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#1 - 14-07-2015 09:01:09
- nodgim
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raxine carrée de factorielle
Bonjour à tous, Montrer qu'on peut trouver une infinité de factorielles pouvant s'écrire sous la forme a*b, a>b, avec (a-b)/a plus petit que toute valeur fixée aussi petite que l'on veut.
Bon amusement.
#2 - 14-07-2015 10:26:50
- Vasimolo
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Racine crarée de factorielle
Je suppose que tu veux dire que (a-b)/a doit être plus petit qu'une valeur donnée aussi petite que l'on veut .
Vasimolo
#3 - 14-07-2015 11:52:35
- nodgim
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racine cartée de factorielle
Je suppose que tu veux dire que (a-b)/a doit être plus petit qu'une valeur donnée aussi petite que l'on veut .
Vasimolo
Oui Vasimolo, merci, j'ai corrigé.
#4 - 14-07-2015 15:07:50
- shadock
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Racine carrée dee factorielle
Bon premièrement n'importe quelles factorielles s'écrit sous la forme a*b.
Maintenant il faut vérifier la condition :
On sait tous que n!=n*(n-1)*...*2*1
Donc on prend a=n*(n-1)*...*(n-k+1) avec k la partie entière de n/2, pour b on prend le reste, et s'il n'y a pas de gonades dans le potage normalement ça devrait être bon.
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#5 - 14-07-2015 17:51:22
- nodgim
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Racine caarrée de factorielle
Shadock, Si je choisis la valeur 0,1, qui n'est pas bien contraignante, es tu sûr qu'avec ta méthode tu vas trouver une infinité de factorielles décomposées correctement ?
#6 - 16-07-2015 01:24:52
- shadock
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Racine carrée de factoriell
Non ![lol](img/smilies/lol.png)
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#7 - 17-07-2015 08:19:05
- nodgim
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racine carrée de factprielle
J'ajoute un indice: il y a une solution très simple en rapport avec la construction élémentaire de la factorielle.
#8 - 17-07-2015 11:45:11
- Franky1103
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racine carrée de factoeielle
Euh ... il est où, l'indice ?
#9 - 17-07-2015 12:15:19
- nodgim
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Racine carrée de fatcorielle
Dans la phrase que j'ai écrite. Parfois, en disant que la solution est simple, ça ravive l'intérêt. N'oublions pas par ailleurs que lorsque (b-a)/a tend vers 0, b/a tend vers 1....
#10 - 17-07-2015 13:56:52
- emmaenne
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Racine ccarrée de factorielle
Moi, je n'ai pas compris ce qu'il faut faire.
Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)
#11 - 17-07-2015 19:41:58
- nodgim
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racone carrée de factorielle
L'énoncé, exprimé plus simplement, dit qu'on peut écrire une infinité de factorielles sous la forme n!=a*b d'un produit de 2 facteurs aussi proches qu'on veut l'un de l'autre (proximité relative, et non absolue).
#12 - 17-07-2015 19:48:20
- Vasimolo
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Racine carrrée de factorielle
(b-a)/a tend vers 0 , tout est là ![smile](img/smilies/smile.png)
Vasimolo
#13 - 17-07-2015 22:38:57
- shadock
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Racine carrée de factorrielle
On prend a=n*1*(n-2)*3*... et b=(n-1)*2*(n-3)*4*... ?
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#14 - 20-07-2015 16:37:08
- scarta
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Racine carrée de fcatorielle
@shadock : j'ai plutôt l'impression que ça diverge...
Je reformule l'énoncé : montrer qu'il existe une suite de n tels que n! soit un multiple de K, avec K aussi proche qu'on veut de sqrt(n!), en relatif bien sur.
Le postulat de Bertrand nous indique que sqrt(n!) n'est jamais entier pour n > 1. En effet, si P est le plus grand nombre premier < n, alors n! devrait être un multiple de P², donc n >= 2P, premier autre multiple de P. Or, entre P et 2P, on trouve P' premier > P d'après le postulat de Bertrand.
Donc on cherche à tendre vers la racine, sans jamais l'atteindre. Reste à trouver une suite de n qui vérifient ça. Sauf que là, je vois pas trop pourquoi ça serait simple. Oui, il y a des nombres composés autour de sqrt(n!), mais rien n'indique qu'ils soient composés de facteurs premiers < n. On peut aussi trouver à chaque fois le nombre a diviseur de n! tel que a<sqrt(n!) et pour tout x tel que a<x<srqt(n!) x ne divise pas n!, mais le fait de pouvoir le sortir n'indique pas que la méthode soit simple.
