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 #1 - 19-08-2013 17:12:54

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Prèe : N°1

Salut à tout le monde,

Je viens de découvrir un vieux dossier de mon arrière grand-père que je n'ai pas eu la chance de connaitre, même bébé sad mais le moins de je puis dire, le mec étant fan des énigmes mathématiques... comme quoi les chats ne font des chiens lol

Ceci est le premier énigme; d'autres suivront:

En écrivant les entiers de 1 à 10 milliards, les uns à la suite des autres, combien de fois le chiffre zéro (0) sera-t-il utilisé?

Dans la case réponse, utilisez le point comme séparateur de millier (exemple: mille = 1.000)



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 #2 - 19-08-2013 18:05:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Le vieux dossier d Grand-Père : N°1

De 1 à 10 milliards ? Ah quand même...

Le 0 apparait aux unités une fois sur 10, aux dizaines 10 fois sur 100 (sauf pour les 100 premiers nombres, mais en ajoutant le dix-milliardième), aux centaines 100 fois sur 1000 (sauf pour les 1000 premiers nombres, mais en ajoutant le dix-milliardième), etc.

Donc :

1.000.000.000 fois aux unités
1.000.000.000-9 fois aux dizaines
1.000.000.000-99 fois aux centaines
1.000.000.000-999 fois aux milliers
1.000.000.000-9.999 fois aux dizaines de milliers
1.000.000.000-99.999 fois aux centaines de milliers
1.000.000.000-999.999 fois aux millions
1.000.000.000-9.999.999 fois aux dizaines de millions
1.000.000.000-99.999.999 fois aux centaines de millions
1.000.000.000-999.999.999 fois aux milliards (ouais, une fois, ouais)

Total : 8.888.888.899 fois smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 19-08-2013 18:51:21

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

le vieux dosdier de grand-père : n°1

On compte le nombre de chiffres 0 en place k pour l'ensemble des nombres à 10 chiffres au maximum (je numérote les places de droite à gauche de 0 à 9) :

Pour les k chiffres à droite du 0, il y a [latex]10^k[/latex] possibilités, et pour les 9-k chiffres à gauche du 0, il y a [latex]10^{9-k}-1[/latex] possibilités.

Cela donne donc [latex]10^9-10^k[/latex] chiffres 0 apparaissant en place k.

Par conséquent, le nombre de chiffres 0 nécessaires pour écrire tous les nombres à 1 à 9 999 999 999 est égal à :
[TeX]\sum_{k=0}^9 10^9-10^k = 10^{10} - \sum_{k=0}^9 10^k[/TeX]
Il faut encore ajouter les 10 zéros de 10 milliards, pour trouver au total :
[TeX]10^{10} - \sum_{k=0}^9 10^k + 10 = 8.888.888.899[/TeX]

 #4 - 19-08-2013 19:03:01

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier ed Grand-Père : N°1

BRAVO Mathias et Titoufred

 #5 - 19-08-2013 20:26:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

le vieux dossier de grand-oère : n°1

Je tenterais bien : 8.888.888.899

 #6 - 19-08-2013 20:40:40

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Garnd-Père : N°1

Oui nodgim, bravo

 #7 - 19-08-2013 21:14:51

SabanSuresh
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 1945
Lieu: Paris

le vueux dossier de grand-père : n°1

Je trouve 1111111.407 mais ça n'est pas validé, donc c'est faux ...

Mon raisonnement :
Entre 1 et 100 exclus, il y a 9 zéros.
Entre 100 et 1000 exclus, il y a (9+9)*9 = 162 zéros.
Entre 1000 et 10000 exclus, il y a (99+9+9)*9 = 1053 zéros.
Entre 10000 et 100000 exclus, il y a (999+99+9+9)*9 = 10044 zéros.
Entre 100000 et 1000000 exclus, il y a (9999+999+99+9+9)*9 = 100035 zéros.
Entre 1 et 10 millions exclus, il y a (99999+9999+999+99+9+9)*9 = 1000026 zéros.
Entre 10 et 100 millions exclus, il y a (999999+99999+9999+999+99+9+9)*9 = 10000017 zéros.
Entre 100 millions et 1 milliard exclus, il y a (9999999+999999+99999+9999+999+99+9+9)*9 = 100000008 zéros.
Entre 1 et 10 milliards exclus, il y a (99999999+9999999+999999+99999+9999+999+99+9+9)*9 = 999999999.
Dans les nombres ronds (10,100,1000 ...), il y a 2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 54 zéros.

En tout, il y a 9+162+1053+10044+100035+1000026+10000017+100000008+999999999+54 = 1111111407 zéros.

Je ne vois pas où est ma faute ...

