Tres Bon en Maths...


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #4 - 01-04-2013 10:22:30

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

Racine carrée d'un nombre très lon

lol mais c'est pas très sympa ...

 #5 - 01-04-2013 12:41:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Racine carrée d'un nmobre très long

Il est marrant cet exercice , comment peut-on ne pas aimer les maths smile

D'un autre côté , TBM c'est toujours mieux que TMB lollollol

Vasimolo

 #6 - 01-04-2013 12:47:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

tacine carrée d'un nombre très long

Si six scies scient ici six saucissons, six cent six scies scient aussi six cent six saucissons.

 #7 - 01-04-2013 13:32:36

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

Raicne carrée d'un nombre très long

Il manque "scies" après le 4ème six wink

 #8 - 01-04-2013 15:06:41

Cronos-T.B.M
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 4

Raicne carrée d'un nombre très long

Bonjour,

Il ne s'agit pas d'un devoir à rendre. Je suis simplement un amateur de mathématiques qui aime résoudre les problèmes un peu originaux et celui ci me fait obstacle. Je fréquente votre site depuis déjà un moment à la recherche de problèmes de ce genre alors je me suis décidé à m'inscrire pour solliciter votre aide.

Pour cité mes sources, j'ai trouvé ce problème dans le sujet du concours d'entrée de l'Euria de 2009.

Quand au signe T.B.M, cela n'a rien à voir avec les maths.

 #9 - 01-04-2013 15:27:38

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

racine carrée d'in nombre très long

comme a dit saban, mets 11111.... en facteur.

 #10 - 01-04-2013 17:19:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Racine carrée d'un nombre très loong

golgot59 a écrit:

Il manque "scies" après le 4ème six wink

Bien vu. J'en suis scié ici.

 #11 - 01-04-2013 20:51:02

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Racine carrée d'un nombre très llong

gwen27 a écrit:

comme a dit saban, mets 11111.... en facteur.

Et tu pourrais bien apercevoir des chandelles wink

 #12 - 06-04-2013 00:53:50

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Racine carrée d'un nombre trs long

Proposition de réponse

Une première intuition qui m'a amené à la réponse à la portée de toutes les méninges.
En décomposant notre fameux nombre N2009 dans la base 10 (notre base de tous les jours) on aura:
[TeX]N2009=4*10^{2*2009-1}+4*10^{2*2009-2}+...+4*10^{2010}+4*10^{2009}[/TeX]
[TeX]+1*10^{2008}+1*10^{2007}+...+1*10^1[/TeX]
[TeX]+1*10^0-(5*10^{2008}+5*10^{2007}+...+5*10^1+5*10^0)[/TeX]
En mettant 4 et 5 en facteur et en enlevant les "1*" que j'ai mis pour la clarté, on a:
[TeX]N2009=4*(10^{2*2009-1}+10^{2*2009-2}+...+10^{2010}+10^{2009})[/TeX]
[TeX]+(10^{2008}+10^{2007}+...+10^1+10^0)[/TeX]
[TeX]-5*(10^{2008}+10^{2007}+...+10^1+10^0)[/TeX]
Le terme du milieu se simplifie avec celui de droite et on a:
[TeX]N2009=4*(10^{2*2009-1}+10^{2*2009-2}+...+10^{2010}+10^{2009})[/TeX]
[TeX]-4*(10^{2008}+10^{2007}+...+10^1+10^0)[/TeX]
Il apparaît dans chaque paire de parenthèses, la somme de 2009 termes consécutifs d'une suite géométrique de raison q=10 ([latex]U_{n+1}=10*U_n[/latex]), cette somme va s'écrire de manière générale sous la forme suivante[latex]S_{2009}=U_{premier terme}*\frac{q^{nombre de termes}-1}{q-1}[/latex].

J'ai donc:
[TeX](10^{2*2009-1}+10^{2*2009-2}+...+10^{2010}+10^{2009})=10^{2009}*\frac{10^{2009}-1}{9}[/TeX][TeX](10^{2008}+10^{2007}+...+10^{1}+10^{0})=10^{0}*\frac{10^{2009}-1}{9}[/TeX]
Finalement :[latex]N2009=4*10^{2009}*\frac{10^{2009}-1}{9}-4*10^{0}*\frac{10^{2009}-1}{9}[/latex]
[TeX]=4*\frac{10^{2009}-1}{9}*(10^{2009}-10^0)[/TeX]
[TeX]=\frac{9}{4}*(10^{2009}-1)^2[/TeX]
D'où [latex]\sqrt{N2009}=\frac{3}{2}*(10^{2009}-1)[/latex], comme on dit; CQFD. Signé Kossi


EDIT MthS-MlndN : le bouton "Prévisualiser" n'est pas là pour la déco, attention de ne pas laisser de formules trop longues pour ne pas détruire la mise en page du site, scrogneugneu.

 #13 - 06-04-2013 09:09:17

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

Racine carére d'un nombre très long

Tu devrais raccourcir tes formules, ça plante l'affichage...

Et sinon :

4444......11111..... - 5555....
= 1111..... (4 10^2009 -4 )
= 1111..... x 4 x (10^2009-1)
= 1111.... x4 x 9999.......
= 1111.... x 11111.... x 36
= 6666.....^2

 #14 - 03-09-2014 15:35:56

unecoudée
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 200

Racine carrée d'uun nombre très long

salut.

en raccourcissant ce nombre 2009  à 5 uniquement pour l'écriture on se propose en guise d'un petit calcul mental d'extraire la racine carrée de ce nombre :
[TeX]\sqrt{4444411111 - 55555}[/TeX]
on s'aperçoit tout de suite qu'il peut s'écrire aussi [latex]\sqrt{4444400000 - 44444}[/latex]


en posant : [latex]X = 4444400000 - 44444[/latex]   (1)
[TeX]Y = 44444 = \frac49\times{99999}= \frac49\times{(10^{5} - 1)} [/latex]  (2)

alors en reportant (2) dans (1)

[latex]X = Y \times{(10^5 - 1)}= \frac49\times{(10^5 - 1)^2}[/TeX]
et [latex]\sqrt{X} = \sqrt{\frac49\times{(10^5 - 1)^2}} = \frac23\times{(10^5 - 1)} = \frac23\times{99999} = 66666[/latex]

 

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