Enigmes

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 #1 - 07-12-2010 12:51:42

darkcod03100
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 68

Grrand bordeaux

Robert débouche un grand bordeaux pour ses amis.Il prend bien soin de répartir équitablement le vin dans les verres de tous ses convives.Chacun lève son verre et boit un quart de son verre.Deux des invités devant partir précipitamment,Robert et ses amis trouvent dommage de gâcher,et répartissent le contenu des deux verres dans ceux qui restent.Les verres sont alors exactement remplis.
Combien d'invités étaient présent au début de la réunion?



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 #2 - 07-12-2010 13:18:33

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

Grand bordeauxx

Une bouteille pour huit, c'est un peu radin quand même.

 #3 - 07-12-2010 13:39:07

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

grand bordeayx

Les verres qui restent représentent 6 quarts de verre. Les personnes restantes ont un quart de verre de libre. Donc, il reste 6 personnes plus les deux qui se sont absentées, soit 8 personnes au départ.

 #4 - 07-12-2010 14:12:58

Emigme
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 43
Messages : 318

Garnd bordeaux

Ils étaient 8

On prend le problème par la fin :
Quand les 2 convives partent, il y a [latex]2\times\frac{3}{4}[/latex], soit [latex]\frac{6}{4}[/latex] de verres pleins, à redistribuer équitablement.
Les verres sont tous vidés de [latex]\frac{1}{4}[/latex], il n'y a pas de reste, donc 6 + 2 = 8
8 convives au départ, plus que 6 à la fin !


Il n'y a pas de problèmes : il n'y a que des solutions. Si il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

 #5 - 07-12-2010 14:21:16

lml-mike
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 179
Lieu: s'toi le Lieu >_<

Grand borddeaux

Dark, ne met plus des réponses devinables en case réponse, n'importe qui peut mettre tous les chiffres jusqu'à tomber à 8 xD


S'il y a bien une chose que je déteste, ce sont les gens qui finissent jamais leur

 #6 - 07-12-2010 14:29:24

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

grand bordeauc

J'ai envie de répondre HUIT, mais je sens qu'il y a une astuce, car il n'est pas écrit que le remplissage initial des verres se faisait jusqu'à ras-bord ; il est simplement écrit que le remplissage est équitable, ce qui laisse supposer qu'ils sont tous remplis de la même façon, mais jusqu'aux deux-tiers seulement (comme la politesse et le bon usage l'exigent).

Supposons que les verres sont initialement remplis à ras-bord. Alors les deux invités qui partent laissent chacun trois-quarts de verre, donc six quarts au total, qu'il faut répartir à hauteur d'un quart dans chaque verre restant. Il y a donc 6 verres restants, soit 8 convives initialement.

Si l'on tient compte d'un remplissage initial partiel des verres, alors la réponse est au maximum 8 convives initialement.

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #7 - 07-12-2010 14:32:19

Flying_pyros
Sage de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 3414
Lieu: Près de la mer

Grand ordeaux

http://www.antiquites-en-france.com/uploads/items/detail_maxi/bfdd5148cbd847bf649fa1ec75666c98c086f5d9.jpg

Ils étaient huit. wink

 #8 - 07-12-2010 14:43:06

naddj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 301
Lieu: Ffm

grand birdeaux

S'ils boivent tous un quart de leur verre, il reste les 3/4 du verre aussi pour les 2 qui partent précipitamment. On va donc redistribuer 2*3/4, i.e. 6*1/4.
Et 1/4 étant ce qui est nécessairement pour qu'un verre bu aux 3/4 soit rempli, on en conclut que ce sont exactement 6 verres qui vont pouvoir être à nouveau remplis à 100%.
Donc 6 qui restent et 2 qui sont partis, cela fait 8 personnes présentes au début de la réunion...

 #9 - 07-12-2010 15:03:06

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1744

grand boedeaux

Bonjour

On cherche le nombre n de personnes se partageant une unité de grand cru (bouteille, jéroboam, nabuchodonosor ...)

Au début, chaque verre contient donc (1/n)

Après consommation d'un quart de chaque verre, il reste à chacun (3/4n)

On répartit donc (3/2n) dans n-2 verres pour retrouver le "niveau" 1/n initial.

Donc (3/4n) + 3/(2n*(n-2)) = 1/n

d'où 3/(2(n-2)) = 1/4

donc
n=8 convives au départ (ou 7 invités + ce bon vieux Robert ? ...)

et glou et glou !

