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 #1 - 02-11-2017 15:05:24

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

Equatoin fonctionnelle

Bonjour,

1) Est il possible de trouver une fonction continue non constante vérifiant f(x^2) = f(x) sur les réels?

2) Exprimer à l'aide de fonctions usuelles une telle fonction non constante par morceaux sur le domaine de définition le plus grand possible.



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 #2 - 02-11-2017 22:16:38

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 494

equation finctionnelle

Salut caduk,

1) non, car alors pour tout x non nul, on a f(x)=f(x²)=f(√x²)=...=f(√√√...√x²)=f(1) par passage à la limite (car f est continue).
Donc f est constante sauf éventuellement en 0, donc constante sur ℝ par continuité.

2) On peut envisager de définir une fonction sur ℝ privé de {-1;0;1}. Par exemple, f(x)=cos(2π.log(log(x))) où log est le logarithme en base 2, convient pour x>1. Pour les autres valeurs, il suffit d'adapter avec -x, 1/x ou -1/x à la place de x.

 #3 - 02-11-2017 22:58:18

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1533

Equation fonctinonelle

Techniquement, la fonction f qui vaut
- x+epsilon pour -epsilon <=x<=0
- -x+epsilon pour 0<=x<=epsilon
- 0 sinon

est bien continue, non constante, et vérifie f(x^2)=f(x) sur tout R sauf un intervalle centré en 0 et aussi petit qu'on veut.

Comment ça c'est de la triche? big_smile

 #4 - 02-11-2017 23:49:01

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

quation fonctionnelle

Ebichu
parfait!
J'avais négligé la particularité du 0.
Scarta
Si tu restreint ton ensemble de définition à R\{[-epsilon, epsilon]}, ta fonction est constante...

De toute façon, si tu interprétais le problème comme "trouver une fonction non constante telle que cette propriété est vraie sur un ensemble le plus grand possible" , ça ne marche toujours pas.
En effet, si tu prend x = sqrt(epsilon) > epsilon, ça ne marche pas.

Enfin, après, il reste toujours un intervalle, donc un ensemble non discret, qui est non défini, et on peut faire beaucoup mieux...

Sache que si tu voulais tricher, il y avait moyen (mais maintenant c'est corrigé, trop tard big_smile)

 #5 - 03-11-2017 11:16:01

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1533

Equation fonctionenlle

Bon, sinon il y a l'option de définir une fonction continue quelconque sur [2;4] avec comme seule condition que f(2) = f(4)

Ensuite, via des "dilatations quadratiques" et des "dilatations quadratiques inverses", qui restent continues, on peut définir f sur [4; 16], [16; 256], ...
et aussi sur [R(2); 2], [R(R(2)); R(2)]; etc...

Au final tu as une fonction continue sur ]1; +infini[ qui valide les conditions demandées

 #6 - 03-11-2017 11:42:48

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

equation fonctionnemle

Scarta
Effectivement, ce processus te permet de caractériser toutes les fonctions qui vérifient cette équation. Cependant, on peut étendre ce processus à un ensemble plus grand.

Enfin, on peut exprimer l'une de ces fonctions avec simplement des fonctions usuelles et sans avoir besoin de la découper en une infinité d'intervalles.
(On peut la découper en 4 cas comme le fait Ebichu, et en l'adaptant, on peut même la résumer à un cas)

 #7 - 04-11-2017 10:20:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Equation fonctionelle

Bonjour Caduk

Supposons tout d'abord que [latex]f[/latex] définie sur [latex]\mathbb{R}[/latex] tout entier .

On a [latex]f(-x)=f(x)=f(x^2)[/latex] donc [latex]f[/latex] est paire .

Si [latex]\displaystyle{x >0  \text{ alors }\lim_{n\rightarrow \infty}f(x^{2^n})=\lim_{n\rightarrow \infty}f(\sqrt[2^n]{x})=f(x)=f(0)=f(1) .}[/latex]

Alors [latex]f[/latex] est constante sur [latex]\mathbb{R^*_+}[/latex] donc sur [latex]\mathbb{R} .[/latex]

Maintenant si [latex]f[/latex] est définie sur une partie de [latex]\mathbb{R}[/latex] , comme les puissances ou les racines [latex]2^n[/latex] laissent stables les intervalles [latex]]0;1[[/latex] et [latex]]1;+\infty[[/latex] , il suffit de définir [latex]f[/latex] sur [latex]\mathbb{R}-\{-1;+1\}[/latex] avec [latex]f[/latex] constante sur [latex]]-\infty;-1[\  \cup \ ]+1;+\infty[[/latex] et sur [latex]]-1;+1[ .[/latex]

Vasimolo

PS : je ne suis pas sûr d'avoir bien compris la demande : "le domaine de définition le plus grand possible " , peut-être faut-il trouver le plus grand intervalle smile

 #8 - 04-11-2017 11:07:18

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

zquation fonctionnelle

Vasimolo
Le domaine de définition le plus grand possible n'est pas forcément un intervalle, ce peut être une réunion d'intervalles, ou plus compliqué...
Tu as trouvé le domaine où la définir, mais ce n'est pas aussi simple que ce que tu dit, la prendre quelconque sur ]-1,1[ ne respecte pas la propriété. En effet, il faut que f(1/2) = f(1/4) = ...

 #9 - 04-11-2017 11:26:13

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4981

Equation fonctionnele

Je ne la prends pas quelconque mais constante .

Vasimolo

 #10 - 04-11-2017 11:52:34

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

equation fonctionnzlle

Mince, tu as contourné le problème yikes Bon et si on cherche un fonction non constante par morceaux?

 #11 - 05-11-2017 18:28:37

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,710E+3

Equatin fonctionnelle

Sinon, il y a les trucs du genre

cos ( ln ( ln ( |x| ) ) *2 pi /log(2) )

Ca marche presque... et ce n'est pas constant.

 #12 - 06-11-2017 14:48:35

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 240

equation fonctionnzlle

c'est effectivement la réponse que j'attendais et celle donnée par Ebichu. Il faut juste rajouter un valeur absolue autour du ln le plus à l'intérieur pour que ce soit défini sur R\{-1,0,1}

 

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