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#1 - 02-11-2017 15:05:24
- caduk
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Eqation fonctionnelle
Bonjour,
1) Est il possible de trouver une fonction continue non constante vérifiant f(x^2) = f(x) sur les réels?
2) Exprimer à l'aide de fonctions usuelles une telle fonction non constante par morceaux sur le domaine de définition le plus grand possible.
#2 - 02-11-2017 22:16:38
- Ebichu
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equation fonctionnelme
Salut caduk,
1) non, car alors pour tout x non nul, on a f(x)=f(x²)=f(√x²)=...=f(√√√...√x²)=f(1) par passage à la limite (car f est continue). Donc f est constante sauf éventuellement en 0, donc constante sur ℝ par continuité.
2) On peut envisager de définir une fonction sur ℝ privé de {-1;0;1}. Par exemple, f(x)=cos(2π.log(log(x))) où log est le logarithme en base 2, convient pour x>1. Pour les autres valeurs, il suffit d'adapter avec -x, 1/x ou -1/x à la place de x.
#3 - 02-11-2017 22:58:18
- scarta
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esuation fonctionnelle
Techniquement, la fonction f qui vaut - x+epsilon pour -epsilon <=x<=0 - -x+epsilon pour 0<=x<=epsilon - 0 sinon
est bien continue, non constante, et vérifie f(x^2)=f(x) sur tout R sauf un intervalle centré en 0 et aussi petit qu'on veut.
Comment ça c'est de la triche? 
#4 - 02-11-2017 23:49:01
- caduk
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Euation fonctionnelle
Ebichu parfait! J'avais négligé la particularité du 0. Scarta Si tu restreint ton ensemble de définition à R\{[-epsilon, epsilon]}, ta fonction est constante...
De toute façon, si tu interprétais le problème comme "trouver une fonction non constante telle que cette propriété est vraie sur un ensemble le plus grand possible" , ça ne marche toujours pas. En effet, si tu prend x = sqrt(epsilon) > epsilon, ça ne marche pas.
Enfin, après, il reste toujours un intervalle, donc un ensemble non discret, qui est non défini, et on peut faire beaucoup mieux...
Sache que si tu voulais tricher, il y avait moyen (mais maintenant c'est corrigé, trop tard )
#5 - 03-11-2017 11:16:01
- scarta
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Equation fonctionnellee
Bon, sinon il y a l'option de définir une fonction continue quelconque sur [2;4] avec comme seule condition que f(2) = f(4)
Ensuite, via des "dilatations quadratiques" et des "dilatations quadratiques inverses", qui restent continues, on peut définir f sur [4; 16], [16; 256], ... et aussi sur [R(2); 2], [R(R(2)); R(2)]; etc...
Au final tu as une fonction continue sur ]1; +infini[ qui valide les conditions demandées
#6 - 03-11-2017 11:42:48
- caduk
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Equation fonctionnellee
Scarta Effectivement, ce processus te permet de caractériser toutes les fonctions qui vérifient cette équation. Cependant, on peut étendre ce processus à un ensemble plus grand.
Enfin, on peut exprimer l'une de ces fonctions avec simplement des fonctions usuelles et sans avoir besoin de la découper en une infinité d'intervalles. (On peut la découper en 4 cas comme le fait Ebichu, et en l'adaptant, on peut même la résumer à un cas)
#7 - 04-11-2017 10:20:49
- Vasimolo
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Equation fonctionelle
Bonjour Caduk
Supposons tout d'abord que [latex]f[/latex] définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] tout entier .
On a [latex]f(-x)=f(x)=f(x^2)[/latex] donc [latex]f[/latex] est paire .
Si [latex]\displaystyle{x >0 \text{ alors }\lim_{n\rightarrow \infty}f(x^{2^n})=\lim_{n\rightarrow \infty}f(\sqrt[2^n]{x})=f(x)=f(0)=f(1) .}[/latex]
Alors [latex]f[/latex] est constante sur [latex]\mathbb{R^*_+}[/latex] donc sur [latex]\mathbb{R} .[/latex]
Maintenant si [latex]f[/latex] est définie sur une partie de [latex]\mathbb{R}[/latex] , comme les puissances ou les racines [latex]2^n[/latex] laissent stables les intervalles [latex]]0;1[[/latex] et [latex]]1;+\infty[[/latex] , il suffit de définir [latex]f[/latex] sur [latex]\mathbb{R}-\{-1;+1\}[/latex] avec [latex]f[/latex] constante sur [latex]]-\infty;-1[\ \cup \ ]+1;+\infty[[/latex] et sur [latex]]-1;+1[ .[/latex]
Vasimolo
PS : je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la demande : "le domaine de définition le plus grand possible " , peut-être faut-il trouver le plus grand intervalle 
#8 - 04-11-2017 11:07:18
- caduk
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Equation fonctionneelle
Vasimolo Le domaine de définition le plus grand possible n'est pas forcément un intervalle, ce peut être une réunion d'intervalles, ou plus compliqué... Tu as trouvé le domaine où la définir, mais ce n'est pas aussi simple que ce que tu dit, la prendre quelconque sur ]-1,1[ ne respecte pas la propriété. En effet, il faut que f(1/2) = f(1/4) = ...
#9 - 04-11-2017 11:26:13
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Euqation fonctionnelle
Je ne la prends pas quelconque mais constante .
Vasimolo
#10 - 04-11-2017 11:52:34
- caduk
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equation fpnctionnelle
Mince, tu as contourné le problème Bon et si on cherche un fonction non constante par morceaux?
#11 - 05-11-2017 18:28:37
- gwen27
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Equation fonctinnelle
Sinon, il y a les trucs du genre
cos ( ln ( ln ( |x| ) ) *2 pi /log(2) )
Ca marche presque... et ce n'est pas constant.
#12 - 06-11-2017 14:48:35
- caduk
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equation gonctionnelle
c'est effectivement la réponse que j'attendais et celle donnée par Ebichu. Il faut juste rajouter un valeur absolue autour du ln le plus à l'intérieur pour que ce soit défini sur R\{-1,0,1}
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