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 #1 - 01-06-2010 21:15:31

dridridu34
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 2

pyramides avec villes

Alors voila mon professeur de mathématiques de 4° m'a demandé de lui rendre un DM pour jeudi, merci de bien vouloir m'aider sachant que même mon père (qui a fait math sup) n'as pas réussi à démontrer ça :

On construit des tétraèdres (pyramides) avec des billes identiques

Combien de billes faut-il pour faire un tétraèdre à :

- 3 étages
-4 étages
- 5 étages
- 7 étages
-100 étages

CHERCHER UN RAPPORT ENTRE CES TETRAEDRES POUR TROUVER LE 100 ETAGES

Ma soeur (en S) m'a en gros dit que c'était les suites, en 4°, elle m'a dit que c'était nimporte quoi.
Je n'oubli pas que c'est une narration de recherche mais je n'arrive pas à trouver un lien concret.

Dois-je vous dire ce que m'ont apportées mes "recherches" ?

Merci beaucoup, Cordialement,    dridridu34



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 #2 - 01-06-2010 21:52:24

beks68
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

pyralides avec billes

réfléchis un peu, ce n'est pas le nombre d'étages qui est important, c'est une partie que représente un pti triangle dans un plus grand

 #3 - 01-06-2010 23:10:12

NicolasH31
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 50

Pyramides avec bilels

je pars du principe que c'est 1 tétraèdre régulier (triangles équilatéraux)

le plus petit a 1 base de 3 billes + 1 qui est portés par les 3 !!! = 2 étages
3 étages = base 6 + milieu 3 + 1
4 étages = base 12 + 6 + 3 + 1
c 1 suite
le mieux pour visualiser c d'utiliser des billes !!!

si ce ne sont pas des tétraèdre régulier !!!!

je ne vois pas la solution !!!

 #4 - 01-06-2010 23:19:16

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 923

Pyramides avec bilels

Je te corrige les 4 étages : 10+6+3+1


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 01-06-2010 23:33:33

NicolasH31
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 50

Pyramides avec biilles

scrablor t'as raison , je me suis emballer

10 puis 15 + 10 + 6 + 3 + 1  ??? pour le 5 ème étages

j'ai compris la base c'est :

1
3 (+2) + 1
6 (+2 +3) + 3 + 1
10 (+2 +3 +4) + 6 + 3 + 1
15 (+2 +3 +4 +5) + 10 + 6 + 3 + 1

pour 100 ???

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 ........................ + 5050

la base de 100 étages = 1 + 2 + 3 ............ + 100
100+1 , 99+2 ............. 51+50

 #6 - 01-06-2010 23:46:15

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1420

Pyramide savec billes

Salut,
tu rappellera à ton père qui a fait Math sup que la somme des nombres triangulaires est n(n+1)(n+2)/6
(je pense qu'il comprendra)

ce qui donne au passage les résultats suivants:
Spoiler : [Afficher le message] 3 étages: 10
4 étages: 20
5 étages: 35
7 étages: 84
100 étages: 171700

 #7 - 01-06-2010 23:57:16

NicolasH31
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 14
Messages : 50

Pyramides avec bills

 #8 - 02-06-2010 00:01:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

pyramides avec bilmes

C'est un DM de quatrième, ça ?! Je me permets de te développer une réponse complète, mais dis à ton prof, de la part d'un prof de maths en prépa ingénieur, que donner cet exercice à des élèves de quatrième revient à lui faire faire un dimensionnement de turbine d'avion : horriblement dur par rapport aux connaissances requises à son niveau.

Un étage : une bille.
On ajoute un triangle de trois billes en-dessous de cette bille pour faire une pyramide à deux étages.
On rajoute encore un triangle, de côté trois billes (qui en comptera donc 6) en-dessous de cette pyramide (en supposant qu'on colle les étages au fur et à mesure pour des raisons pratiques lol) pour une pyramide à trois étages.
Etc.

Combien y a-t-il de billes dans chacun des triangles rajoutés ? A l'étage N, je rajoute un triangle de N billes de côté, voilà par exemple ce que ça donne pour N=6 :

     *
    * *
   * * *
  * * * *
* * * * *
* * * * * *

En comptant ligne par ligne, il y a 1+2+3+4+5+6=21 billes dedans. De manière générale, le triangle de côté N a 1+2+3+...+N billes, soit N(N+1)/2 billes.