Merci, à+


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #10 - 07-12-2010 16:36:07

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Grand brodeaux

Les trois quarts du nombre initial x remplissent x verres moins 2 : [latex]\frac 3 4 x=x-2\Leftrightarrow x=8[/latex]

 #11 - 07-12-2010 18:28:05

sofox
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 109
Lieu: Besançon

gtand bordeaux

8 personnes en tout au début de la réunion : les verres des deux qui partent précipitamment  sont remplis aux trois-quart, ce qui fait " six quarts " ; il manque dans chaque verre un quart de vin, donc mes six quarts permettent de remplir exactement 6 verres ; donc 6 personnes, plus les deux qui sont parties, soit  8 personnes au début


Schizos Are Never Alone

 #12 - 07-12-2010 19:08:41

blaxe
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 12

grand borfeaux

Après avoir bu, chaque convive a donc les 3/4 de son verre de vin.
Soit a le nombre de convive de départ.
On sait que quand on réparti équitablement le contenu des deux verres (égal à 3x2/4) dans le verre de chaque convive restant (égal à a-2), les verres sont pleins. D'où l'égalité suivante :
(3x2)/(4(a-2))+3/4=1
<=> (3x2)/(4(a-2))=1/4
<=> 6/(a-2)=1
6=a-2
a=8 !

 #13 - 07-12-2010 19:19:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

Grand bodreaux

n*3/4 = n-2

n=8

8 verres remplis au 3/4 remplissent bien 6 verres

 #14 - 07-12-2010 19:26:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

grand bprdeaux

Il y a [latex]n[/latex] convives.

Au début, chacun a la même quantité de vin, disons un volume [latex]v[/latex], et la bouteille est de volume [latex]nv[/latex].

Chacun boit un quart de son verre, il reste donc un volume total de vin [latex]n(3v/4)[/latex] qui remplit exactement [latex]n-2[/latex] verres de contenance [latex]V \geq v[/latex].

Si [latex]V = v[/latex], on obtient [latex]3n/4 = n-2[/latex] et il y avait [latex]8[/latex] convives en début de soirée. Sinon, aucune idée...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #15 - 08-12-2010 00:09:59

KOUKLA1
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

Grand ordeaux

8

 #16 - 08-12-2010 01:32:15

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Grand boreaux

les deux invités laissent les 3/4 de leurs verres donc il reste 2*3/4 = 6/4 à répartir
dans les 6 verres restants qui avaient perdu chacun 1/4 de leur contenu.
les convives étaient donc huit

 #17 - 08-12-2010 16:44:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Grrand bordeaux

Je vais supposer que "boire un quart de son verre" veut dire un quart du contenu, pas du volume total du verre. Donc s'il y a 12 cl de vin dans un verre de 16 cl, boire un quart veut dire 3 cl (et non pas 4). Je suppose aussi que la bouteille est de 75 cl.
Vu l'énoncé, 2 invités partent et les invités restant se partagent le vin. Il en reste donc au moins 2 et il y en avait au moins 4 au début.

Je note [latex]V_i[/latex] le volume de vin versé initialement dans chaque verre, [latex]V[/latex] le volume total d'un verre et [latex]N[/latex] le nombre de convives.

De façon évidente: [latex]N.V_i=75[/latex] cl (1).
Après que chacun ait bu la première fois, chaque verre de vin contient: [latex]\dfrac34.V_i[/latex] cl.
Après transvasement des 2 verres des 2 invités qui sont partis, N-2 verres contiennent chacun: [latex]V=\dfrac34.V_i+2.\dfrac34.V_i\dfrac1{N-2}[/latex]
En utilisant (1) on obtient: [latex]V=\dfrac34.\dfrac{75}{N}.(1+\dfrac{2}{N-2})[/latex]

La condition à vérifier maintenant est que [latex]V>=V_i[/latex]. En effet la quantité de vin initialement dans le verre est forcément plus petite que la contenance totale du verre.
[TeX]V \ge V_i \Leftrightarrow \dfrac34.\dfrac{75}{N}.(1+\dfrac{2}{N-2}) \ge \dfrac{75}{N} \Leftrightarrow \dfrac{2}{N-2} \ge \dfrac13 \Leftrightarrow\dfrac{N-2}2 \le 3 \Leftrightarrow N \le 8[/TeX]
On note que pour ce calcul la contenance de la bouteille n'intervient finalement pas. Comme N devait être au moins 4 (voir plus haut), la réponse est: Il y avait entre 4 et 8 convives (4 et 8 inclus)

On note aussi qu'on a le cas d'égalité pour N=8: les verres étaient pleins au début et le sont encore après la redistribution.

