Soir (d(t) la différence de distance entre le randonneur et le sommet entre l'aller et le retour pour un instant t.

Nous avons d(10h) > 0 car le premier jour le marcheur est en cours de randonnée et le deuxième jour il est au sommet.

Nous avons aussi d(15h) < 0 car le premier jour notre randonneur est encore en chemin et le deuxième jour il est arrivé en bas soit la distance max du sommet.

Comme on peut considérer sa marche continue le th de la valeur intermédiaire nous dit que on a un instant t0 entre 10h et 15h où d(t0) = 0 donc le marcheur était à la même distance du sommet à l'aller comme au retour à t0.

Bonjour

Imaginons qu'un autre marcheur descende entre 10h et 15h le même jour que celui qui monte de 7h à 18h. (et sur le même chemin)

Les deux montagnards se croiseront forcément.

Donc pour revenir à l'énoncé et dans les conditions de plages horaires données (jours différents) : quels que soient les rythmes de montée ou de descente, il y a bien un endroit précis du chemin où le marcheur sera passé exactement à la même heure dans un sens comme dans l'autre.

He bien évidemment, c'est inévitable. Pour illustrer il suffit de dire que l'aller et le retour se font le même jour avec 2 promeneurs. Ils vont forcement se croiser a un moment. Donc ils seront au même endroit a la même heure.
ù

Bonjour,
bon alors a celle-la je me doit de repondre, puisque la mienne te l'a inspiré.
je crée un repere unidimensionnel sur le parcours compris entre 0 et 1
0 --> la vallée
1 --> le sommet
l'intervalle [0,1] represente donc le parcours, a 0.5 il est a mi-parcours

j'appelle f la fonction qui au temps associe sa position dans le parcours lors de la phase d'ascension.
f est positive, croissante et relie les intervalles [7,18] et [0,1]
de meme, g sera la fonction qui au temps associe sa position lors de la phase de descente. g est decroissante positive et relie les intervalles [10,15] et [0,1].

f et g sont evidament continue et j'ai f(18)=1 > f(15) > f(10) > f(7)=0
(c'est des superieur ou egale, j'ai pas trouvé le bouton :-/)
ainsi que g(10)=1 et g(15)=0

je considere maintenant la fonction h=f-g sur l'intervalle [10,15]
h(10)=f(10)-1 < 0
h(15)=f(15)-0 > 0

h étant continue par somme de fonction continue, avec h(10) et h(15) de signe different, il existe au moins un instant T ou h(T)=0

soit f(T)=g(T)
donc a cette instant T, le marcheur est exactement au meme endroit lors de l'ascension et que de la descente.

donc oui
(j'espere avoir été clair)

(puisse Mc flambi ne pas me blamer pour les fautes )

Forcément oui,...

s'ils étaient 2 ( un qui monte et l'autre qui descend et le même jour ) ils se croiseraient...

Oui !!!

imaginons un clone de ce promeneur qui ferait exactement la meme chose que lui mais décalé d'un jour.

le jour de la descente du vrai il part du haut à 10 h, l'autre part du bas à 7h, tout en suivant le meme chemin. Il est clair qu'ils vont se croiser car l'autre n'est pas sensé arriver avant 10h puis qu'il arrive à 18 h.

l'endroit ou ils se croisent est l'endroit précis du chemin auquel il sera passé les 2 jours exactement à la même heure.

Oui, je pense

Bonsoir

Il suffit d'imaginer un deuxième marcheur copiant le trajet du premier à un jour d'intervalle . Il va forcément croisé son double , c'est fini .

Vasimolo

Ha-Ha pour ceux qui s'en souviennent

Et comment donc si je me souviens de MG