(Pour la formule de somme 1+2+...+N = N(N+1)/2, tu peux jeter un oeil à cette page : http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_%28a … A9tique%29)

Si ma pyramide a N étages, on somme donc les billes de chacun des étages, sachant que le k-ième étage a k(k+1)/2 billes pour tout k :
[TeX]N_{billes}[/TeX]
[TeX]= \sum_{k=1}^{N} \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \left( k^2 + k \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \sum_{k=1}^{N} k^2 + \sum_{k=1}^{N} k \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)}{6} + \frac{N(N+1)}{2} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \frac{N(N+1)(2N+1)+3N(N+1)}{6} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{1}{2} \left( \frac{N(N+1)(2N+4)}{6} \right)[/TeX]
[TeX]= \frac{N(N+1)(N+2)}{6}
[/TeX]
Dans l'ordre des étapes :
- j'écris la somme (la lettre grecque Sigma, c'est-à-dire Σ, veut dire "somme) des billes de tous les étages,
- je sors la fraction 1/2 de la somme,
- je développe k(k+1) en k^2+k,
- je sépare les sommes des k^2 et des k,
- j'utilise les formules de sommes que tu as, par exemple, dans le lien que j'ai donné au-dessus, pour les valeurs de ces deux sommes,
- je mets les deux fractions obtenues au même dénominateur,
- je factorise le numérateur de la fraction,
- je réduis et je simplifie.
Si tu ne comprends pas tout, c'est à peu près normal pour un élève de quatrième...

Une pyramide à N étages a donc N(N+1)(N+2)/6 billes. Tu peux vérifier que pour N valant 1, 2, 3, etc. on retombe sur 1, 4, 10, etc. billes.

Une pyramide à 100 étages est faite avec 100*101*102/6 = 171700 billes.

Et ton prof de maths est un p**ain de sadique. Ne le félicite pas de ma part : ce sont ces profs qui vous traumatisent des générations d'élèves et leur empêchent de réellement savoir ce qui les intéresse...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #9 - 02-06-2010 00:03:49

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

yPramides avec billes

scarta a écrit:

tu rappellera à ton père qui a fait Math sup...

Pas faux : ce problème doit être de son niveau, s'il a fait Maths sup. A mon avis, c'était plus par fainéantise que par manque de niveau qu'il n'a pas trouvé...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 02-06-2010 00:05:23

daftpunk
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1109
Lieu: Around the world

pyramides avec bikles

Mathias t'es un grand malade lol

- je sors la fraction 1/2 de la somme,
- je développe k(k+1) en k^2+k,
- je sépare les sommes des k^2 et des k,
- j'utilise les formules de sommes que tu as, par exemple, dans le lien que j'ai donné au-dessus, pour les valeurs de ces deux sommes,
- je mets les deux fractions obtenues au même dénominateur,
- je factorise le numérateur de la fraction,
- je réduis et je simplifie.

Ah ouf ! heureusement que tu simplifies...lollollol


Le bonheur est une vieille qui boite sur du verglas...

 #11 - 02-06-2010 00:12:37

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4464

pyramides avec villes

On remarquera que l'auteur du message prend soin de ne pas répondre smile

Vasimolo

 #12 - 02-06-2010 00:13:51

scarta
Elite de Prise2Tete
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puramides avec billes

MthS-MlndN a écrit:

Et ton prof de maths est un p**ain de sadique. Ne le félicite pas de ma part : ce sont ces profs qui vous traumatisent des générations d'élèves et leur empêchent de réellement savoir ce qui les intéresse...

A moins qu'il s'attende juste à ce que les élèves remarquent que pour un étage N, on a N billes de plus qu'à l'étage précédent, et donc que dans une pyramide N, on a N billes de plus + le dernier étage d'une pyramide N-1; et qu'ils se tapent les 200 additions.
Dridridu34, ton prof s'appelle pas Buttner par hasard ? Si oui, je te souhaite d'avoir un Carl-Friedrich dans ta classe smile

 #13 - 02-06-2010 00:33:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4464

Pyramides avec biles

Nous ne connaissons pas les intentions de l'enseignant et évitons d'abonder dans le sens de l'élève sans connaître les dessous de l'affaire .

A la place de l'élève , j'apprécierais ( en silence ) les solutions fournies bien aimablement avec en prime une bonne critique de l'enseignant pour me donner bonne conscience .

Vasimolo

 #14 - 02-06-2010 00:35:38

daftpunk
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1109
Lieu: Around the world

Pyramies avec billes

J'aurais bien aimé avoir P2T quand j'étais encore à l'école ! lol


Le bonheur est une vieille qui boite sur du verglas...

 #15 - 02-06-2010 14:01:14

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Pyramides vec billes

Il n'est pas allé chercher tres loin le sujet il est allé sur les manuels mathenpoche de 4eme pyramide et cône naration de recherche.