On peut vérifier simplement que pour chacune de ces valeurs, en prenant par exemple 75 cl pour la bouteille on trouve des solutions valides (les contenances des verres étant différentes pour chaque valeur).
[TeX]
N=4, V_i=18,75 cl, V=28,125 cl
N=5, V_i=15 cl, V=18,75 cl
N=6, V_i=12,5 cl, V=14,0625 cl
N=7, V_i \sim 10,71 cl, V=11,25 cl
N=8, V_i=9,375 cl, V=9,375 cl
[/TeX]
Merci pour cette énigme.

PS: Merci de préciser le format de la réponse à entrer dans la case réponse pour valider (déjà cette difficulté la dernière fois si je me souviens bien).

 #18 - 08-12-2010 21:42:45

moicestmoi
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1617
Lieu: Avec vous :-)

Grnd bordeaux

Trop compliqué pour moi ces maths.
Par contre, je veux bien boire un
http://img.deco.fr/download/imagev3.php?size=204&amp;ratio=1&amp;url=http%3A%2F%2Fwww.madeindesign.com%2Fimgfiche-Verre-a-degustation-Bordeaux-Eva-Trio-ref821003.jpg avec eux big_smile


L'angle droit bout à 90 degrés.

 #19 - 09-12-2010 00:41:53

Tromaril
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 45

frand bordeaux

Bonsoir,
Si n est le nombre de convives et v le volume d'un verre
ce qui a été bu par n-2 convives est égal à ce qu'ont laissé deux convives

donc (n-2)*v*1/4 = 2*v*3/4
d'où n=8

Suivant que Robert a bu ou pas, il y a 7 ou 8 invités.

(et chacun avait initialement 3/32 ieme de litre !)

 #20 - 09-12-2010 09:47:59

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Grand brdeaux

Comme je l'ai signalé à darkcod en MP, il y a une difficulté dans son énoncé: rien ne dit en effet que les verres sont remplis initialement, rien du tout...

On est donc obligé de considérer tous les cas. De la même façon boire un quart de son verre est légèrement ambigu: est-ce un quart du contenu ou un volume égal à un quart du volume total du verre?

Ceci étant dit, la difficulté de ne pas dire que les verres sont pleins au début rend l'énigme plus intéressante et lui permet d'avoir plusieurs réponses, tout à fait dans l'esprit des problèmes de la FFJM. Donc pourquoi pas?

Par contre une case réponse qui ne valide rien, ce n'est pas très utile...

Merci en tout cas à darkcod pour avoir posé cette énigme.

 #21 - 09-12-2010 09:50:00

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

grznd bordeaux

rivas a écrit:

On note aussi qu'on a le cas d'égalité pour N=8: les verres étaient pleins au début et le sont encore après la redistribution.

Ce qui n'est pas conciliable avec un grand vin !
Soit c'était de la piquette, soit Robert est un rustre.

--
vive le bourgogne


http://enigmusique.blogspot.com/

 #22 - 09-12-2010 10:32:23

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 30
Messages : 434

grand bordeauw

Je recommence parce que j'ai une autre idée.

Il y a N personnes. Chaque verre est rempli à 75cl/N.
Chacun en boit un quart (du contenu).
2 personnes déversent 3/4 de leur verre dans N-2 verres. Ceux-ci sont alors exactement rempli, càd à 75cl/6 = 12,5 cl.

Ce qui donne 3/4 * 75/N + (2 * 3/4 * 75/N) / (N-2) = 12,5

Et il vient,

3/4N * (1 + 2/(N-2)) = 1/6
3/4N * (N - 2 + 2)/(N-2) = 1/6
3/4(N-2) = 1/6
2(N-2)/3 = 3
N = 13/2 = 6,5 personnes

Soit 6 personnes et un enfant.

C'est beaucoup mieux comme ça lol

 #23 - 09-12-2010 12:35:54

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Grand bordaux

Ou 13 enfants, c'est selon...


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #24 - 09-12-2010 12:38:22

rivas
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Jacou

Grand bordeaxu

kosmogol a écrit:

rivas a écrit:

On note aussi qu'on a le cas d'égalité pour N=8: les verres étaient pleins au début et le sont encore après la redistribution.

Ce qui n'est pas conciliable avec un grand vin !
Soit c'était de la piquette, soit Robert est un rustre.

--
vive le bourgogne

Tout à fait d'accord smile

 #25 - 09-12-2010 12:41:23

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

grand birdeaux

Dans mes bras lol


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