 #8 - 19-08-2013 23:01:56

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

le vieyx dossier de grand-père : n°1

Salutations smile

10 milliard est un 1 avec 10 zéro derrière, c'est donc un nombre à 11 chiffres.

Le nombres de 1 à 9 ne contiennent pas de zéro.

Le nombre de nombres à k chiffres qui contient i zéros (avec k>2 et k>i)
est [latex]{k-1\choose i} 9^{k-i}[/latex] car pour i zéros fixé, il reste 9 choix pour chacun des k-i chiffres qui restent, ce qui explique le [latex]9^{k-i}[/latex] ; ensuite il faut multiplié par le nombre de façon de choisir les i chiffres égal à zéro parmi k-1 chiffres (car le premier chiffre doit être non nul).

Donc le nombre de zéros qu'il faut pour écrire ces chiffres est [latex]i*{k-1\choose i} 9^{k-i}[/latex],  ainsi le nombre de zéro qu'il faut pour écrire les nombres à k chiffres est :
[TeX]\sum_{i=1}^{k-1}{k-1\choose i} i9^{k-i}=\sum_{i=1}^{k-1}{k-2\choose i-1} (k-1)*9^{k-i}=[/TeX][TeX](k-1)\sum_{i=1}^{k-1}{k-2\choose i-1} 9^{k-i}=(k-1)\sum_{i=0}^{k-2}{k-2\choose i}9*9^{(k-2)-i}=[/TeX][TeX]=9(k-1)*(1+9)^{k-2} = 9(k-1)*10^{k-2}[/TeX]
le nombre de zéro pour écrire tous les nombres de 1 à 10 milliards est donc :
[TeX]10 +\sum_{k=1}^{10}9(k-1)*10^{k-2}[/TeX]
ce qui fait 10 + 9 * 987654321 = 8888888899

En fait de manière plus général, le nombre de zéro qu'il faut pour écrire les nombres de 1 à [latex]10^n[/latex] est
[TeX]n +{9\over 10}\sum_{k=0}^{n-1}k*10^{k}[/TeX]
Je n'ai pas trouvé de terme général pour cette somme hmm


Il y a sûrement plus simple.

 #9 - 20-08-2013 08:49:42

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

le vieux dossier dr grand-père : n°1

cogito: bravo. Merci pour la généralisation à [latex]10^n[/latex].

 #10 - 22-08-2013 15:17:53

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Le vieux dossier de rGand-Père : N°1

J'écris (en pensée :-)) les nombres de 1 à 9.999.999.999 en colonne alignés à droite (comme pour une addition).

Je regarde ensuite ce qu'il se passe dans la colonne des unités (10^0):
J'y vois des séquences: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sauf la première qui n'a pas de 0.
Il y a 10^10/10 séquences et chacune apporte un 0 au total sauf la première. Il y a donc dans cette colonne 10^9-1 zéros.

Dans la colonne des dizaines (10^1), j'y vois des séquences de 10 0 puis 10 1, 10 2, ..., 10 9 sauf la première qui n'a pas les 0.
Il y a 10^10/100 séquences et chacune apporte 10 0 sauf la première.
Il y a donc 10^8*10-10 zéros dans celle colonne.

Dans la colonne des centaines de millions, les séquences sont de 10^8 0, ... 10^8 9 sauf la première qui n'a pas de 0. Il y a 10^10/10^9=10 séquences et chacune apporte 10^8 0 sauf la première. Il y a donc: 10*10^8-10^8 zéros dans cette colonne.

Il n'y a pas de 0 dans la colonne des milliards.

Il y a donc au total:
[TeX](10^9-1)*10^0+(10^8-1)*10^1+...+(10^1-1)*10^8[/latex] zéros.

Soit [latex]9.10^9-(1+10+100+...+10^8)=9.10^9-\dfrac{10^9-1}{9}[/TeX]
[latex]=\dfrac{80.10^9+1}{9}[/latex].

Cela fait  8 888 888 889 zéros auxquels il faut rajouter les 10 du nombre 10 milliards soit 8.888.888.899 ce qui est approuvé par la case réponse.

Pour généraliser à 10^n, le même raisonnement emmène à:
[latex]\dfrac{(9n-10).10^{n-1}+1}{9}+n[/latex].

Pour n=2, cela donne bien 11 zéros
Pour n=3, cela donne 192 zéros.

A partir de n=12, il y a plus de zéros que de nombres eux-mêmes.

Merci pour cette énigme.

 #11 - 22-08-2013 20:47:39

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Pèère : N°1

Merci à vous tous pour votre participation,
Bravo à vous qui avez trouvé les 8.888.888.899 zéros,
Mention spéciale à ceux qui nous ont proposé des solutions généralisées smile

 

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