 #16 - 02-06-2010 14:51:20

kuqib
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 186
Lieu: Besac'

pyramides avec bilmes

page 199 très exactement big_smile
comme quoi c'est pas le prof qui est sadique ce sont les auteurs du bouquin
mais bon  c'est vrai que le notre nous a jamais donné à faire les narrations de recherches.


C'est un mec qui rentre dans un café... Plouf!

 #17 - 02-06-2010 16:21:45

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Pyraimdes avec billes

J'ai d'abord pensé qu'on pouvait peut-être trouver un assemblage de 6 tels tétraèdres pour constuire un "parallélépipède (même oblique)" de N.(N+1).(N+2)?
Ca serait une façon plus simple (techniquement parlant) de résoudre le problème.
Après recherche, cela me semble difficile vu qu'il n'est pas possible de paver l'espace avec des tétraèdres réguliers (Fedorov) alors qu'on le peut avec des "parallélépipèdes (même obliques)"

Dommage :-)

 #18 - 02-06-2010 17:12:24

dridridu34
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Pyramdes avec billes

Merci pour toute vos réponses, n'oubliont pas que mon prof m'a donné une narration de recherche et non pas un véritable problème à résoudre ce qui facilite grandemant la chose.
Voila j'espère vous avoir satisfait avec cette demande ;D
A+

 #19 - 15-06-2010 03:17:56

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Pyramides aveec billes

rivas a écrit:

J'ai d'abord pensé qu'on pouvait peut-être trouver un assemblage de 6 tels tétraèdres pour constuire un "parallélépipède (même oblique)" de N.(N+1).(N+2)?
Ca serait une façon plus simple (techniquement parlant) de résoudre le problème.
Après recherche, cela me semble difficile vu qu'il n'est pas possible de paver l'espace avec des tétraèdres réguliers (Fedorov) alors qu'on le peut avec des "parallélépipèdes (même obliques)"

Dommage :-)

Je pense que les histoires de pavage c'est bien plus compliqué que ce problème, alors j'ai une pseudo solution... (qui au passage peut servir pour faire la somme des carrés géométriquement)... n=4 ici...

On part de notre pyramide en mode petits carrés et concentrés sur un angle ou chaque niveau fait k(k+1)/2 petits carrés
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra1.JPG

Ensuite, on va rajouter une deuxième pyramide à celle-ci en la fusionnant, de bas en haut, base par base, comme sur le dessin dessous... C'est la technique utilisée pour faire la somme des n premiers entiers consécutifs
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyraint.JPG

et en vrai ça donne
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra2.JPG

pour finalement obtenir une nouvelle pyramide avec à chaque niveau k(k+1) [on a doublé chaque niveau] :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra4.JPG

ensuite on reproduit la même chose et on l'assemble comme suit :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra5.JPG

pour donner :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra6.JPG

et enfin on reprend encore une autre pyramide doublée qu'on assemble comme suit :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra7.JPG

pour enfin donner :
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-pyra8.JPG

ce qui est bien 6 fois notre pyramide de départ, et qui est un "cube" de n(n+1)(n+2)...

 #20 - 19-11-2010 14:05:10

marquez thierry
Visiteur

Pyramides avec billess

Merci à tous pour votre aide à drididu34 car je dois aider mon fils qui est en 6ème  à faire sa première narration de recherche (pour moi c'est de l'inconnu en plus j'ai fait un bac littéraire) donc grosse galère. Le sujet de sa narration  est de choisir pour monter un escalier,à chaque pas, de le monter une marche ou deux marches. Question combien y-a-t-il de façons de monter un escalier de 1 marche ? puis 2, 3, 4 , 15, 25 et 2010 marches ?
Donc l'histoire de la pyramide va je pense m'aider.

Une maman en colère contre les profs et surtout contre l'éducation nationale qui ne comprend rien à la vie

 #21 - 19-11-2010 15:45:24

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

puramides avec billes

Bonjour, vous trouverez la réponse à cette question dans cette page:

http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=4140

Il s'agit de la suite de Fibonacci.

je pense que ce que le prof attend comme démarche c'est que votre fils compte à la main pour les premiers escaliers puis qu'il rentre les résultats obtenus dans un moteur de recherche. Il tombera rapidement sur la solution.

