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 #1 - 14-02-2018 18:02:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3556

Corde sà noeuds

Bonsoir @ tous.

Une corde comporte 1 noeud tous les 2017 unités de longueur et une autre tous les 1789 unités de longueur. Par ailleurs un cylindre a une circonférence de 1 million d'unités de longeur. Si l'on veut que, en regardant de profil le cylindre sur lequel est enroulé l'une ou l'autre des cordes, aucun espace entre noeuds voisins ne soit supérieur à 1000 unités, quelle corde doit on utiliser pour observer le moins de noeuds possibles ?

Bonne recherche.



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 #2 - 15-02-2018 15:17:47

Païdon
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 98

cirdes à noeuds

Corde 1 : 1 nœud/2017 u
Corde 2 : 1 nœud/1789 u
Cylindre : 1 000 000 u

On commence par calculer le nombre d'unités restantes avant un nœud une fois un tour réalisé :
1 000 000 % 2017 = 1585
1 000 000 % 1789 = 1738

Ensuite, on calcule l'écart entre les nouveaux nœuds lors du second tour de cylindre avec ceux du premier tour, et on vérifie que ces nombres soient inférieurs à 1 000 :
2017 - 1585 = 432 < 1 000
1789 - 1738 = 51 < 1 000

Ensuite, on calcule le nombre d'unités à couvrir pour que l'écart minimal entre deux nœuds soit inférieur à 1 000 :
2017 - 1000 = 1017
1789 - 1000 = 789

On divise ce nombre par l'écart entre deux nœuds :
1017 / 432 = 2.35
789 / 51 = 15.47

Il faut donc réaliser 3 tours avec la corde 1, contre 16 avec la corde 2 pour avoir un écart de moins de 1 000 unités entre deux nœuds.

Merci pour cette énigme !

 #3 - 15-02-2018 18:05:20

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3556

Coordes à noeuds

Bravo Païdon, c'est bien ça !

 #4 - 15-02-2018 19:08:23

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 757

Cordes à oeuds

Avec la première corde, les 496 premiers noeuds vont de 0 à 998415. Les 496 suivants vont de 432 à 998847. Les 496 suivants vont de 864 à 999279, et là un premier espace plus grand que 1000 vient de se faire boucher. Il reste 495 noeuds à mettre, et tout est rebouché. Soit au total, 496*4-1=1983 noeuds.

Avec la deuxième corde, les 559 premiers noeuds vont de 0 à 998262, et le noeud suivant est placé en 51, etc. On obtient au total 559*17-1=9502 noeuds.

Il vaut donc mieux utiliser la première corde.

 #5 - 16-02-2018 07:35:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3556

cirdes à noeuds

C'est bien ça Ebichu, bravo à toi.

Sauras tu en tirer une généralité, à savoir une méthode avec comme données d'entrées 2 nombres a et b ( a modulo b) et un écart max e ?

 #6 - 19-02-2018 07:58:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3556

Cordes noeuds

Assez peu d'intérêt finalement pour cette question tout de même pas très difficile...

La question posée voulait mettre en lumière le mécanisme de l'ordre des placements des multiples d'un nombre " a "'  modulo  " b" qui est loin de relever du hasard !

On observe (et on peut le prouver) que dans cet algorithme les écarts restent au nombre de 3 max, quel que soit "a" et "b" de départ, et 2 écarts à chaque fin de cycle, la suite de ces écarts successifs étant évidemment décroissante jusqu'à 1. Le plus petit écart est la différence entre le plus grand et le médium. Cette propriété étant établie, on peut alors résoudre l'énigme facilement.

 

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