Non, dhrm77, tu es un odieux tricheur La puissance ne fait pas partie des "4 opérations".

J'ai adopté un processus qui m'a conduit à un résultat... ce résultat est-il optimal? Je ne saurai être catégorique, néanmoins j'en donné un arrondi numérique. Si c'est bon alors je le mettrai. côté hexagone = 0.2063816

A chaque étape, il faut determiner la configuration optimale d'un polygone dans un autre.

Soit:
- T, le coté du triangle
- C, le coté du carré
- P, le coté du pentagone
- H, le coté de l'hexagone

Il y a 2 facons de mettre un carré dans un triangle..
1) le carré à plat (un coté du carré coincide avec un coté du triangle).
2) le carré sur la pointe (un angle du carré coincide avec un angle du triangle).
La meilleure solution est facile à calculer, et c'est la premiere avec  [latex]C = (2\sqrt{3}-3) T[/latex]

Il y a aussi 2 facons de mettre un pentagone dans un carré.
1) le pentagone à plat (un coté du pentagone coincide avec un coté du carré).
2) le pentagone sur la pointe (un angle du pentagone coincide avec un angle du carré).
La meilleure solution, ici, est la 2eme. mais alors que la premiere solution est facile a calculer, la 2eme l'est beaucoup moins...
Apres 3 ou 4 essais et 8 pages de calculs, je trouve ...
[TeX]P = \sqrt{2 (4-\sqrt{2 (5+\sqrt{5})})} C[/TeX]
Il y a également 2 facons de mettre un hexagone dans un pentagone.
1) un coté de l'hexagone coincide avec un coté du pentagone.
2) un angle de l'hexagone coincide avec un angle du pentagone.
Je ne sais pas encore laquelle est la meilleure....

à suivre..

Sauf erreur je trouve cette chose monstrueuse :



Pas le temps de détailler pour le moment ( c'est quand même un peu long cette affaire ) .


Soit environ 0,20811872752 .

Vasimolo

Reprise après corrections.
Graphiquement, je trouve 0.2081187


Je renonce aux calculs

Félicitations aux participants ; à Vasimolo, évidemment, pour sa bonne réponse, mais aussi à halloduda pour sa figure, ou à dhrm77 pour son début de démonstration.

Son message de dhrm77 donne en effet les deux premières étapes. Quant à l'hexagone inscrit dans le pentagone, on trouve que [latex]H=\frac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2(\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{5+\sqrt{5}})}P[/latex].

Tout ça se fait avec de la bonne grosse trigonométrie bien épaisse, mais sans subtilité particulière.

Je propose la même chose dans l'espace avec des polyèdres irréguliers dont le rapport du cube de la somme des longueurs par la moyenne au carré de la surface des deux polyèdres qui "l'entourent" est égale au tiers du volume du polyèdre considéré

Je précise que j'avais juste envie de la sortir et qu'il n'y a rien d'arrogant ou de méprisant ou quoique ce soit d'autre dans ce que je viens de dire !