 #22 - 19-11-2010 19:58:22

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3197

Pyramides avec bilels

En fait ça c'est un bon niveau première S ^^ pour trouver la formule de la somme des carrés, mais donner ça en 4° moi je pars en courant lol

PS: C'est à partie de quand qu'on nous apprends les calculs avec les sommes en développant réduisant etc...? big_smile


"Elles ont toujours besoin d'explications." (les grandes personnes) Antoine de Saint-Exupéry

 #23 - 20-11-2010 11:16:48

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

Pyramides avec bbilles

Tiens une pyramide billes ça me fait penser à un petit problème qui consiste a montrer que c'est la façon optimale de les ranger, mais bon c'est trop trivial pour valoir un billet dédié ^^

 #24 - 20-11-2010 21:10:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3197

Pyrramides avec billes

Oui, c'est le genre de problème que l'on peut trouver dans les livres de seconde en maths, l'exo fait environ le tiers d'une page ^^ . Personnelement je ne me suis jamais penché sur le sujet, paraisse maybe tongue


"Elles ont toujours besoin d'explications." (les grandes personnes) Antoine de Saint-Exupéry

 #25 - 20-11-2010 23:11:27

franck9525
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Messages : 1910
Lieu: UK

Pyramides avec billles

Nicouj a écrit:

Tiens une pyramide billes ça me fait penser à un petit problème qui consiste a montrer que c'est la façon optimale de les ranger, mais bon c'est trop trivial pour valoir un billet dédié ^^

Et quelle est la forme du plus petit volume contenant jusqu'à 56 billes de même taille??

