Salut 
Soit P(n1,n2,…,nn) le produit des écarts des nombres n1,n2,…,nn. On note Δi,j l'écart entre les nombres de rang i et j.
Par définition :
P(n1,n2,…,nn)=n−1∏i=1n∏j=i+1Δi,j=P(n1,n2,…,nn−1)n−1∏i=1Δi,n
En particulier le produit des écarts des rangs vaut P(1,2,…,n).
Considérons un facteur premier p de P(1,2,…,n) et cherchons à dénombrer les écarts de P(n1,n2,…,nn) divisibles par p. Un écart Δi,j est divisible par p si et seulement si n_i\mod p=n_j\mod p.
On cherche les cas les plus défavorables, c'est à dire les cas donnant le plus petit nombre d'écarts \Delta_{i,j} divisibles par p. En regardant la relation récurrente donnant P(n_1,n_2,\ldots ,n_n) on remarque que pour minimiser l'apport en p dû à l'ajout du n-ème nombre il suffit que celui-ci ait un reste différent de ses prédécesseurs lorsque divisés par p. Couplé au fait que P soit invariant par permutation on en déduit les cas les plus défavorables :
P(\underbrace{1+N}_{\mod p=m_1},\underbrace{2+N}_{\mod p=m_1+1},\ldots,\underbrace{n+N}_{\mod p=m_1+(n-1)\mod p}),\,N\in\mathbb{N}
Comme P(1,2,\ldots,n)=P(1+N,2+N,\ldots\,n+N) on en déduit que dans les cas les plus défavorables il y a tout juste autant de fois p dans la décomposition en facteurs premiers de P(1,2,\ldots,n) que dans la décomposition en facteurs premiers de P(n_1,n_2,\ldots,n_n). Ceci étant vrai pour tous les facteurs premiers de P(1,2,\ldots,n), la divisibilité de l'un par l'autre est assurée dans tous les cas.