Salut ![smile](img/smilies/smile.png)
Soit [latex]P(n_1,n_2,\ldots ,n_n)[/latex] le produit des écarts des nombres [latex]n_1,n_2,\ldots ,n_n[/latex]. On note [latex]\Delta_{i,j}[/latex] l'écart entre les nombres de rang [latex]i[/latex] et [latex]j[/latex].
Par définition :
[TeX]P(n_1,n_2,\ldots,n_n)=\prod_{i=1}^{n-1}\prod_{j=i+1}^n\Delta_{i,j}=P(n_1,n_2,\ldots,n_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}\Delta_{i,n}[/TeX]
En particulier le produit des écarts des rangs vaut [latex]P(1,2,\ldots,n)[/latex].
Considérons un facteur premier [latex]p[/latex] de [latex]P(1,2,\ldots,n)[/latex] et cherchons à dénombrer les écarts de [latex]P(n_1,n_2,\ldots ,n_n)[/latex] divisibles par [latex]p[/latex]. Un écart [latex]\Delta_{i,j}[/latex] est divisible par [latex]p[/latex] si et seulement si [latex]n_i\mod p=n_j\mod p[/latex].
On cherche les cas les plus défavorables, c'est à dire les cas donnant le plus petit nombre d'écarts [latex]\Delta_{i,j}[/latex] divisibles par [latex]p[/latex]. En regardant la relation récurrente donnant [latex]P(n_1,n_2,\ldots ,n_n)[/latex] on remarque que pour minimiser l'apport en [latex]p[/latex] dû à l'ajout du [latex]n[/latex]-ème nombre il suffit que celui-ci ait un reste différent de ses prédécesseurs lorsque divisés par [latex]p[/latex]. Couplé au fait que [latex]P[/latex] soit invariant par permutation on en déduit les cas les plus défavorables :
[TeX]P(\underbrace{1+N}_{\mod p=m_1},\underbrace{2+N}_{\mod p=m_1+1},\ldots,\underbrace{n+N}_{\mod p=m_1+(n-1)\mod p}),\,N\in\mathbb{N}[/TeX]
Comme [latex]P(1,2,\ldots,n)=P(1+N,2+N,\ldots\,n+N)[/latex] on en déduit que dans les cas les plus défavorables il y a tout juste autant de fois [latex]p[/latex] dans la décomposition en facteurs premiers de [latex]P(1,2,\ldots,n)[/latex] que dans la décomposition en facteurs premiers de [latex]P(n_1,n_2,\ldots,n_n)[/latex]. Ceci étant vrai pour tous les facteurs premiers de [latex]P(1,2,\ldots,n)[/latex], la divisibilité de l'un par l'autre est assurée dans tous les cas.