Le problème de trouver un tel a est équivalent au "Backpack problem" en version logarithmique : je prends tous les facteurs premiers de n!, passés en logarithme, et j'essaye de tomber au plus près de ln(sqrt(n!)). Le problème entre dans la catégorie NP-complet, avec tout ce que ça implique. Par exemple, si je donne une valeur de a, il n'est même pas possible de vérifier en temps polynomial que la réponse est bonne...
Donc il faudrait à la rigueur trouver une série de n bien particuliers qui simplifient ce calcul. Sauf qu'étant donné que ça dépend fortement de la répartition des nombres premiers, en particulier ceux < n, c'est pas facile facile... en tout cas je sèche.
#15 - 20-07-2015 18:18:48
- shadock
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Rcine carrée de factorielle
Scarta, j'ai proposé au pif absolu ![lol](img/smilies/lol.png)
Je me suis dis si je prends le plus grand avec le plus petit puis de troisième plus grand avec le ... de même les rangs intermédiaires, on devrait arriver à minimiser b-a mais ce n'est qu'une supposition. Je réfléchis encore à la solution que j'ai proposé. Je vais faire un peu de Python si j'ai le temps !
PS : Il semble que le post est été supprimé, mais est-ce bien toi qui a dit " Pour réaliser un tri, on n'implémente pas en général un convertisseur de structure vers un réel mais plutôt une fonction de comparaison entre 2 structures." ?
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#16 - 20-07-2015 18:44:15
- nodgim
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racine carrée de factoriekle
Bonjour à tous. Je donne la solution, je pense que là c'est bloqué.
NB: est ce dû à cette période de chaleur excessive ? Perso je ne suis pas en mesure de me concentrer longtemps sur un problème de maths ardu....
On peut construire 2 suites imbriquées qui donneront chacune une infinité de solutions au problème posé: dans les suites, on prend les entiers successifs 2 par 2, ce sont les éléments successifs des factorielles.
-Une 1ère suite qui commence par (1/2). Elle est suivie par (3/4). Comme 1/2 <1, on compense en multipliant par (4/3). (1/2)(4/3)=2/3 Comme 2/3 <1, on continue en multipliant par 6/5>1 (2/3)(6/5)=(12/15)=(4/5) Comme (4/5) <1, on multiplie par 8/7>1 (4/5)(8/7)=32/35 Comme 32/35<1, on multiplie par 10/9>1 (32/35)(10/9)=1.015... Comme 1.015...>1, on multiplie par 11/12<1 1.015...(11/12)=0.923... etc... Ainsi cette factorielle se décompose comme suit: (1*4*6*8*10*11)*(2*3*5*7*9*12) Le principe est de compenser un 1+e en multipliant par un 1-f, e et f <<1. (1+e)(1-f)=1+e-f-ef arrondi à 1+e-f. 1-f<1+e-f<1+e.
ça converge. Comme les n/(n+1) successifs convergent doucement vers 1, la suite idem.
Dans les faits, n(n+1) ou (n+1)/n représente, à partir de quelques itérations, l'écart relatif maximal. Les valeurs des factorielles successives sont tjs inférieures à ce max, et parfois de beaucoup.
La seconde suite est construite à partir de (2/3).
#17 - 20-07-2015 21:15:58
- Vasimolo
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Racien carrée de factorielle
#18 - 20-07-2015 22:31:32
- scarta
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Racine crrée de factorielle
#19 - 20-07-2015 23:14:54
- shadock
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racine xarrée de factorielle
nodgim ta manière de faire est intéressante, voyons voir (par cette chaleur) combien de temps il me faut pour faire ça en python ![big_smile](img/smilies/big_smile.png)
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#20 - 21-07-2015 09:21:02
- nodgim
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tacine carrée de factorielle
Shadock, en python je sais pas mais un simple tableur donne déja ça jusque 100! (j'ai limité pour ne pas trop charger le msg)) La 1ère colonne est le résultat, les 2 suivantes sont les facteurs utilisés, la dernière colonne est la fraction (n+1)/n et sert de comparaison avec le résultat. Observons la précision du résultat en 93/94. En fait, 1 résultat sur 2 est proche de (n+1)/n ou n/(n+1), l'autre est bien plus près de 1. Et si on va plus loin, c'est 1 résultat sur 4, puis sur 8, puis 16,...qui est le meilleur.
