Salut caduk,

1) non, car alors pour tout x non nul, on a f(x)=f(x²)=f(√x²)=...=f(√√√...√x²)=f(1) par passage à la limite (car f est continue).
Donc f est constante sauf éventuellement en 0, donc constante sur ℝ par continuité.

2) On peut envisager de définir une fonction sur ℝ privé de {-1;0;1}. Par exemple, f(x)=cos(2π.log(log(x))) où log est le logarithme en base 2, convient pour x>1. Pour les autres valeurs, il suffit d'adapter avec -x, 1/x ou -1/x à la place de x.

Ebichu
parfait!
J'avais négligé la particularité du 0.
Scarta
Si tu restreint ton ensemble de définition à R\{[-epsilon, epsilon]}, ta fonction est constante...

De toute façon, si tu interprétais le problème comme "trouver une fonction non constante telle que cette propriété est vraie sur un ensemble le plus grand possible" , ça ne marche toujours pas.
En effet, si tu prend x = sqrt(epsilon) > epsilon, ça ne marche pas.

Enfin, après, il reste toujours un intervalle, donc un ensemble non discret, qui est non défini, et on peut faire beaucoup mieux...

Sache que si tu voulais tricher, il y avait moyen (mais maintenant c'est corrigé, trop tard )

Scarta
Effectivement, ce processus te permet de caractériser toutes les fonctions qui vérifient cette équation. Cependant, on peut étendre ce processus à un ensemble plus grand.

Enfin, on peut exprimer l'une de ces fonctions avec simplement des fonctions usuelles et sans avoir besoin de la découper en une infinité d'intervalles.
(On peut la découper en 4 cas comme le fait Ebichu, et en l'adaptant, on peut même la résumer à un cas)

Vasimolo
Le domaine de définition le plus grand possible n'est pas forcément un intervalle, ce peut être une réunion d'intervalles, ou plus compliqué...
Tu as trouvé le domaine où la définir, mais ce n'est pas aussi simple que ce que tu dit, la prendre quelconque sur ]-1,1[ ne respecte pas la propriété. En effet, il faut que f(1/2) = f(1/4) = ...

Mince, tu as contourné le problème Bon et si on cherche un fonction non constante par morceaux?

c'est effectivement la réponse que j'attendais et celle donnée par Ebichu. Il faut juste rajouter un valeur absolue autour du ln le plus à l'intérieur pour que ce soit défini sur R\{-1,0,1}