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 #226 - 07-06-2013 11:55:43

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

devinez l'autrr partie du domino !

Vasimolo a écrit:

La probabilité que le joueur devine la deuxième face en choisissant k est p(i,k)

Ceci est faux.

#0 Pub

 #227 - 07-06-2013 17:28:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Dvinez l'autre partie du domino !

En effet , la probabilité de deviner la deuxième face est seulement proportionnelle à P(i,k) .

Je détaille :

notons

A : l'événement la face i est montrée .
B : l'événement la face k est cachée .
[TeX]P(A)=\frac1{28}\sum_{j=0}^6 P(i,j)[/TeX]
[TeX]P(A\cap B) = \frac 1{28} P(i,k)[/TeX]
On applique alors le théorème de Bayle :
[TeX]P(B/A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{P(i,k)}{\sum_{j=0}^6P(i,j)}
[/TeX]
Et on a bien le résultat annoncé .

Vasimolo

 #228 - 07-06-2013 18:00:31

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Devinez l'autre partie du dmino !

Oui, bravo Vasimolo ! Alleluïa ! lol

L'idée très simple, c'est que lorsque l'animateur tire 66, il est toujours obligé de montrer un 6 dans 100% des cas. Alors que lorsqu'il tire 6X pour X quelconque, il va montrer le 6 avec une certaine fréquence, qui dépend de sa stratégie, mais qui reste évidemment inférieure ou égale à 100%. Ainsi, parmi les 6 montrés, il ne peut y en avoir plus en proportion qui proviennent d'un 6X (pour un X quelconque fixé), qu'il y en a qui proviennent du 66. Quelle que soit la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle, on voit donc qu'il vaut mieux répondre 6 lorsqu'il montre un 6.

La formule de Bayes (pas Bayle!) avec les probabilités conditionnelles permet de formaliser correctement tout ça (Au passage, bravo à Nombrilist pour avoir montré le chemin).
Avec les notations "6X" pour "il a tiré le domino 6X" et "6" pour "il a montré 6" :
[TeX]P(6X|6)=\frac{P(6X \cap 6)}{P(6)}=\frac{P(6X)P(6|6X)}{P(6)}=\frac{P(6|6X)}{28P(6)}[/TeX]
En notant [latex]k=\frac{1}{28P(6)}[/latex], on obtient [latex]P(6X|6)=P(6|6X)\times k[/latex]

En particulier, pour [latex]X=6[/latex] on obtient  [latex]P(66|6)=P(6|66)\times k=100\%\times k[/latex]

Pour [latex]X \neq 6[/latex] on a [latex]P(6|6X) \leq 100\%[/latex] et donc [latex]P(6X|6) \leq 100\%\times k[/latex]

Ce qui implique que l'on a toujours [latex]P(6X|6) \leq P(66|6)[/latex]

Quelle que soit la façon dont l'animateur choisit la moitié qu'il révèle, lorsqu'il montre un 6, la probabilité qu'il tienne 6X est toujours inférieure ou égale à la probabilité qu'il tienne 66.

 #229 - 07-06-2013 21:50:22

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

devinez l'autre partie du dimino !

Merci pour la solution. Ce n'était pas si évident que ça à montrer, au final.

 #230 - 08-06-2013 00:35:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Devinez l'autre partie du domin !

Le problème n'était pas si compliqué ( la preuve , je nullissime en probabilité et j'ai fini par trouver la solution malgré les obstacles ) .

Il m'a fallu attendre la dernière page pour savoir quel était vraiment le problème et la réponse de Titou pour savoir qu'on était enfin au bout du bout .

Tout ça aurait pu se régler en 24 heures chrono avec un meilleur questionnement et moins d'opacité dans les réponses.

Vasimolo

PS : je sais je suis un gros c... lollol

 

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