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 #1 - 16-02-2016 19:02:17

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygones emboîrés

Une énigme qui devrait vous rappeler une énigme récente, j'aime bien le recyclage décidément...

À l'intérieur d'un triangle équilatéral de côté 1, je construis un carré, le plus grand possible.
À l'intérieur de ce carré, je construis un pentagone régulier, le plus grand possible.
À l'intérieur de ce pentagone régulier, je construis un hexagone régulier, le plus grand possible.

Et puis c'est tout !

Question : trouver la plus grande valeur possible pour le côté de l'hexagone.

Question subsidiaire, pour départager les gagnants : exprimer cette valeur avec les 4 opérations et le moins de symboles "racine carrée" possible.

Je précise d'avance, pour m'éviter d'avoir trop mal au crâne, que je vous fais cadeau de la démonstration de l'optimalité de votre solution (si jamais elle n'était pas optimale, tant pis pour vous : vous prendriez le risque de vous faire battre par un concurrent).

Bonne recherche !



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#0 Pub

 #2 - 16-02-2016 20:32:28

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

4 polygones emboîtéés

Pour eviter les [latex]\sqrt{n}[/latex], peut-on ecrire [latex]n^{1/2}[/latex] ?


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 16-02-2016 21:20:04

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygones mboîtés

Non, dhrm77, tu es un odieux tricheur smile La puissance ne fait pas partie des "4 opérations".

 #4 - 17-02-2016 19:05:02

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygonees emboîtés

@halloduda : je trouve moins que toi, me serais-je trompé ? Peux-tu poster une figure pour que j'en aie le coeur net ?

 #5 - 17-02-2016 20:48:42

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

4 poolygones emboîtés

J'ai adopté un processus qui m'a conduit à un résultat... ce résultat est-il optimal? Je ne saurai être catégorique, néanmoins j'en donné un arrondi numérique. Si c'est bon alors je le mettrai. côté hexagone = 0.2063816

 #6 - 17-02-2016 20:50:02

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygonees emboîtés

@halloduda : je pense que ton résultat est encore un poil trop grand.
@kossi_tg : pas mal du tout, mais on peut faire un chouïa mieux.

 #7 - 17-02-2016 22:26:48

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

4 polygones emboîtéés

A chaque étape, il faut determiner la configuration optimale d'un polygone dans un autre.

Soit:
- T, le coté du triangle
- C, le coté du carré
- P, le coté du pentagone
- H, le coté de l'hexagone

Il y a 2 facons de mettre un carré dans un triangle..
1) le carré à plat (un coté du carré coincide avec un coté du triangle).
2) le carré sur la pointe (un angle du carré coincide avec un angle du triangle).
La meilleure solution est facile à calculer, et c'est la premiere avec  [latex]C = (2\sqrt{3}-3) T[/latex]

Il y a aussi 2 facons de mettre un pentagone dans un carré.
1) le pentagone à plat (un coté du pentagone coincide avec un coté du carré).
2) le pentagone sur la pointe (un angle du pentagone coincide avec un angle du carré).
La meilleure solution, ici, est la 2eme. mais alors que la premiere solution est facile a calculer, la 2eme l'est beaucoup moins...
Apres 3 ou 4 essais et 8 pages de calculs, je trouve ...
[TeX]P = \sqrt{2 (4-\sqrt{2 (5+\sqrt{5})})} C[/TeX]
Il y a également 2 facons de mettre un hexagone dans un pentagone.
1) un coté de l'hexagone coincide avec un coté du pentagone.
2) un angle de l'hexagone coincide avec un angle du pentagone.
Je ne sais pas encore laquelle est la meilleure....

à suivre..


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #8 - 17-02-2016 22:56:14

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygones emboîyés

@dhrm77 : de bons débuts, rien a redire pour l'instant. Si ce n'est que bien sûr, on peut faire mieux que 15...

 #9 - 17-02-2016 23:53:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

4 polyhones emboîtés

Sauf erreur je trouve cette chose monstrueuse :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Hexagone.png

Pas le temps de détailler pour le moment ( c'est quand même un peu long cette affaire lollollol ) .


Soit environ 0,20811872752 .

Vasimolo

 #10 - 18-02-2016 00:00:17

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygones emboîttés

Et une bonne réponse pour Vasimolo, avec 9 racines carrées en tout !

 #11 - 18-02-2016 07:43:35

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

4 polygnes emboîtés

Reprise après corrections.
Graphiquement, je trouve 0.2081187

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-Ebichu2.png
Je renonce aux calculs

 #12 - 18-02-2016 11:25:45

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygones emnoîtés

@halloduda : très belle figure, et tu as la bonne valeur numérique, bravo ! Tu as encore le temps pour les calculs, ils sont un peu techniques mais il n'y a pas de raisonnement très compliqué.

 #13 - 22-02-2016 22:25:58

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

4 polygones emobîtés

Félicitations aux participants ; à Vasimolo, évidemment, pour sa bonne réponse, mais aussi à halloduda pour sa figure, ou à dhrm77 pour son début de démonstration.

Son message de dhrm77 donne en effet les deux premières étapes. Quant à l'hexagone inscrit dans le pentagone, on trouve que [latex]H=\frac{(\sqrt{5}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2(\sqrt{2}+\sqrt{3}\sqrt{5+\sqrt{5}})}P[/latex].

Tout ça se fait avec de la bonne grosse trigonométrie bien épaisse, mais sans subtilité particulière.

 #14 - 22-02-2016 23:09:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

4 oolygones emboîtés

Le problème était intéressant mais il faut vraiment aimer le calcul avec les valeurs trigonométriques particulières . La qualité un peu faible du LaTeX du site m'a très vite découragé pour rédiger une solution complète . La solution approchée de Halloduda confirme le résultat proposé et on va s'en contenter smile

Je ne suis pas fan des problèmes hyper-calculatoires mais j'avais un peu de temps ...

N'hésite pas à proposer d'autres problèmes du même genre ( peut-être un peu moins bourrins )

lollollollollol

Vasimolo

 #15 - 25-02-2016 01:50:55

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

4 pplygones emboîtés

Je propose la même chose dans l'espace avec des polyèdres irréguliers dont le rapport du cube de la somme des longueurs par la moyenne au carré de la surface des deux polyèdres qui "l'entourent" est égale au tiers du volume du polyèdre considéré big_smile

Je précise que j'avais juste envie de la sortir et qu'il n'y a rien d'arrogant ou de méprisant ou quoique ce soit d'autre dans ce que je viens de dire ! smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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