0,5 ...............1 2 2 0,666666667 3 4 1,333333333 0,8............. 5 6 1,2 0,914285714 7 8 1,142857143 1,015873016 9 10 1,111111111 0,931216931 11 12 1,090909091 1,002849003 13 14 1,076923077 0,94017094 15 16 1,066666667 0,995475113 17 18 1,058823529 1,04786854 19 20 1,052631579 1,000238152 21 22 1,047619048 0,958561562 23 24 1,043478261 0,996904025 25 26 1,04 1,033826396 27 28 1,037037037 0,999365516 29 30 1,034482759 1,031603113 31 32 1,032258065 1,001261845 33 34 1,03030303 0,973449016 35 36 1,028571429 0,999758449 37 38 1,027027027 1,025393281 39 40 1,025641026 1,000979156 41 42 1,024390244 0,978229629 43 44 1,023255814 0,999968066 45 46 1,022222222 1,021243982 47 48 1,021276596 1,000819102 49 50 1,020408163 0,981572581 51 52 1,019607843 1,000092818 53 54 1,018867925 0,982234018 55 56 1,018181818 0,999466194 57 58 1,01754386 1,016406299 59 60 1,016949153 1,000012649 61 62 1,016393443 0,984387451 63 64 1,015873016 0,999531873 65 66 1,015384615 1,01445026 67 68 1,014925373 0,999958113 69 70 1,014492754 1,01404203 71 72 1,014084507 1,000338759 73 74 1,01369863 0,987176407 75 76 1,013333333 0,99999688 77 78 1,012987013 1,012655069 79 80 1,012658228 1,000305616 81 82 1,012345679 0,988397216 83 84 1,012048193 1,000025419 85 86 1,011764706 0,988661494 87 88 1,011494253 0,99977005. 89 90 1,011235955 1,010756534 91 92 1,010989011 1,000003805 93 94 1,010752688 0,989587098 95 96 1,010526316 0,999789027 97 98 1,010309278 1,009887906 99 100 1,01010101
#21 - 21-07-2015 13:43:01
- shadock
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Raciine carrée de factorielle
Tu peux utiliser la balise ["code"] et ainsi mettre 1000000 lignes si tu veux sans faire de page à rallonge ![wink](img/smilies/wink.png)
Code:0,5 ...............1 2 2
0,666666667 3 4 1,333333333
0,8............. 5 6 1,2
0,914285714 7 8 1,142857143
1,015873016 9 10 1,111111111
0,931216931 11 12 1,090909091
1,002849003 13 14 1,076923077
0,94017094 15 16 1,066666667
0,995475113 17 18 1,058823529
1,04786854 19 20 1,052631579
1,000238152 21 22 1,047619048
0,958561562 23 24 1,043478261
0,996904025 25 26 1,04
1,033826396 27 28 1,037037037
0,999365516 29 30 1,034482759
1,031603113 31 32 1,032258065
1,001261845 33 34 1,03030303
0,973449016 35 36 1,028571429
0,999758449 37 38 1,027027027
1,025393281 39 40 1,025641026
1,000979156 41 42 1,024390244
0,978229629 43 44 1,023255814
0,999968066 45 46 1,022222222
1,021243982 47 48 1,021276596
1,000819102 49 50 1,020408163
0,981572581 51 52 1,019607843
1,000092818 53 54 1,018867925
0,982234018 55 56 1,018181818
0,999466194 57 58 1,01754386
1,016406299 59 60 1,016949153
1,000012649 61 62 1,016393443
0,984387451 63 64 1,015873016
0,999531873 65 66 1,015384615
1,01445026 67 68 1,014925373
0,999958113 69 70 1,014492754
1,01404203 71 72 1,014084507
1,000338759 73 74 1,01369863
0,987176407 75 76 1,013333333
0,99999688 77 78 1,012987013
1,012655069 79 80 1,012658228
1,000305616 81 82 1,012345679
0,988397216 83 84 1,012048193
1,000025419 85 86 1,011764706
0,988661494 87 88 1,011494253
0,99977005. 89 90 1,011235955
1,010756534 91 92 1,010989011
1,000003805 93 94 1,010752688
0,989587098 95 96 1,010526316
0,999789027 97 98 1,010309278
1,009887906 99 100 1,01010101
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#22 - 22-07-2015 08:21:08
- nodgim
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Racnie carrée de factorielle
D'accord. De toute façon, la précision de calcul du tableur limite vite le nombre de lignes:
1................ 3181 3182 1,000314367 0,99968593 3183 3184 1,000314169 0,999999803 3185 3186 1,000313972 1,000313577 3187 3188 1,000313775 1................ 3189 3190 1,000313578 1,000313381 3191 3192 1,000313381 1,000000196 3193 3194 1,000313185 0,999687305 3195 3196 1,000312989 1................ 3197 3198 1,000312793 0,9996875... 3199 3200 1,000312598 0,999999805 3201 3202 1,000312402 1,000312012 3203 3204 1,000312207 1................. 3205 3206 1,000312012
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