Spoiler : [Afficher le message] Laszlo Fejes Tòth


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realiser une pyramide de 100 etages (3) — Tetraedre a 7 etage (3) — Formule pour un triangle etage (3) — Formule pour savoir combien de billes faut il pour construire un tetraedre regulier (3) — Nombre bille (2) — Nombre de billes tetraedre (2) — Probleme de la pyramide en boule (2) — T?tra?de billes (2) — Tetraedre avec des billes pour 100 etages (2) — Ombien de billes me faut t il pour faire une pyramide de 3etage (2) — Narration recherche tetraedre (2) — Pyramide (2) — Pyramidal de fraction 5eme (2) — Somme des carres n (2) — Calcule du tetraedre avec une base de 100 bille (2) — Formule epsilon pour tetraedres avec (2) — Faire une pyramide avec 12 sphere (2) — Tetraerdre billes (2) — Dessin des pyramides (2) — Correction on partage un pre triangulaire selon le schema suivant (2) — Pyramide avec des fractions (2) — Une pyramide de 100 etage combien de boule possede t-elle (2) — Combien y a t il de triangle dans une pyramide (2) — Combiende de billes pour 3 etages 7 etages 100 (2) — On construit des tetraedres avec des (2) — Combien de billes pour un tetraedre regulier (2) — Combien vaut-t-il de billes pour faire 10 niveaux en pyramide (2) — Pyramide de fraction 5eme (2) — Exercice 5 eme math pyramide de cube (2) — Bille forme pyramide (2) — Combien faut t il de bille pour faire un tetraedre a 5 etage (2) — Narration de recherche mathematiques tetraedre avec des billes (2) — Tetraedre 3 etages (2) — Combien de billes dans un tetraedre (2) — Comment calculer combien de bille a une pyramide a 100 etage* (2) — Combien faut il de billes pour faire un tetraede de 3 etages (2) — Dm maths escalier (2) — Calcul nombre boules pour un tetraedre (2) — Comment savoir combien de cube yat il dans un parallelepipede rectangle (2) — Sesamath pyramide des nombres explications 5eme classe (2) — Comment faire pour utiliser corrector bille (2) — Combien de cartes y a t il dans une pyramide a 100 etages (2) — Probleme sur tetraedre de 100 spheres (2) — Math epsilon billes (2) — 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(2) — Les fourmis expliquees aux enfants (2) — Dm parallelepipede (2) — Solution pyramide boule (2) — Explication de narration pour 108 etages (2) — Dm math bille avec etage (2) — Rangement boules billard (2) — Exercice tetraedre avec des billes (2) — Combien faut-il de billes pour construire un tetraedre de 3 etages (2) — Technique calcul pyramide en bille (2) — Hauteur d un tetraedre de 3 etages (2) — Nombre de boules pour pyramide (2) — Tetraedre avec 100 billes (2) — Pyramides a boule (2) — Probleme tetraedre avec des billes (2) — Combien de bille pour pyramide de 3 etages (2) — Chateau de cartes solution 199 etage explication (2) — Pyramides de cubes enigme (2) — Comment fabriquer un tetraedre en bois (2) — Tetraedre de 100 etages (2) — Narration de recherche sur une pyramide (2) — Les pyramides sur les bille (2) — Pyramide a 15 etage (2) — Nombre cube pour une pyramide de 15 etages (2) — Comment dessiner pyramide des nombres (2) — Enigme avec des billes (2) — Combien de billes pour realiser une pyramide a 10 niveaux (2) — Exercice combien de cube 6e (2) — Tetraedre regulier avec des billes (2) — Combien de boule y a t il (2) — Logo de bille billard grand taille (2) — Construire un escalier pour 3etages (2) — Math narration de recherche jeu de carte (2) — Narration de recherche mathematiques tetraedre (2) — Combien faut-il de boules pour faire une pyramide a trois etages (2) — Calculer le nombre de bille tetraedre (2) — Trouver le nombre de bille dans une pyramide de 5 etages (2) — Combien de bille pour faire une pyramide a 10 niv (2) — Calculer etages pyramide (2) — Combien faut il de bille pour fair un tetraedre (2) — Cube escalier pyramidal mathematiques (2) — Probleme maths calcul pyramide billes (2) — Billenpiramide (2) — Narration de recherche en mathematique avec les tetraedres (2) — Comment resolver un probleme de pyramide de boule (2) — Exemple de narration de recherche math 4eme triangle et (2) — Narration de recherche mathematiques 4eme (2) — Comment creer des pyramides mathematiques (2) — Exercices un carre avec pleins de cubes (2) — Combien de boules y a t il pyramide (2) — Tetraedre epsilon (2) — Narration de recherche (2) — 3 etage de tetraedre (2) — Chateau de cartes maths 5eme (2) — Combien faut-il de cartes pour realiser un chateau de cartes de 47 etages ? narration de recherche (2) — Formule pour calculer le nombre d etages d une pyramide de verres (2) — Comment dessiner un pyramide maison (2) — Naration de recherche construire un tetraedre avec des billes (2) — Nombre de bille dans une pyramide (2) — Pyramide avec bille 100etage (2) — Enigme compter des cubes (2) — Comment calculer le nombre de billes dans un tetraedre (2) — Calculer nombre billes tetraedre logique (2) — Dm de maths 4eme (2) — Que faire avec des billes (2) — Combien de bille il faut pour faire 3 etage (2) — Pyramide a fabriquer (2) — Maths 4eme dm construire des etage avec des carre (2) — Combien y a t il de boules d un triangle (2) — Math exercice de recherche :on construit destetraedresavec des billes combien de billes faut il pour pour faire un tetraedre a 3 etages?a 5etage?a7etages a 100 etages? (2) — (2) — Nbr de billes necessaires a un tetraedre a 5 etages (2) — Exercice math 6eme : narration de recherche un patissier dispose de boites de differentes taille pour ranger les nombreux gateaux (2) — Maths 6eme cubes escalier (2) — Compter les cubes volume (2) — Combiende billes faut-il pour faire un tetraedre de 3 etage (2) — Correction sujet epsilon de la page 15 du manuel de maths sesamaths niveaux 4ieme (2) — Maths tetraedres avec des billes (2) — Tetraedre billes math (2) — Pyramide avec bille 7etage (2) — Combien de billes comporte une pyramide a base triangulaire de 100 etages ? 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(2) — Exemple narration de recherche mathematiques 4e (2) — Solution du triangle pyramide (2) — Combien de billes y a t il (2) — Combien faut il de billes pour faire un tetraedre a 100 etage (2) — Narration de recherche pyramide (2) — Enigme combien de cube dans une pyramide (2) — Probleme de maths sur tetraedre (2) — (2) — Epsilon narration de recherche reponse (2) — Combien de billes faut il pour faire un tetraedre a trois etages (2) — Tetraedre a 3 etage (2) — Tetraedre 3 etage (2) — Solution narration de recherche l escalier (2) — Pyramide nombre de boules (2) — Dm mathematique 4eme tetraedre (2) — Devoir maison de math 4eme avec billes (2) — Deux peres et deux fils (2) — Methode calcul triangle par etage (2) — Devoir maison de math 200 boule de billard (2) — Devinette combien de boules y a t-il sur cette pyramide ? (2) — Comment partage 48 billes pour 3 (2) — Pyramide base triangulaire dans carre enigme (2) — Chateau de cartes maths solution 30 etages 100etages (2) — Probleme de narration sur les escaliers (2) — Enigme 6eme pyramide egypte maths (2) — Enigme pyramide ertages construction (2) — Escalier fibonacci (2) — Triangle bille calcul (2) — Construction d un tetraedre avec des billes (2) — Tetraedre exercice avec bille (2) — Bille pyramide 100 etage (2) — Tetraedre regulier billes (2) — Combien de boules faut il pour faire une pyramide de 100.etage ? 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